幾個(gè)同余恒等式的群論證明

潘俊堯　袁俊麗

【摘要】 同余關(guān)系是研究數(shù)論問(wèn)題的基本出發(fā)點(diǎn)，本文應(yīng)用群論中的sylow定理及特殊群的素?cái)?shù)冪階子群的個(gè)數(shù)定理得到幾個(gè)同余恒等式，為初等數(shù)論及組合數(shù)學(xué)同余問(wèn)題的研究提供新的思路.

【關(guān)鍵詞】 同余關(guān)系；群論；sylow定理；同余恒等式

【資助基金】 南通大學(xué)教改課題——研究性教學(xué)方法在非師范生高等代數(shù)課程中的應(yīng)用，代碼：13050992

一、引言

設(shè)有限群的階為N，設(shè)N=n·pm，其中p是N的素因子，且n和p未必互素.由群論中的sylow定理可知同余關(guān)系：

CpmN≡n（pm）·n（modnp）. （1）

對(duì)任何群恒成立，其中CpaN表示在N=n·pn個(gè)互不相同元素中任取pm個(gè)互不同的元素的組合數(shù)，n（pm）表示G中pm階子群的個(gè)數(shù).本文主要討論當(dāng)G為循環(huán)群、初等交換p-群、二面體群等特殊群時(shí)，通過(guò)該同余關(guān)系可以得到怎樣的同余恒等式.

二、主要定理

定理1

1.定理1證明

四、結(jié)論

群論的研究角度是利用該同余關(guān)系分析群的素?cái)?shù)冪階子群個(gè)數(shù)問(wèn)題，本文則應(yīng)用該同余關(guān)系結(jié)合群素?cái)?shù)冪階子群個(gè)數(shù)的性質(zhì)來(lái)研究同余恒等式，為同余恒等式的研究提供一個(gè)全新的思路.

【參考文獻(xiàn)】

徐明曜.有限群導(dǎo)引（上冊(cè)）[M].北京：科學(xué)出版社，1999.