讓學生的思想在“數”與“形”的世界里自由穿梭
2014-04-29 12:26:55曾勤
數學學習與研究 2014年15期
曾勤
【摘要】 數形結合不僅是解題的工具，更應上升為一種數學意識和科學意識.深層探索數學新課教學中數形結合的教學方法，把數形結合作為數學思想的有機整體進行闡釋.“形”中覓“數”，在變化中實現概念的發展；“數”中思“形”，在探究中實現知識的發展；數形結合，在拓展中實現方法的發展；提煉升華，在反思中實現思想的發展.課堂教學中充分體現數形結合思想使用的有序性、層次性和過程性，讓學生在數形結合的思想幫助下正確理解函數極值的概念，學會用導數判別函數極值的方法.
【關鍵詞】 數形結合；函數的極值；導數
眾所周知，數學是研究現實世界的空間形式與數量關系的一門學科.而數與形是同一事物的兩個屬性，數無形不直觀，形無數難入微，由數思形，由形想數，相互推進，層層深入，易于揭露本質與規律.數形結合的思想便是數學學習的重要思想之一.數形結合思想方法的教學價值和解題功用也早已得到廣大數學教學工作者的認可，其理論研究和實踐探索也日趨深入.而筆者在教學實際中常常遇到這樣的現狀：一些能用“數形結合”巧解的題目，在學生自己做題時卻想不到用“數形結合”的方法，等老師提示后才恍然大悟，但下次再碰到其他類似情景卻還是不能主動用數形結合的思想解決問題.究其原因是在平時的課堂中教師更多的只是把它視為解題的手段，只在使用時一帶而過，數形結合的教學過程不深入，課堂教學中數形結合思想使用不完善，未能更好地培養學生數形結合的數學意識.
作為一種重要的數學思想，數形結合不僅是解題的工具，可以上升為一種數學意識，甚至是一種科學意識.如何使學生在學習的過程中掌握和運用這種思想？這就需要教師在新課的教學中有意識、有目的地結合數學知識，把融合在知識、技能之中的數形結合思想方法提煉出來，再通過訓練逐步滲透，在“滲透—積累—重復—內化”的過程中轉化為學生的數學思想素養，提高學生的數學能力.筆者在區級公開課中開設了本節內容的新課教學，得到了專家的指導，在教學實踐后對這個問題有了一些膚淺的看法，現形成以下觀點就教于方家.
1.“形”中覓“數”，在變化中實現概念的發展
人教版普通高中課程標準實驗教科書《數學·選修2-2》第1.3.2節“函數的極值與導數”給出了如下三個函數圖像：
觀察1：圖1.3.8 表示高臺跳水運動員的高度h隨時間t變化的函數h（t）=-4.9t2+6.5t+10的圖像.
圖138
觀察2和觀察3：圖1.39和圖1.310，函數y=f（x）在a，b，c，d，e，f，g，h等點的函數值與這些點附近的函數值有什么關系？函數y=f（x）在這些點的導數值是多少？在這些點附近，y=f（x）的導數的符號有什么規律？
圖139 圖1310
如何運用教材中的上述情境才能達到較好的教學效果呢？下面請看課堂實錄片段.
教師：通過上節課的學習，導數和函數單調性有什么關系？
學生1：函數單調遞增，導數大于零；函數單調遞減，導數小于零.
教師：大家觀察圖1.3.8，回答這樣一些問題.
（教師展示問題）（1）在點t=a附近的圖像有什么特點？（2）點t=a附近的導數符號有什么變化規律？（3）當t=a時，高臺跳水運動員距水面的高度最大，那么函數h（t）在t=a處的導數是多少呢？
學生2：在t=a左邊的圖像單調遞增，導數大于零，右邊的圖像單調遞減，導數小于零，在t=a處導數等于零.
教師：你是如何判斷在t=a處導數等于零呢？
學生2回答預習過.其他有同學補充導數有大于零的有小于零的，中間肯定是等于零.
教師：很好.那對其他的連續函數是不是也有這種性質呢？那我們再來觀察分析函數f（x）=2x3-6x2+7在x=0，x=2附近的函數值分別與f（0），f（2）的關系.在這兩個點附近的導數符號有什么規律？
學生3：f（0）比周圍的函數值大，f（2）比周圍的函數值小.當x<0時導數大于零，x>0時導數小于零，x<2時導數小于零，x>2時導數大于零，在x=0和x=2時導數等于零.
教師：很好.（同時利用幾何畫板動態演示圖形，并用具體的數字對學生回答證明）
教師：大家再觀察1.3.9圖所表示的y=f（x）的圖像，想一想函數y=f（x）在a，b點的函數值與這些點附近的函數 值有什么關系？函數y=f（x）在a，b點的導數值是多少？在a，b點附近，y=f（x）的導數的符號分別是什么，并且有什么關系呢？
學生歸納：函數f（t）在a點處h′（a）=0，在t=a附近，當t
教師：那對于有這樣性質的點我們給它們一個總的名稱吧——引出概念.（學生一起學習概念）
教師：那大家再思考一下函數的極值點唯一嗎？極大值一定大于極小值嗎？
教師展示圖1.3.10，通過圖像學生能得到統一的答案.
分析：數學中每一個概念都有其原始的直觀的模型，都有其來龍去脈，教科書給出了大量的函數圖像，讓學生觀察圖像，直觀感受函數在某些點（極值點）的函數值與附近點函數值大小之間的關系，并直觀感受函數在這些點的導數值以及在這些點附近函數的增減情況.從圖像上看非常直觀，學生有“眼見為實”的感受，為學生自我探索函數的極值與導數的關系搭好了橋梁.同時以圖1.3.10為例進行了具體說明.在此基礎上，給出了函數的極大值和極小值概念，學生對函數極值的概念能有清晰圖像的記憶和理解.
2.“數”中思“形”，在探究中實現知識的發展
作為導數在研究函數中的應用的第二節課，本節課的重點應放在求三次函數的單調區間以及極值.那么如何自然地建構出其解決的步驟呢？下面請看教學片段.
教師：那我們現在一起總結函數極值的特點.
（教師再次通過圖形和表格圖像對函數極值的特點進行了回顧，表格圖像得到了學生的認同，也為后面求三次函數極值打下了伏筆，引導學生可以用表格圖像來確定函數的極大值和極小值）
練習：已知函數f（x）=ax3+bx2+cx，其導函數的圖像經過點（1，0）和（2，0），如圖所示，則下列說法不正確的是（）.
A.當x=1時取得極大值B.當x=2時取得極小值
C.當x=1.5時取得極大值D.函數有兩個極值點
解析 略.
提煉：通過導函數的圖像求極值點時，根據極值的定義先看導函數與x軸的交點，再由此點左右導數的正負來判斷極大值點還是極小值點.
例1 求函數f（x）= 1[]3 x3-4x+4的極值.
解析 略.
師生一起完成例1的解答，在解決問題的過程中體會作出表格更清楚地判斷極大值點或極小值點的便利.同時學生根據計算作出三次函數的草圖.
分析：例題教學除了有強化概念理解、完善認知結構的功能外，更為重要的是能從中提煉出解決問題的一般方法.為了突破求函數極值的難點，在例1學習前先表格圖像再次總結了函數極值的概念，表格直觀清楚，容易看出具體的變化情況，并且判斷極大值還是極小值，合理過渡，同時又設置了一個用導數圖像求函數的極值的練習，利用數形結合思想的優勢使得學生的思維實際化、具體化，有意識地運用和揭示了數形結合的思想，化解了難點，幫助學生更加準確、快速地解決問題.
3.數形結合，在拓展中實現方法的發展
知識的應用和適度引申更是數學課堂的一個重要環節，能更好地幫助學生理解知識的內涵及外延.本節課設置了例2來強化概念的理解，在數形結合思想的使用中更深地感受到其方法之巧妙，問題的某些數量特征往往能給人們有關構建圖形的提示，反過來，利用圖形的結構特征又能夠幫助人們找到解決問題的思路.
例2 若關于x的方程x3+4x2+5x+2=k有三個不相等的實數根，求實數k 的取值范圍.
學生思考了2分鐘后，基本上都比較迷茫，不知解決出路在哪里.
教師：大家覺得有點無從下手是嗎？
眾生：是.
教師：那以往我們都是用什么辦法來解決根的個數問題的？
學生：用判別式，但是這里是三次函數沒有判別式.
教師：哦.那我們只能把判別式的方法先暫時擱置一旁.對于三次函數我們能做什么呢？
學生：剛剛學會求三次函數極值和作出草圖.
教師：那草圖能幫我們解決這個問題嗎？
學生：求函數圖像交點的個數.
教師：很好.
分析：用函數的圖像討論方程的解的個數是一種重要的思想方法，可以避免煩瑣的運算，獲得簡捷的解答.加深數形結合的思想的理解和運用.而對于不熟悉的函數的圖形可以通過求函數的極值勾勒函數圖像，以數解形，感受導數在研究函數性質中的一般性和有效性.教學中緊緊抓住數形轉化的策略，溝通知識聯系，激發學生學習興趣，提高學生的思維能力.只有這樣，數形結合才能不斷深化提高.
4.提煉升華，在反思中實現思想的發展
在課堂小結中，學生一起提煉本節課的主要思想，不足之處教師補充，實現思想的突破與發展.
教師：回顧本節課的主要內容及研究思想，我們首先通過觀察大量的圖像發現了一些點有著共同的特殊性質，實現了概念的生成；同時求函數極值可以畫函數的大致圖形來研究函數的更多性質，這些都是數形結合的思想.最后一道含參數問題，本來很棘手的問題在用了數形結合的方法后迎刃而解.以后同學們見到數量就要考慮它的幾何意義，見到圖形就要考慮它的代數關系，找出問題的關鍵.在思考和解決問題的過程中，數和形兩個方面往往不能截然分開.尤其是一些較為復雜的問題，需要兩個方面的互相轉化，相互利用.
分析：加強數學思想方法的教學可以讓學生從簡單盲目的學習轉化到有意義的學習狀態，縮短學生在學習中盲目探索的過程.數形結合則是具體與抽象、感知與思維的結合，是發展形象思維與抽象思維并使之相互轉化的有力“杠桿” 教師應在數學教學中盡量發掘“數”與“形”的本質聯系，借助數形結合的“慧眼”，探索分析問題和解決問題的方法，變學生學會為會學，提高學生的數學素養，在數學教學中真正實現素質教育.
5.數學教學中滲透“數形結合”思維的思考
數形結合的思想堪稱數學界的經典思維，但是僅憑復習時數形結合方法的專題學習還太片面，數學教學是數學思維的教學.思維始于問題，設計適宜的問題、好的問題、能引起學生積極思維的問題，是有效地培養學生數學思維的 前提.如在新課的知識發現過程的呈現中，教師的一些啟發性思考問題是適宜的，如“大家觀察圖1.3.8，選擇什么工具可以量化圖形的變化？”“能否通過圖像在點A附近導數符號的變化來探究點A處導數值？”“這是偶然還是可以推廣的結論？”等等.問題的設置一定是符合學生的思維發展特點，有一定的引導性和思維量，同時也有適當的啟發性，啟發性可以“由遠及近”“由弱及強”逐步給出.
課堂教學注重學生的“數形結合”思維培養當然要關注學生的思維過程，關注學生對問題是怎么樣思考的，設身處地地了解學生的思維障礙在哪里.首先要給學生表達的機會，不但讓他們表達自己的思維結果，還要表達思維過程，可以用書面表達，也可以直接口頭表達.其次，教師對學生的表達可進行追問，以進一步挖掘學生的思維過程，或者將問題通過圖形呈現讓學生來量化，或將問題以代數呈現讓學生通過圖像來形象化，變換的形式來深入學生的思維活動，推向高潮，從而更好地提高思維層次，發展思維，讓“數形結合”的思想在學生的頭腦中逐漸生根發芽，自由地將此思想運用到平時的學習或生活中.
【參考文獻】
[1]曹才翰，張建躍.數學教育心理學.北京師范大學出版，2006.
[2]朱效東.淺析“數形結合” 在數學教學中的應用.2004.
[3]羅增儒，羅新兵.作為數學教育任務的數學解題[J].數學教育學報，2005（1）.
[4]涂榮豹.談提高對數學教學的認識[J].中學數學教學參考，2006（1-2）.
