“化圓為方”之二——尺規(guī)作圖、規(guī)矩?cái)?shù)和π

李先銅

雖然論文已經(jīng)從哲學(xué)的高度、數(shù)學(xué)的高度、幾何的高度，解決了化圓為方問題，但是還有一些人們懷疑的不清楚的問題，特別是尺規(guī)作圖問題，等等，需要做進(jìn)一步地說明和論證.

一、在哲學(xué)上、幾何上，我已經(jīng)解決了化圓為方問題

1.在哲學(xué)上，哲學(xué)只是回答，化圓為方可不可能的問題.可能就是可能，不可能就是不可能.早在1831年，黑格爾在《哲學(xué)史講演錄》里說，化圓為方是不可能的，是個(gè)永垂不朽的問題，是偽命題.我現(xiàn)在化圓為方成功了.這說明，我在哲學(xué)上已經(jīng)推翻了哲學(xué)的化圓為方不可能的神話，使化圓為方這個(gè)偽命題，成了真命題.

2.在幾何上，我也取得了化圓為方的成功.幾何是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支.幾何論證問題，首先在于審題.對于化圓為方這個(gè)幾何問題，正確的審題是：把圓和方劃分成相等的或者可以證明的幾何的形或者塊，然后證明各個(gè)幾何的形和塊相等，最后得出它們相等的結(jié)論.

至于把它們劃分成什么樣的幾何的形或者塊，是扇形還是弓形，是三角形還是尖角形，還是月牙形，是不能預(yù)先限制的，要根據(jù)具體的情形而定.筆者在證明化圓為方的時(shí)候，采用的幾何圖形是半圓形（半圓規(guī)），用這個(gè)半圓幾何圖形來解化圓為方這個(gè)幾何問題，是正確的幾何解題思路和方法.

而數(shù)學(xué)家懷疑我用的半圓規(guī)這個(gè)幾何工具，也就是懷疑半圓這個(gè)幾何圖形.這種懷疑是沒有幾何依據(jù)的.

二、關(guān)于尺規(guī)作圖問題

1.圓規(guī)的定義

圓規(guī)的定義是：畫圖時(shí)作圓的工具.

圓規(guī)不是天生的，而是人造的.造什么樣的圓規(guī)，是個(gè)哲學(xué)問題.

哲學(xué)，在兩千多年前，稱作形而上學(xué).所謂形而上學(xué)，是指形而上的東西，是超乎形的東西.那么，對于圓規(guī)的定義來說，就不能有形狀的限制.如果要受形的限制，那就應(yīng)該受到圓的天性的限制.而圓的天性就是圓形，而不是兩只腳的怪物.

我解化圓為方的時(shí)候，用了半圓規(guī)這個(gè)幾何工具，這既是符合哲學(xué)的，又是符合幾何學(xué)的，還符合圓規(guī)的定義的.而且，這個(gè)半圓形規(guī)，還具有圓的天性.

2.尺規(guī)作圖的問題

古希臘人認(rèn)為數(shù)學(xué)的精髓在于：基本假設(shè)越少越好，推出的命題越多越好.對于作圖工具，當(dāng)然是越少越好.根據(jù)《幾何原本》第三條公設(shè)：以任意中心和直徑可以作圓.數(shù)學(xué)家就得出了作圖工具只能是直尺和圓規(guī)的推論.他們認(rèn)為，直尺和圓規(guī)是最少的兩樣作圖工具.

事實(shí)上，在這里，數(shù)學(xué)家犯有兩個(gè)錯誤.一是，直尺和圓規(guī)是最少的兩樣工具.殊不知，我今天所用的工具，只是一件工具——半圓規(guī)（我稱作尺規(guī)）而已.我的這個(gè)一件工具——尺規(guī)（半圓規(guī)），比他們的兩件工具——直尺和圓規(guī)還要少.所以，我這一件工具，才是最少的工具，才真正符合最少工具這個(gè)哲學(xué)定義.而我這一件工具，還解決了化圓為方的問題.他們的兩件工具還沒有解決化圓為方問題.所以，這不能不說，他們犯了個(gè)錯誤.

第二個(gè)錯誤是什么呢？根據(jù)《幾何原本》第三條公設(shè)：以任意中心和直徑可以作圓.數(shù)學(xué)家就推出作圖工具只能用直尺和圓規(guī).我認(rèn)為，這個(gè)推論也是錯誤的.

這個(gè)推論的錯誤在于：因?yàn)槲也恍枰獔A規(guī)，同樣可以作圓.只需要將直徑的中心定為圓心，將直徑對折得到中心和半徑，將中心固定，讓半徑旋轉(zhuǎn)即可作圓.根據(jù)工具越少越好的原理，就不必要再用圓規(guī)了.或者說，用直尺，就可以作圓.具體作法是，將直尺的一端固定為圓心，將其另一端旋轉(zhuǎn)，即可作圓.因?yàn)楣ぞ咴缴僭胶茫裕瑘A規(guī)就多余了.

居然圓規(guī)是靠旋轉(zhuǎn)作圓的，那么，我當(dāng)然可以讓直尺旋轉(zhuǎn)作圓啊.

那么，根據(jù)第三條公設(shè)，我得出圓規(guī)多余的結(jié)論.對不對呢？這是第三公設(shè)錯了，還是我的推論錯了呢？

其實(shí)，這第三條公設(shè)沒有錯，我的推論也沒有錯.而是數(shù)學(xué)家的推論：只能用直尺和圓規(guī)作圖，錯了.

那他們是怎么錯的呢？

根據(jù)第三公設(shè)，以任意中心和直徑可以作圓，可以推出，直尺和圓規(guī)可以作圖的結(jié)論.但這不是作圖的唯一方法.數(shù)學(xué)家的錯誤，是把這個(gè)可行的方法，當(dāng)作了唯一的方法.把這兩樣可行的工具，當(dāng)作只能采用的工具.所以，是數(shù)學(xué)家錯了.這是邏輯上的錯誤.

三、關(guān)于規(guī)矩?cái)?shù)問題

1.規(guī)矩?cái)?shù)里，數(shù)學(xué)家犯了一個(gè)錯誤

規(guī)矩?cái)?shù)的規(guī)指圓規(guī)，圓規(guī)作出的圖是圓弧或者圓周.在數(shù)學(xué)王國里，圓規(guī)就是用圓弧和圓周來存儲數(shù)據(jù)的.規(guī)矩?cái)?shù)中的矩指直尺，直尺作出的圖，是直線.在數(shù)學(xué)王國里，直尺就是用直線來儲存數(shù)據(jù)的.

為了表達(dá)更準(zhǔn)確，我把規(guī)矩?cái)?shù)中圓規(guī)代表的數(shù)，稱作規(guī)數(shù)，把直尺代表的數(shù)稱作矩?cái)?shù).這樣，因?yàn)閳A規(guī)只能作圓周，所以規(guī)數(shù)就只能表示在圓周上.因?yàn)橹背咧荒茏髦本€，所以矩?cái)?shù)就只能表示在直線上.規(guī)數(shù)和矩?cái)?shù)以及它們合作產(chǎn)生的新數(shù)據(jù)，統(tǒng)稱規(guī)矩?cái)?shù).

值得注意的是，圓規(guī)是不能作出（畫出）半徑或者直徑的，半徑和直徑只能由直尺畫出的.所以，半徑和直徑只能是直尺的數(shù)，是矩?cái)?shù).數(shù)學(xué)家在這里犯了個(gè)錯誤，他們認(rèn)為，圓規(guī)是用半徑或者直徑來儲存數(shù)據(jù)的.或者說，數(shù)學(xué)家想當(dāng)然的，并不是理論證明了的，把半徑和直徑當(dāng)作了圓規(guī)儲存數(shù)據(jù)的地方.這是數(shù)學(xué)家的錯誤，并不是規(guī)矩?cái)?shù)的錯誤.

2.關(guān)于弧度的秘密

其實(shí)，圓周的旋轉(zhuǎn)或者滾動，早在17世紀(jì)就產(chǎn)生了，這是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)秘密.因?yàn)榛《赛c(diǎn)，也就是等于半徑長度的那段圓弧在圓周上的那個(gè)點(diǎn)，早在17世紀(jì)隨著弧度制的產(chǎn)生就產(chǎn)生了.這個(gè)點(diǎn)是怎么產(chǎn)生的呢？就是圓的旋轉(zhuǎn)或者滾動產(chǎn)生的.這個(gè)秘密人們一直不敢捅破.究竟是什么原因呢？原因就是數(shù)學(xué)家把圓規(guī)限定為兩腳規(guī)造成的錯誤.

3.關(guān)于π的問題

數(shù)學(xué)家說，π不是規(guī)矩?cái)?shù).他們說π是超越數(shù).這又是數(shù)學(xué)家的一個(gè)錯誤.

眾所周知，π之所以產(chǎn)生，是因?yàn)閳A周.圓周的產(chǎn)生，是因?yàn)閳A規(guī).沒有圓規(guī)，就沒有圓周，就沒有π.圓規(guī)畫一個(gè)圓周，π就產(chǎn)生了.所以，π是圓規(guī)畫出的數(shù)，理所當(dāng)然，π是規(guī)矩?cái)?shù).

總之，數(shù)學(xué)如果接受了半圓規(guī)，規(guī)矩?cái)?shù)也就正確了，π也就是規(guī)矩?cái)?shù)了.有了新圓規(guī)的參與，數(shù)學(xué)新的視野就打開了.那是一個(gè)嶄新的世界，那是一個(gè)廣闊的天地！

我就是接受了半圓規(guī)，正確認(rèn)識了規(guī)矩?cái)?shù)，一舉解決了化圓為方這個(gè)千古難題的.