通過數(shù)學建模培養(yǎng)工程應(yīng)用型人才

段培超 張春曉 高永馨

【摘要】數(shù)學模型與民航案例是一門實踐性很強的課程，是連接數(shù)學與實際問題的橋梁，對于培養(yǎng)學生的科學計算能力和應(yīng)用數(shù)學知識解決實際問題的能力發(fā)揮了十分重要的作用.由于我校信息與計算科學與統(tǒng)計學專業(yè)的培養(yǎng)目標為適應(yīng)市場經(jīng)濟發(fā)展需要，立足民航，面向社會，故而本課程系統(tǒng)地、有計劃地將民航案例引入教學，使學生對民航的現(xiàn)狀及其發(fā)展有深刻的認識，為早日成為高素質(zhì)的應(yīng)用型人才，提前做好接觸民航、服務(wù)民航的準備.本文主要介紹該課程近五年在教學內(nèi)容、教學方法、教學特色等方面的建設(shè)情況和實施效果.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學模型；民航案例；實踐教學

一、引 言

當今的數(shù)學迅速滲透到自然科學和社會生活的各個領(lǐng)域,拉近了與現(xiàn)實生活的距離,成為一種普遍可行的關(guān)鍵技術(shù)，以培養(yǎng)運用數(shù)學的理論和方法來解決實際問題的能力為目標的創(chuàng)新教育已經(jīng)成為數(shù)學教學改革中備受關(guān)注的一個熱點.因此,如何培養(yǎng)高素質(zhì)的人才,增強他們應(yīng)用數(shù)學知識解決實際問題的能力,已是數(shù)學教育改革的一個非常重要的課題.俄國著名數(shù)學家羅巴切夫斯基曾說過：“任何數(shù)學分支，無論怎樣抽象，總有一天可被應(yīng)用于現(xiàn)實世界的各種現(xiàn)象.”數(shù)學“是一把萬能鑰匙，借助它，近代數(shù)學家打開了幾何以至大自然的秘密”.放眼所有現(xiàn)代科學技術(shù)的興起，計算機技術(shù)、航天技術(shù)、納米科學、人工智能等等，幾乎無一不得益于數(shù)學的發(fā)展與繁榮.

數(shù)學模型與民航案例是連接實際問題、數(shù)學知識與計算機應(yīng)用能力的橋梁，是一門提高學生解決實際能力和創(chuàng)新能力的實踐類課程.由現(xiàn)實問題建立數(shù)學模型，是一項創(chuàng)造性的工作，是知識和能力的綜合體現(xiàn).由于我校信息與計算科學與統(tǒng)計學專業(yè)的培養(yǎng)目標為適應(yīng)市場經(jīng)濟發(fā)展需要，立足民航，面向社會，本專業(yè)培養(yǎng)的學生，畢業(yè)后大部分要走上民航工作崗位，從事民航信息管理、數(shù)量分析、預測與控制等工作，這就要求我們應(yīng)將數(shù)學模型理論講授與民航實際訓練有機地結(jié)合起來.所以本課程系統(tǒng)地、有計劃地將民航案例引入教學，使學生對民航的現(xiàn)狀及其發(fā)展有深刻的認識，并提前做好接觸民航、服務(wù)民航的準備.

二、課程的教學改革與實踐

我校自2004年開設(shè)數(shù)學模型Ⅱ課程，經(jīng)過多年的教學實踐，在課程教學改革方面做了許多探索，但效果還是不甚理想.課程組通過到南航和海航調(diào)研發(fā)現(xiàn)，部分畢業(yè)生普遍存在缺乏對現(xiàn)代民航行業(yè)特點、現(xiàn)狀、發(fā)展、工作流程和文化等方面的了解，上崗適應(yīng)慢，缺乏團隊工作經(jīng)驗，溝通能力、動手能力較差，缺乏創(chuàng)新精神等問題.為適應(yīng)現(xiàn)代民航企業(yè)乃至全社會各級部門的需要，課程組針對以上問題，在2008版培養(yǎng)方案中將課程更名為“數(shù)學模型與民航案例”，對教學內(nèi)容進行了細致認真的推敲.并以課程教學內(nèi)容為主體，組織學生參加大學生數(shù)學建模競賽、科技立項、教師科研項目等活動為輔助，將調(diào)整課堂教學內(nèi)容、轉(zhuǎn)變教師的教學方式和學生的學習方式作為課程教育教學改革的重點，在以下幾方面進行了積極的探索與實踐.

1.精選內(nèi)容,案例驅(qū)動

目前很多高校的數(shù)學建模類課程在教學中還沒有形成比較完整嚴密的教學體系,教學資料的編排也各不相同.課程組經(jīng)過認真討論，選定清華大學姜啟源、謝金星、葉俊編寫的《數(shù)學模型》（第四版）作為教材.但教材中數(shù)學模型的例子很多，如何合理地選擇適用于本專業(yè)教學及培養(yǎng)計劃的案例、增加有實際價值的民航案例，成為課程組所有老師最為關(guān)心和重視的問題.

信息與計算科學專業(yè)和統(tǒng)計學專業(yè)的畢業(yè)生，既要有扎實的數(shù)學理論基礎(chǔ)，又要具備必要的民航背景知識.為了調(diào)動學生學習的興趣和應(yīng)用數(shù)學的能力，加強學生的數(shù)學基本知識訓練，培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識，增強學生熱愛民航、服務(wù)民航的意識，對于教學中所采用的案例，課程組進行了認真的研討和慎重選擇，分層次選擇了以下案例：

第一部分：優(yōu)化模型、回歸模型、隨機模型等

公平的席位分配、實物交換、存儲模型、隨機人口模型、多階段最優(yōu)生產(chǎn)計劃等20個數(shù)學模型.重點是使學生掌握優(yōu)化問題建模、隨機問題建模、數(shù)據(jù)建模的基本原理、方法和過程，難點是建模的思路和結(jié)合計算機軟件實現(xiàn)求解及驗證.

第二部分：差分方程模型、微分方程模型等

傳染病模型、藥物在體內(nèi)的分布與排出、捕魚業(yè)的持續(xù)收獲、種群的相互競爭、市場經(jīng)濟中的蛛網(wǎng)模型等9個模型.重點是要求學生掌握應(yīng)用微分方程及其穩(wěn)定性理論建模的基本原理、過程方法.難點是建模的過程及相圖的描繪與分析.

第三部分：民航案例

航空公司的預定票策略、飛行計劃問題、飛機的精確定位問題、飛機除冰液地面除冰過程模型、民航運輸總周轉(zhuǎn)量的多元回歸模型、我國民航事故率的預測模型、機場選址問題、航空公司的收益模型、發(fā)動機性能參數(shù)預測、機票的預訂票策略等十余個民航案例.這些案例涉及了民航生產(chǎn)、經(jīng)濟、維修、安全方面問題，重點是培養(yǎng)學生掌握應(yīng)用數(shù)學模型解決民航實際問題的原理、方法及實現(xiàn)過程.難點是數(shù)學模型的選擇、抽象、提煉、簡化和求解、驗證.

第一部分和第二部分教學內(nèi)容選擇于《數(shù)學模型》的經(jīng)典模型，第三部分選擇的民航案例來自于研究文獻及我校部分科研成果.通過2008級至2010級的教學實踐發(fā)現(xiàn)，新的教學內(nèi)容符合學生的認知特點，極大地調(diào)動了學生學習的主動性和積極性，激發(fā)學生的求知欲，收到了良好的教學效果.

2.運用CDIO教學模式，加強課外實訓

多年來，數(shù)學教學對人才培養(yǎng)起到了積極的作用，但也存在著不盡如人意的地方.教師認為數(shù)學難教，學生認為“數(shù)學難學，學了數(shù)學也沒有用途”.究其原因主要是對數(shù)學課程的定位模糊，數(shù)學教學對能力培養(yǎng)重視不夠或者沒有可行的方法進行能力培養(yǎng).而CDIO教育模式恰恰非常有針對性的對教學中存在的許多問題作出了全面、系統(tǒng)的指導.通過將CDIO教學模式融入課堂教學，創(chuàng)新實踐教學方法，使學生工程基礎(chǔ)知識、個人能力、人際團隊能力和工程系統(tǒng)能力四個方面得到全面的訓練和提高.達到適應(yīng)現(xiàn)代民航發(fā)展需求的目的和效果.CDIO代表構(gòu)思（Conceive）、設(shè)計（Design）、實現(xiàn)（Implement）和運作（Operate）,它讓學生以主動的、 實踐的、課程之間有機聯(lián)系的方式學習工程.超過書本的內(nèi)容通過課外自學或活動獲得，培養(yǎng)學生自主學習的能力；通過實際CDIO實踐教學，加強學生的實際創(chuàng)新及動手的綜合能力.

本學期同時開設(shè)的“數(shù)學模型與民航案例課程設(shè)計”為“數(shù)學模型與民航案例”的實踐環(huán)節(jié).“課程設(shè)計”將數(shù)學和計算機有機結(jié)合，培養(yǎng)學生利用計算機軟件及當代最新科技成果的意識，能將數(shù)學、計算機有機地結(jié)合起來去解決實際問題，是新世紀培養(yǎng)高質(zhì)量、高層次人才的重要途徑.

“課程設(shè)計”強化課后建模實驗訓練,鞏固和深化課堂教學.這門課程要求學生必須在課后多思考,真正將教師課堂所教的建模的思想、方法應(yīng)用于實際問題，特別是民航實際案例.因此，在練習題及大作業(yè)的布置上，課程組的教師經(jīng)過仔細研討，慎重選擇，“人口預測”“藥物在體內(nèi)的分布與排出”等要求讓學生做更深一步的討論,改進原有模型，達到鞏固課堂教學的目的;“中國民航事故率的時間序列分析”“中國民航機場吞吐量的回歸模型”“民用飛機的定價”等要求學生自己收集資料、上機求解,在特定時間內(nèi)獨立地完成,并要求學生提交一篇思路清晰、條理有序的報告.

3.重視軟件應(yīng)用，提高建模效率

在“課程設(shè)計”環(huán)節(jié),教師應(yīng)系統(tǒng)講授數(shù)學軟件,并讓學生上機實習,熟練使用這些軟件,提高解決實際數(shù)學運算的能力.隨著計算機技術(shù)的發(fā)展,現(xiàn)已出現(xiàn)很多高性能、應(yīng)用性強的數(shù)學軟件,這些數(shù)學軟件克服了傳統(tǒng)數(shù)學內(nèi)容多、計算量大等缺點,可以有效地節(jié)省時間,提高精度,獲取直觀形象的結(jié)果.目前我校數(shù)學實驗室擁有正版的Matlab、SPSS、Mathematica等數(shù)學軟件，為學生數(shù)學建模課程設(shè)計各個項目的完成起到了積極的促進作用.課上，教師首先介紹“課程設(shè)計”中常用的數(shù)學軟件如Matlab、SPSS、Lingo等,有哪些功能，怎樣使用和如何編程，然后出一些練習題讓學生熟悉軟件包,培養(yǎng)學生利用軟件包求解模型和解題的能力,并培養(yǎng)學生用符號計算軟件編程的能力.靈活使用這些軟件,案例中復雜的數(shù)據(jù)計算和處理就不再是難題，尤其對于民航案例中的海量數(shù)據(jù)運算，數(shù)學軟件的應(yīng)用大大提高了建模求解的效率.教師建議學生多用Matlab內(nèi)部函數(shù)，少用循環(huán)語句，可以大大提高運算速度.

4.加強教學研究,提高教師教學水平

“數(shù)學模型與民航案例”課程的教學中，課程組成員積極探索，認真學習，不斷提高自身教學及實踐水平來促進本課程的教學.在教學過程中,教師的水平是關(guān)鍵問題,教師水平高低直接影響著數(shù)學建模課程能夠達到預期的目的.講授數(shù)學建模課程的教師不但要具有堅實的數(shù)學基礎(chǔ)知識,而且要具有較高的分析問題解決問題的能力,能夠在學生建模遇到困難的時候,給予正確合理的指導.因此,提高教師的教學水平,具有較為重要的意義.為了提高自身教學水平，課程組的教師認真鉆研教材，定期進行研討.近幾年，我校每年邀請一些著名的專家來校做報告,與本校的老師進行交流,拓寬老師的視野.近幾年，先后邀請清華大學謝金星教授、復旦大學譚永基教授、北京航空航天大學李尚志教授等來校做關(guān)于數(shù)學建模、數(shù)學課程的精彩報告，使課程組教師受益匪淺.此外，學校、學院選擇合適的機會，選派相關(guān)教師參加一些學術(shù)交流、專業(yè)培訓、到名校做訪問學者等活動，開闊了教師的視野，提高其教學水平.但是，如何將建模思想更好地滲透到數(shù)學教學中,并構(gòu)建數(shù)學建模課程的教學模式,這始終是這門課程改革的方向,并有待大家進一步思考和探索.

5.靈活的考核方式，開放的問題實訓

目前本課程沒有專門的考試,評定成績的依據(jù)是平時的練習、作業(yè)、出勤（占15%）和實驗報告（占85%）.實驗報告的評分的最基本標準是必須自己動手,要寫上實驗結(jié)果及其分析過程.實驗報告包括:問題提出、實驗?zāi)康摹嶒瀮?nèi)容及要求、實驗過程及結(jié)果、結(jié)果分析等等.教師對練習題及大作業(yè)認真批閱,對于其中出現(xiàn)的問題及時給出指正意見.

實驗報告考核學生對實際問題的理解、分析、抽象能力以及對數(shù)學知識的運用能力.對于有創(chuàng)造性的報告,要給以高分作為鼓勵.對于難度較高的題目，以小組為單位完成的實驗報告，對小組成員統(tǒng)一給分，這就要求學生充分發(fā)揮團隊協(xié)作能力.本學期學生要交5個不同類型的實驗報告,學生的數(shù)學建模課程成績就由實驗報告來定.為了避免抄襲，保證成績的公平合理，我課上隨機抽取幾名學生講述完成大作業(yè)的思路、求解方法等，使得多數(shù)同學能夠通過自己的努力高質(zhì)量地完成報告.使學生學到的不只是知識，還有一種鉆研向上的精神！ 三、實施效果 通過三屆學生的實施，發(fā)現(xiàn)學生一定程度上改變了傳統(tǒng)理科類學生理論強、實踐弱的特點，變得更加愿意接近現(xiàn)實、挑戰(zhàn)實際問題.主要取得以下成效：(ⅰ)使學生在較短的時間內(nèi),掌握數(shù)學建模的基本知識和基本方法;(ⅱ)該課程與相應(yīng)的課程設(shè)計有機地結(jié)合起來,使學生能熟練運用常用的數(shù)學軟件解決實際問題，增強了學生的動手能力;(ⅲ)該課程采用多媒體教學，加大了課堂信息量,加強直觀性和趣味性；(ⅳ) 對較為簡單的問題，請學生講解、演示、操作，增強學生的參與意識，活躍課堂氣氛；(ⅴ)通過民航案例的引入，加深了學生對民航背景及發(fā)展現(xiàn)狀等的了解，使學生更加熱愛民航事業(yè)；(ⅵ)近幾年信息與計算科學專業(yè)和統(tǒng)計學專業(yè)學生參與數(shù)學建模競賽的熱情極大高漲，且取得不錯的成績. 學生對任何課程都有一個逐步學習、深入理解的過程，“數(shù)學模型與民航案例”課程的改革也不是一蹴而就的，需要不斷深化、不斷提高、不斷完善.近期，課程組將進一步補充和完善“數(shù)學模型與民航案例”網(wǎng)絡(luò)課程，使網(wǎng)絡(luò)資源更加豐富和全面，為教學提供全面的支持和服務(wù)；完成《數(shù)學建模與民航案例》講義的編寫；在數(shù)學建模競賽中投入更多的精力，以教學推動競賽，再以競賽帶動教學.堅持改革，不斷創(chuàng)新，為培養(yǎng)高質(zhì)量的民航應(yīng)用型人才作出應(yīng)有的貢獻. 【參考文獻】 [1]鄒瑾，楊國安.開心數(shù)學[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學出版社，2003. [2]姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學模型（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2011. [3]陳斌，王立文.飛機除冰液地面除冰過程模型仿真與實驗.系統(tǒng)仿真學報[J].2012（3）:556-560. [4]宋云雪,張科星,史永勝.基于多元線性回歸的發(fā)動機性能參數(shù)預測[J].航空動力學報，2009（2）:427-431. 本文由中國民航大學2013年中國民航大學信息與計算科學專業(yè)綜合改革項目及校級教研項目“數(shù)學模型與民航案例課程實踐化改革與建設(shè)”（CAUC-ETRN-2013-67）資助.