一道圓錐曲線最值題的探討

范萍

圓錐曲線是解析幾何的精華所在，圓錐曲線的最值問題就成了高考的重要內容之一，它融合了解析幾何、不等式、函數于一體.對解題者來說，能力要求也比較高，因此這類問題成了高考中數學的難關，但其解法還是有章可循、有法可依的.本文來談談筆者遇到的一道求圓錐曲線最值的題目：

已知橢圓 x2 25 + y2 9 =1的左、右焦點為F1，F2，A（2，1）是橢圓內一點，P為橢圓上任意一點，求PA+ 5 4 PF2的最小值.

這道題討論的是PA+ 1 e PF2（e是橢圓的離心率）的最值，點A（2，1）在橢圓的內部，利用圓錐曲線的統一定義“化曲為直”來解決：

設點P到右準線x= 25 4 的距離為d，由 PF2 d =e= 4 5 ，得到d= 5 4 PF2，所以PA+ 5 4 PF2=PA+d≤ 25 4 -2= 17 4 ，此時點P的坐標為 10 2 3 ，1 .

但是，這道題里的系數條件似乎有些苛刻，而且顯得生硬，讓學生很難理解系數的設計用意.鑒于此，筆者在系數上做了些改動，找準問題的實質背景，進行一些通解探索，供讀者參考.

（1）求PA-PF2的最值.

利用三角形任意兩邊之差小于第三邊，有

PA-PF2 ≤AF2， 即-AF2≤PA-PF2≤AF2.

當點P為線段AF2的延長線與橢圓的交點時，PA-PF2取得最大值；當點P為線段F2A的延長線與橢圓的交點時，PA-PF2取得最小值.

（2）求PA+PF2的最值.

當P在橢圓上運動的時候，我們不能像前面一樣直接用一個明確的長度來描述它的最值大小，也不能清楚地找到取得最值的位置，如何解決呢？這里可以把這個問題轉化一下.因為PA+PF2=PA+2a-PF1=PA-PF1+2a，所以就變成求PA-PF1的取值范圍問題.化歸為上面的問題：-AF1≤PA-PF1≤AF1，從而求解出

2a-AF1≤PA-PF1≤2a+AF1.

對于點在橢圓外，類似的結論也成立.在這道題中，我們不妨設點M（-6，1）.

PM+ 5 4 PF2的最小值求解方法和定點A在橢圓內一樣，這邊就不詳述了.重點研究

PM-PF2和PM+PF2的取值范圍.

由三角形兩邊之 差小于第三邊，有PM- PF2≤MF2，因此，當點P為線段MF2的延長線與橢圓的交點時，PM-PF2有最大值MF2.而在求它的最小值時，應該先把PM-PF2轉化為PM-（2a-PF1）=PM+PF1-2a，由三角形兩邊之和大于第三邊，有PM+PF1≥MF1，這樣，當點P為線段MF1與橢圓的交點時，PM-PF2有最小值MF1-2a.從而求出PM-PF2的取值范圍為[MF1-2a，MF2].

求PM+PF2的取值范圍，可以效仿上述過程.

由三角形兩邊之和大于第三邊，可得PM+PF2≥MF2，因此，當點P為線段MF2與橢圓的交點時，PM+PF2有最小值MF2；求最大值時，先把PM+PF2轉化為PM+（2a-PF1）=（PM-PF1）+2a，因為PM-PF1≤MF1，所以當P為線段MF1的延長線與橢圓的交點時，PM+PF2取得最大值MF1+2a.從而求出PM+PF2的取值范圍為[MF2，MF1+2a].

由此可見，只要合理地利用好圓錐曲線的定義，求解PM+mPF2的取值范圍的這一類問題并不困難.如果m= 1 e ，那么利用圓錐曲線的統一定義轉化為兩條線段的長度之和，“化曲為直”來解決；如果m=±1，采取數形結合的思想，合理地利用好三角形中的“任意的兩邊之和大于第三邊，任意的兩邊之差小于第三邊”，如果不能直接看出來的，可以通過圓錐曲線的定義把PF2換成2a-PF1，再去解決.最終取得最值的位置都應該在直線與曲線的交點處.

當然，如果這里的橢圓換為雙曲線、拋物線，也有類似的結論.

把一道典型的圓錐題通過多角度、不同背景的變式，由淺入深，由簡單到復雜，可讓學生掌握姊妹題甚至一類題的解法，最終把隱含的有意義的結論一一推導出來，通過改變條件，發現由不同條件可以得出相應不同或相同的結論，找出了不同知識之間的聯系與規律，學生在對基本原理、規律的探究、發現、歸納和應用的過程中，總結規律，既知其然，更知其所以然，培養了學生運用數學思想方法去分析問題和解決問題的能力、探究創新的能力以及靈活多變的思維能力.