解析幾何中面積最值問題的常見解題策略

劉彬

解析幾何一直是高考考查的熱點和難點問題，綜合程度高，強調“幾何圖形代數化與代數結果幾何化”，而面積最值問題的考查與研究是解析幾何中一個重要方向，在平時的教學過程中應引起足夠的重視，現筆者試從例題入手介紹常見的幾種解題策略，以期拋磚引玉.

策略一：借助于基本不等式求解面積最值問題

例1（2011年卓越聯盟自主招生13）已知橢圓的兩個焦點為F1（-1，0），F2（1，0），且橢圓與直線y=x-3相切.

（1）求橢圓的方程；

（2）過F1作兩條互相垂直的直線l1，l2，與橢圓分別交于P，Q及M，N，求四邊形PMQN面積的最大值與最小值.

析（1）略橢圓方程為x22+y2=1.

（2）若PQ斜率不存在（或為0）時，則S四邊形PMQN=|PQ|·|MN|2=22×21-122=2.

若PQ斜率存在時，設為k（k≠0），則MN為-1k.

所以直線PQ方程為y=kx+k.設PQ與橢圓交點坐標為P（x1，y1），Q（x2，y2）.

聯立方程x22+y2=1，y=kx+k.化簡得（2k2+1）x2+4k2x+2k2-2=0.

則x1+x2=-4k22k2+1，x1x2=2k2-22k2+1.

所以|PQ|=1+k2|x1-x2|=（1+k2）[16k4-4（2k2-1）（2k2+1）]2k2+1=22k2+12k2+1.

同理可得|MN|=22k2+12+k2.

所以S四邊形PMQN=|PQ|·|MN|2=4（k2+1）2（2+k2）（2k2+1）=4k4+2k2+12k4+5k2+2=412-12k22k4+5k2+2

=412-k24k4+10k2+4=412-14k2+41k2+10.

因為4k2+41k2+10≥24k2·4k2+10=18（當且僅當k2=1時取等號）.

所以，14k2+41k2+10∈0，118，所以412-14k2+41k2+10∈169，2.

綜上所述，S四邊形PMQN的最小值為169，最大值為2.

評注本題作為卓越聯盟自主招生的13題，考查學生的數學綜合能力，解決本題最值問題時通過選取k為變量，變量選取，建立目標函數利用基本不等式求最值.

例2已知拋物線y2=4x的頂點O，點A（5，0），傾斜角為π4的直線l與線段OA相交但不過O，A兩點，且交拋物線于M，N兩點，求使△AMN面積最大的直線l的方程，并求△AMN的最大面積.

析對于△AMN的面積，可利用線段|MN|的長及點A到直線l的距離d來表示，而表達式是關于b的函數，再考慮求函數的最值即可.

設直線l的方程是y=x+b.

∵直線與線段OA相交，∴-5

由方程組y=x+by2=4x消去y得x2+（2b-4）x+b2=0.

∵Δ=（2b-4）2-4b2=16（1-b）>0，

∴直線l與拋物線必有兩個交點，設為M（x1，y1），N（x2，y2）.

則由弦長公式可得