柯西不等式應用的五種技巧探研

熊秋玲

摘 要：對不能直接應用柯西不等式求解的問題，歸納出五種常見的變換技巧，即拆項（常數項）、添項、因式嵌入、巧設待定常數、變量代換，使之能應用柯西不等式，達到解答問題的目的。

關鍵詞：柯西不等式；應用；技巧

柯西不等式： ∑ni=1 ai2∑ni=1 bi2≥（∑ni=1 aibi）2，（aibi∈R，i=1，2，…，n），等號當且僅當ai=kbi （i=1，2，···，n）時成立。

本文初步探討柯西不等式應用的五種技巧，供廣大師生作為數學高考復習及競賽輔導參考。

一、常數的巧拆

根據題中的數值特征巧拆常數是常用技巧。

例1：設f（x）=lg，若0≤a≤1，n∈N，且n≥2，求證：f（2x）≥2f（x）。（1990年高考數學理科試題）

證：考慮到n=12+12+…+12及a≥a2有：n[12x+22x+…+（n-1）2x+an2x]≥（12+12+…+12）[12x+22x+…+（n-1）2x+（anx）2]≥（1x+2x+…+（n-1）2x+anx）2

即≥（）2

lg>2lg

亦即：f（2x）≥2f（x）.

二、項的巧添

有時求最值或證明不等式不能直接應用柯西不等式，添加適當常數項或和為常數的各項，就可運用柯西不等式。

例2：已知a1、a2，…，an∈R+，且S=a1+a2，…an，求證：++…+≥（其中n≥2）。

證：+1=，+1=，···，+1=，運用柯西不等式，[（S-a1）+（S-a2）+···+（S-an）]·[++···+]≥[·+·+···+·]2=n2，于是（n-1）S[++···+]≥n2，即++···+≥，∴（-1）+（-1）+···+（-1）≥-n=，即++…+≥。

三、因式的巧嵌

為了運用柯西不等式，有時需要巧妙地嵌上一個因式。此因式嵌后，目的是為了出現證明題中的因式，而往往嵌上的因式和是定值，再出現的因式（∑aibi）也是定值。

例3：P為ABC內一點，D、E、F分別為P到BC、CA、AB各邊所引垂線的垂足，求所有使++為最小的點P。（第22 屆國際數學IMO競賽試題）

解：設ABC的三邊BC=a，CA=b，AB=c，面積記為S，又設PD=x，PE=y，PF=z，則ax+by+cz=2S。由柯西不等式（嵌乘因式ax+by+cz）有[（）2+（）2+（）2]·[（）2+（）2+（）2]≥[·+·+·]2=（a+b+c）2，即（++）（ax+by+cz）≥（a+b+c）2，∴++≥，即++≥. 上式當且僅當== （即x=y=z亦即PD=PE=PF）時等號成立。因此，使++為最小的點P是ABC內心。

四、待定常數的巧設

為了創造條件運用柯西不等式，我們還常引進待定常數，其值由題設或由等號成立的充要條件來確定。

例4：設a、b、x、y∈R+，k<2，且a2+b2-kab=1，x2+y2-kxy=1，求證：ax-by≤，ay+bx-kby≤.

證：（1）引進待定參數t∈R+，運用柯西不等式。4ax-by2=（a+b）（x-y）+（a-b）·（x+y）2=

t（a+b）+（a-b）（x+y）2≤[t2（a+b）2+（a-b）2][+（x+y）2]=[（t2+1）（a2+b2）+（2t2-2）ab][（t2+1）（x2+y2）+（2t2-2）xy]/t2. 為運用條件令=-k，即t2=，t=. ∴4ax-by2≤，∴ax-by≤=.

（2）引進待定參數μ∈R+，運用柯西不等式。4ay+bx-kb2=（2a-kb）y+2x-（2x-ky）b2=（2a-kb）μ·

+（2x-ky）b2≤[μ2（2a-kb）2+b2][（）2+（2x-ky）2]==[4μ2a2-4μ2kab+（k2μ2+1）b2][4μ2x2-4μ2kxy+（k2μ2+1）y2]/μ2. 為利用條件令4μ2=k2μ2+1，即μ=，∴4ay+bx-kby2≤=（4μ）2，于是ay+bx-kby2≤2μ=.

五、變量代換的巧引

為運用柯西不等式，有時可引進適當的變量代換。

例5：設a、b、c是三角形的邊長，試證：a2b（a-b）+b2c（b-c）+c2a（c-a）≥0，并確定等號在什么時候成立。（第24屆國際數學競賽題）

證：引進代換a=x+y，b=y+z，c=z+x，則原不等式為：（x+y）2（y+z）（x-z）+（y+z）2（z+x）（y-z）+（z+x）2（x+y）（z-y）≥0，展開并化簡后得：xy3+yz3+zx3-xyz（x+y+z）≥0，即證：xyz（++-x-y-z）≥0，即證：++≥x+y+z. 由柯西不等式：（x+y+z）（++）≥（x+y+z）2，即++≥x+y+z.

等號成立當且僅當x=y=z時，原不等式成立，且等號成立當且僅當a=b=c時。

總之，在許多問題中，若利用柯西不等式去解決，就能柳暗花明又一村。那些不能直接應用柯西不等式求解的問題，我們可通過一些變換技巧，使之能應用柯西不等式，達到解答問題的目的。

參考文獻：

[1]蔣明斌.巧用柯西不等式證不等式競賽題[J].數學通訊，2006（20）.

[2]王學功.著名不等式[M].北京：中國物資出版社，1994.

（江西省南昌市衛生學校）