基于廣義知識(shí)觀的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)策略

周麗娜

【摘要】 廣義的知識(shí)可分為陳述性知識(shí)和程序性知識(shí)兩大類，陳述性知識(shí)以命題和命題網(wǎng)絡(luò)表征，程序性知識(shí)以產(chǎn)生式和產(chǎn)生式系統(tǒng)表征，整塊的知識(shí)以圖式表征.根據(jù)廣義知識(shí)的表征特點(diǎn)，選擇的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)策略是：構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)化的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，精致練習(xí)，有意識(shí)地教學(xué)策略性知識(shí).

【關(guān)鍵詞】 廣義知識(shí)；陳述性知識(shí)；程序性知識(shí)；教學(xué)策略

數(shù)學(xué)知識(shí)包括：數(shù)學(xué)的概念和原理（包括性質(zhì)、法則、公式、公理、定理等），由內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想方法，按照一定程序與步驟進(jìn)行運(yùn)算、處理數(shù)據(jù)、推理、作圖、繪制圖表等數(shù)學(xué)技能.其中數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)原理對(duì)應(yīng)于陳述性知識(shí)，數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)技能對(duì)應(yīng)于程序性知識(shí)，其中數(shù)學(xué)技能對(duì)應(yīng)于智慧技能，數(shù)學(xué)思想方法對(duì)應(yīng)于策略性知識(shí).

一、構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)化的認(rèn)知結(jié)構(gòu)

網(wǎng)絡(luò)化的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是指儲(chǔ)存于學(xué)生頭腦中的、由子系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)編織成一張龐大、嚴(yán)密、有序、立體的數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò).它不僅含有知識(shí)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，而且含有解決問題的方法與步驟等交織在一起的“圖式”.現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)的研究表明，當(dāng)知識(shí)以一種層次網(wǎng)絡(luò)的方式進(jìn)行排列時(shí)，就可以大大提高知識(shí)的檢索效率，越居于高層次的節(jié)點(diǎn)，其抽象水平越高，適應(yīng)范圍越廣，容量也越大，因而具有更大的遷移性，從而達(dá)到舉一反三的效果.那么，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，怎樣幫助學(xué)生構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)化的認(rèn)知結(jié)構(gòu)？

在知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)中，不僅要讓學(xué)生學(xué)懂一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，而且要了解這個(gè)知識(shí)點(diǎn)所處的“環(huán)境”，就是前后、左右、上下的內(nèi)容﹒例如，異面直線所成的角，它的前面內(nèi)容是兩條相交直線所成的角，后面內(nèi)容是直線和平面所成的角，上、下內(nèi)容是異面直線的定義和異面直線之間的距離，左、右內(nèi)容是用平面幾何中的角來刻畫異面直線所成的角和怎樣作出、求出異面直線所成的角.重視知識(shí)點(diǎn)的“環(huán)境”，使各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的位置得到合理的分布，當(dāng)提取一個(gè)知識(shí)點(diǎn)時(shí)，相關(guān)的一些知識(shí)點(diǎn)也被激活.學(xué)習(xí)了多個(gè)知識(shí)點(diǎn)后，要指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“點(diǎn)”“線”加工.例如，學(xué)習(xí)了“函數(shù)及其表示”后，指導(dǎo)學(xué)生編織這部分內(nèi)容的結(jié)構(gòu)圖：

使這些知識(shí)點(diǎn)的關(guān)系更加完善和牢固，從而形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中的子系統(tǒng).

在單元復(fù)習(xí)課的教學(xué)中，通過“由理到題”（即按本單元的概念法則原理，逐一舉例）或“由題到理”（可通過解題，總結(jié)本單元的概念法則原理）的復(fù)習(xí)方式來引導(dǎo)學(xué)生對(duì)已學(xué)知識(shí)的回顧，在此基礎(chǔ)上，放手讓學(xué)生通過建構(gòu)網(wǎng)絡(luò)化的知識(shí)結(jié)構(gòu)將該單元的知識(shí)點(diǎn)科學(xué)地、有序地、有機(jī)地聯(lián)系起來，以充分體現(xiàn)各知識(shí)點(diǎn)承前啟后、上下呼應(yīng)、左右逢源的關(guān)系.

最后，通過一章一小結(jié)、一本書一中結(jié)、高三復(fù)習(xí)一大結(jié)的系統(tǒng)化復(fù)習(xí)，把各個(gè)已編織的子系統(tǒng)編織成更龐大、嚴(yán)密、有序、立體的數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)來存儲(chǔ)于學(xué)生的頭腦之中.

布魯納在《教育過程》中指出：“獲得的知識(shí)，如果沒有完滿的結(jié)構(gòu)把它聯(lián)在一起，那是一種多半會(huì)被遺忘的知識(shí).”這就告訴我們，知識(shí)只有構(gòu)成網(wǎng)絡(luò)化的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，才會(huì)使學(xué)生準(zhǔn)確而牢固地記憶.那么，他在問題解決時(shí)，就會(huì)在長時(shí)記憶中便于激活和提取，就會(huì)有計(jì)劃和有謀略地思維和解決問題.相反，如果教師在教學(xué)中孤立地教學(xué)知識(shí)點(diǎn)，不考慮知識(shí)之間的聯(lián)系，不引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建，那么學(xué)生學(xué)習(xí)的是一套死板的知識(shí)，這樣的學(xué)習(xí)是盲目、低效的學(xué)習(xí).

二、精致練習(xí)

根據(jù)認(rèn)知心理學(xué)的研究，有效的問題解決通常要依賴基本技能成分的自動(dòng)化，自動(dòng)化的基本技能可以不占用學(xué)生有限的工作記憶空間，因而能將更多的注意力放在諸如計(jì)劃、監(jiān)控這樣的高水平技能上.所以，數(shù)學(xué)教學(xué)要促進(jìn)基本的數(shù)學(xué)技能的自動(dòng)化.那么知識(shí)在頭腦中構(gòu)成了網(wǎng)絡(luò)層次，怎樣才能促進(jìn)知識(shí)達(dá)到熟練的自動(dòng)化程度？唯一的辦法就是在教師指導(dǎo)下進(jìn)行精致練習(xí).所謂精致練習(xí)，是指具有良好的動(dòng)機(jī)、接受有意義的反饋及仔細(xì)地不斷地指導(dǎo)與監(jiān)督下的數(shù)學(xué)練習(xí).精致練習(xí)能使“產(chǎn)生式”達(dá)到較高的“觸發(fā)”強(qiáng)度，促進(jìn)數(shù)學(xué)技能的自動(dòng)化.實(shí)施精致練習(xí)的途徑主要有：

1. 樣例效應(yīng)

樣例效應(yīng)是指從具有詳細(xì)解答步驟的事例中歸納出隱含的抽象知識(shí)來解決問題.樣例提供了問題解決的正確范式，如規(guī)則的功能、適用條件以及在具體情境中的操作，它減輕了學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷，提高了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率，在教學(xué)中教師要引起足夠的重視.例如，在指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用中都有比較兩個(gè)數(shù)大小的例題，教學(xué)中，可以讓學(xué)生自己從課本例題的具體解答中總結(jié)出解題模塊，即：

解題模塊是學(xué)生在自己頭腦里對(duì)某類數(shù)學(xué)問題解決方法的結(jié)構(gòu).解題模塊不但具有操作性，還體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，反映了背后的數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生享受數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)美，再經(jīng)過適當(dāng)?shù)木毩?xí)，它在學(xué)生的工作記憶中就會(huì)以一個(gè)自動(dòng)化的圖式來處理，也就是說學(xué)生獲得了自動(dòng)化的圖式，從而促進(jìn)了數(shù)學(xué)技能的自動(dòng)化和解題能力的遷移.

樣例效應(yīng)改變了學(xué)生被動(dòng)接受知識(shí)的地位，極大地調(diào)動(dòng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)積極性，學(xué)生通過對(duì)例題解答的詳細(xì)分析，萃取抽象性知識(shí)，把握規(guī)律性認(rèn)識(shí)，再應(yīng)用于問題解決，實(shí)質(zhì)上也促進(jìn)了學(xué)生經(jīng)歷建構(gòu)主義的生成性體驗(yàn)，這樣的學(xué)習(xí)是有意義的.

2. 變式練習(xí)

“變式”是在保持一事物本質(zhì)屬性不變的前提下，通過變換它的非本質(zhì)屬性，來突出它的本質(zhì)屬性的一種思維方式.“變式”一般有概念性變式和過程性變式.概念性變式是利用概念變式和非概念變式揭示數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性，使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)概念的多角度理解，進(jìn)而建立新概念與已有概念的本質(zhì)聯(lián)系.過程性變式的主要教學(xué)含義是在數(shù)學(xué)活動(dòng)過程中，通過有層次的推進(jìn)，使學(xué)生分步解決問題，積累多種活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).變式練習(xí)不僅可以提供多角度的理解，還可以提高練習(xí)的新鮮感和雙基的靈活性.

變式練習(xí)的核心是“變”，而“變”的精髓和價(jià)值，則在于弄清“為何要變”“如何去變”“往哪里變”的過程.變式練習(xí)已為我國廣大數(shù)學(xué)教師所熟悉，但在具體的數(shù)學(xué)變式練習(xí)教學(xué)中，教師不僅要使學(xué)生弄清“為何要變”“如何去變”“往哪里變”，而且要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探索“變”的規(guī)律.

3. 嵌入式訓(xùn)練

嵌入式訓(xùn)練是指在學(xué)生初步掌握“雙基”后，把它們結(jié)合到各種問題情境中去，這有助于三種記憶信息——陳述性記憶、產(chǎn)生式和目標(biāo)層級(jí)之間的聯(lián)結(jié).在嵌入式的訓(xùn)練中，教師應(yīng)精心設(shè)計(jì)例習(xí)題的典型性和層次性，注意問題的開放性、應(yīng)用性和綜合性，并注意設(shè)計(jì)問題串，把各種同類問題串聯(lián)起來，使學(xué)生形成一個(gè)比較清晰的線索，一個(gè)比較完整的結(jié)構(gòu)，還要注重解題通法，及時(shí)讓學(xué)生總結(jié)解題規(guī)律.通過嵌入式訓(xùn)練，形成數(shù)學(xué)題的解題技巧，加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，并培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)意識(shí).

數(shù)學(xué)技能只有經(jīng)過精致練習(xí)，才會(huì)達(dá)到自動(dòng)化而無須監(jiān)控，這樣才可能有力地促進(jìn)新任務(wù)的學(xué)習(xí)，但這并不等于說，練習(xí)的次數(shù)越多越好，過多的練習(xí)是一種浪費(fèi)，有時(shí)還有害，甚至還可能扼殺創(chuàng)造性.

三、有意識(shí)地教學(xué)策略性知識(shí)

策略性知識(shí)是學(xué)習(xí)者個(gè)人調(diào)控自己的認(rèn)識(shí)活動(dòng)以提高認(rèn)知操作水平的特殊的高級(jí)智慧技能.認(rèn)知策略水平高，知識(shí)就容易發(fā)生正遷移.因此，數(shù)學(xué)教學(xué)的核心任務(wù)就在于學(xué)生習(xí)得與學(xué)會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)的策略性知識(shí).

策略性知識(shí)是隱性的，也不能自發(fā)產(chǎn)生，只有有意識(shí)教學(xué)才能為學(xué)生掌握.所謂“有意識(shí)”，就是對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的過程進(jìn)行精心設(shè)計(jì)，將凝結(jié)在數(shù)學(xué)內(nèi)容中的數(shù)學(xué)家的觀察、試驗(yàn)、歸納、概括、邏輯推理與證明等思維活動(dòng)打開，并設(shè)計(jì)一定的載體（如教學(xué)情境、教師講解、學(xué)生探究和反思、變式訓(xùn)練等），用以展開這些數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，從而使策略性知識(shí)得以滲透和提煉.在教學(xué)中，教師要重在引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)地用眼看、用腦想、用手做，努力提供機(jī)會(huì)讓學(xué)生在他們自己的水平上感悟.

例如，“對(duì)數(shù)的運(yùn)算”這節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)（教學(xué)實(shí)錄片段）：

師：前幾節(jié)課我們學(xué)習(xí)了指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算，還有對(duì)數(shù)的概念.今天你們準(zhǔn)備研究什么內(nèi)容？你打算怎么樣去研究呢？（類比引入）

生：我想，與研究指數(shù)一樣，先概念后運(yùn)算，接著應(yīng)該研究對(duì)數(shù)運(yùn)算吧！

師：好，你想研究的具體內(nèi)容是什么？

師：好，我們先研究logaM + logaN = ？大家想一想，等式logaM+logaN = loga（M+N）成立嗎？

生：不一定.

師：為什么？

生：如果取特殊值a = 10，M = 1，N = 1就可知道.

師：噢，是用特殊化方式去思考，很好！那么logaM + logaN應(yīng)該等于什么？你有什么好的研究套路嗎？

生：從一般退到特殊，先從特殊入手.你不是經(jīng)常要我們這樣研究的嗎？

師：很好！下面就請(qǐng)同學(xué)們自己去研究.

生獨(dú)立思考，自行探究.

師：請(qǐng)大家說說自己的研究成果吧！

生：我的猜測(cè)是：logaM+logaN = loga（M·N）.

師：說說理由.

生：考慮常用對(duì)數(shù).

若M = 1，N = 10，則lg1 + lg10 = 0 + 1 = lg（1 × 10）；

若M = 10，N = 100，則lg10 + lg100 = 1 + 2 = lg（10 × 100）；

若M = 100，N = 1000，則lg100 + lg1000 = 2 + 3 = lg（100 × 1000）；

……

猜想：logaM + logaN = loga（M·N）（a > 0且a ≠ 1）.

師：接著我們?cè)撛趺崔k？

生：證明猜想結(jié)論.

師：好，我們來分析證明的思路.

以上的教學(xué)過程，其滲透的是化歸、類比、特殊化、一般化、歸納猜想證明等重要的策略性知識(shí).因?yàn)槟芴岣呷说膶W(xué)習(xí)記憶和思維效率的策略是無數(shù)的，雖然某些簡單的策略可以很快地學(xué)會(huì)，但大部分策略的學(xué)習(xí)是不能立竿見影的，所以認(rèn)知策略的訓(xùn)練是長期、反復(fù)和螺旋上升的.在教學(xué)過程中，教師要注意強(qiáng)調(diào)策略在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用，要讓學(xué)生明白，優(yōu)良的數(shù)學(xué)成績是正確應(yīng)用策略的結(jié)果，來激勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)策略的主動(dòng)性.

結(jié)束語：知識(shí)在頭腦中儲(chǔ)存，只有做到有條不紊地結(jié)合成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，能夠熟練自動(dòng)形成技能并擁有掌握調(diào)節(jié)與控制自己認(rèn)知過程的策略性知識(shí)，才能形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，才能在解決問題過程中有效地提取和應(yīng)用這些知識(shí)，使知識(shí)有效地向能力轉(zhuǎn)化.

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