巧用“數(shù)形結(jié)合”，拓寬解題思路

周芳

【摘要】 數(shù)形結(jié)合方法是一種重要的數(shù)學方法，它體現(xiàn)了教育改革倡導的新的思想方法.在教學中，重視數(shù)形滲透，使學生通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，拓寬了解題思路.

【關鍵詞】 數(shù)形結(jié)合；數(shù)量關系；空間形式

我國著名數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難入微，數(shù)與形結(jié)合百般好，隔離分家萬事非.”“數(shù)”與“形”反映了事物兩方面的屬性.

我們認為，數(shù)形結(jié)合，主要指的是數(shù)與形之間的一一對應關系.數(shù)學研究的對象是數(shù)量關系和空間形式，即“數(shù)”與“形”兩個方面，由于坐標系的建立，使實數(shù)對與坐標平面上的點建立了一一對應的關系，進而可以使函數(shù)解析式與函數(shù)圖像、方程與曲線建立起一一對應的關系，使數(shù)量關系的研究可以轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的研究；反之，也可以使圖像性質(zhì)的研究轉(zhuǎn)化為數(shù)量關系的研究，即數(shù)與形相互滲透、相互轉(zhuǎn)化.同時，數(shù)形滲透是中學數(shù)學中四種重要思想方法之一，在教學中，重視數(shù)形滲透，使學生通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，使復雜問題簡單化、抽象問題具體化，從形的直觀和數(shù)的嚴謹兩方面思考問題，拓寬了解題思路，有利于多層次、多角度地展開思維訓練，有利于學生的思維能力和解題能力的提高，它是數(shù)學的規(guī)律性與靈活性的有機結(jié)合.下面舉例說明以形助數(shù)、以數(shù)解形使某些問題解法更簡便.

例1 已知5x+12y=60，求 x2+y2 的最小值.

分析 按常規(guī)解法，是把問題轉(zhuǎn)為求一元函數(shù)的最小值，思路清晰，但解法較繁，若注意到在直角坐標系中5x+12y=60表示一直線l， x2+y2 表示原點O與點P（x，y）的距離，且點P（x，y） 在直線l上，于是問題轉(zhuǎn)化為求原點與直線l上的點之間的最短距離.聯(lián)想平幾知識，可知這個最短距離就是原點O與直線l的距離.這樣，數(shù)的問題就轉(zhuǎn)化為形的問題，再聯(lián)想解幾中點線距離公式，于是形又轉(zhuǎn)化

為數(shù)，顯然，此法計算最簡單.