從探究失敗中尋找收獲

朱佳

【摘要】 探究是數學課上學生活動的主要內容，探究不僅可以拓展學生的想象空間，提高學生學習數學的興趣，還可以活躍課堂氣氛，加強師生互動。但由于學生的知識水平有限，對一些問題的探究往往得不到期待的結果，或者以失敗而告終，久而久之，學生就會失去探究的興趣，使課堂重新回到教師的一言堂。為了避免這種情況的發生，我們教師不僅要在學生探究成功時給予充分的肯定，還要在學生探究失敗時幫助他們尋找收獲，提高學生探究的積極性。本文就一則案例，讓學生從探究失敗中尋找收獲。

【關鍵詞】 數學教學 探究 案例

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2014）11-001-01

解析幾何中，由已知曲線方程和對稱軸方程，求已知曲線關于對稱軸對稱的曲線方程的問題，這種問題實際上就是歸結到求軸對稱點的問題。即一個點的坐標M0（x0.y0），對稱軸為l，求M0（x0.y0）關于l的對稱點M（x，y）.根據兩個點關于某條直線對稱的定義，可以得到兩個特征：一是這兩點所在的直線與對稱軸垂直，二是這兩點所連線段的中點在對稱軸上。

當對稱軸的斜率不存在時：如對稱軸方程為l：x=a，我們就根據軸對稱點的兩個特征并結合坐標系，在已知點是M0（x0.y0）的情況下，很容易得到軸對稱點M（x，y）的坐標為 。

當對稱軸的斜率為0時，如對稱軸的直線方程為l：y=b，同樣在已知點為M0（x0.y0）的情況下，可以得到對稱點M（x，y）的坐標為 .

同學們很快想到，在對稱軸方程的斜率存在且不等于的情況下，能否根據軸對稱點的兩個特征，并結合坐標系，由已知點的坐標，對稱軸方程，推導出求軸對稱點坐標的一個簡單公式呢？筆者對學生的這種想法非常贊許，并隨即鼓勵學生對這一問題進行探究。

我們設已知點的坐標為M0（x0.y0），對稱軸方程為l：y=kx+b（k≠0），M0（x0.y0）關于l的對稱點為軸對稱點M（x，y），根據軸對稱點的兩個特征，直線MM0的斜率■應該是對稱軸方程的負倒數，即斜率等于-■，則線段MM0的中點（■，■）在對稱軸方程l：y=kx+b（k≠0）上，根據這些，我們可得關于x，y的方程組

，

解之得

.

我們雖然根據已知點M0（x0.y0）對稱軸方程l：y=kx+b（k≠0）得到了求對稱點方程的坐標公式，但這個公式太繁了，在解決實際問題時，沒有人愿意用這個公式進行求解。同學們很沮喪，覺得是一次探究失敗。在這種情況下，筆者及時給同學進行總結。我們根據軸對稱點的兩個特征，推導了求軸對稱點的公式。但由于這個公式比較繁，不適合于解題中的應用。但我們仔細觀察公式的特點可以發現。當對稱軸的斜率k=1時，得到 ，當對稱軸斜率k=-1時，也可以得到 。也就是說，當對稱軸方程的斜率是k=±1，我們只要將已知點的縱坐標y0替換對稱軸方程中的y，就能求出對稱點的橫坐標x，將已知點的橫坐標x0替換對稱軸方程中的x，就能求出對稱點的縱坐標y.

例：已知點M0（2，1），對稱軸方程為l：x+y-5-0，求M0關于直線l對稱的點的坐標M（x，y）

解：由x+y-5=0，得x=4

由2+y-5=0，得y=3

故 M（4，3）

這個結論還可以推廣到求軸對稱曲線方程的問題，如果曲線C的方程為f（x，y）=0，對稱軸l的方程為y=x+b，則C關于l對稱的曲線方程就為f（y-b，x+b）=0，同理，若對稱軸方程為y=-x+b，則C關于l對稱的曲線方程為f（-y+b，-x+b）=0.

在這節課的探究中，我們雖然沒有得到關于求對稱點的簡單的公式，但我們通過觀察，得到了一些特殊問題的簡單的解決方法，探究雖然失敗了，但是我們從失敗中仍然得到了一些收獲。今后我們凡是遇到對稱軸方程的斜率為±1時，我們就有了快捷的方法。當然，當對稱軸方程不為±1且不為0時，我們只能用軸對稱點的兩個特征，列方程組求對稱點的問題了。

俗話說，失敗是成功之母，失敗不僅是成功的基礎，在知識學習中，任何一次失敗中也都有可收獲的地方。只要我們教師在學生探究的失敗中幫助他們尋找收獲，就一定能夠提高學生探究的積極性，提高學生學習數學的興趣，從而進一步提高數學成績。