“觀察——聯想”

薛榮學

觀察題目的結構特征，對已有知識、方法、技能等進行聯想、回憶，從中選取解題所需要的素材，經過加工整理，以便找到突破口，進而尋找思路進行解題.這是數學解題的一種重要思維方法.

1.觀察數式特征，聯想概念，探究解題

例1設f（x）=4x[]4x+2，求和式f11001+f21001+…+f10001001的值.

分析觀察代數式的數字特征： 11001+10001001=1，21001+9991001=1，…，5001001+5011001=1.從而啟發聯想，尋求解題思路： f（x）=4x[]4x+2有何結構特點？

因為f（x）+f（1-x）=4x[]4x+2+41-x[]41-x+2=4x[]4x+2+4[]4+2·4x=4x[]4x+2+2[]4x+2=1，

所以，據此可發現“自變量之和為1的二次函數值之和也為1”這一特點.

故原式=f11001+f（10001001）+f21001+f9991001+…+ f5001001+f5011001=1+1+…+1500個=500.

2.觀察外形特征，聯想性質，轉換解題

例2求函數y=x2-12x+72+x2+36的最小值及此時x的值.

分析觀察外形，原式可變為（6-x）2+62+x2+62，因此聯想復數模并轉換用模的性質|Z1|+|Z2|≥|Z1+Z2| 解題.

這樣，y=x2-12x+72+x2+36=（6-x）2+62+x2+62.

設Z1=（6-x）+6i，Z2 =x+6i，則y=|Z1|+|Z2| ≥|Z1+Z2|=|6+12i|=65，

故ymin =65，當等號成立時必須6-x=x，從而x=3.

3.觀察等式特征，聯想公式，對比解題

例3求征：若對常數m和任意的x，f（x+m）=1+f（x）[]1-f（x）成立，則 f（x）是周期函數.

分析 細觀等式f（x+m）=1+f（x）[]1-f（x），聯想我們熟知的三角函數正切公式tanx+π4=1+tanx[]1-tanx，而tanx的周期是π，恰為π4的4倍，這樣聯想到f（x）是以4m為周期的函數，故得如下證法.

證明∵f（x+2m）=f＼[（x+m）+m＼]=1+f（x+m）1-f（x+m）=…=-1f（x），

∴f（x+4m）=f＼[（x+2m）+2m＼]=-1f（x+2m）=-1[]f（x）=f（x）.

故f（x）是以4m為周期的周期函數.

4.觀察結構特征，聯想意義，數形解題

例4求函數y=x2-2x+2+x2-10x+34的最小值.

分析觀察函數關系式的結構特征，將式子變形為（x-1）2+12+（x-5）2+32.聯想其幾何意義，將問題轉換為：在x 軸上求一點使到A（1，1）和B（5，3）的距離之和為最小.

解（如圖）作點A關于x 軸的對稱點A1（1，-1），

連接A1B，則A1B與x 軸交于C（2，0），那么AC+BC=A1B，

顯然C就是所求的點，故

ymin=（2-1）2+12+（2-5）2+32=42.

5.觀察信息特征，聯想反面，逆向解題

例5拋物線y=（ k-2）x2-4kx+2k-6與x軸有兩個交點，其中至少有一個在x軸負半軸上，求實數k的取值范圍.

分析從題目的已知條件“拋物線與x軸有兩個交點”獲得信息，應有

k-2≠0，

16k2-4（k-2）（2k-6）>0，這是前提條件.又由“至少有一個交點在x軸負半軸上” 獲得信息，它包括：（1）兩個交點均在x軸負半軸上；（2）一個交點在x軸負半軸上.這樣后面情形需要分類討論，分別求出k的范圍，再取其并集，顯然運算量較大.事實上，我們只要細觀題目所提供的信息特征，從而“一反常態”，聯想到它的反面，進而從反面入手，求其補集，便可大大優化解題程序.

解已知“拋物線與x軸有兩個交點”，故必須：k-2≠0，

16k2-4（k-2）（2k-6）>0），

解得k≠2，

k>1或k<-6，

即k<-6，或12.（1）

再從反面出發，由“兩交點都不在x軸負半軸上”，得

4kk-2>0，

2k-6k-2≥0，

解得k<0或k>2，

k<2或k≥3，即k<0，或k≥3.

從而滿足“至少有一個交點在x軸負半軸上”的k的范圍是：0≤k<3.（2）

最后，由（1）（2）求交集，得滿足題意的k的范圍是：0