圓還可以這樣用

吳佩珍　周筱騫

【提要】 二次函數(shù)綜合題在歷年各地中考中屢見不鮮，這類題往往還會(huì)伴隨著一些動(dòng)點(diǎn)問題，其中包含了“數(shù)形結(jié)合”、“化歸”、“分類討論”等重要數(shù)學(xué)思想，是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)、難點(diǎn)問題，而伴隨動(dòng)點(diǎn)出現(xiàn)的角度問題，由于難以把握其位置導(dǎo)致考試時(shí)出現(xiàn)失分點(diǎn).本文利用圓中關(guān)于角度的性質(zhì)較豐富的特點(diǎn)，歸納了幾種利用“輔助圓”來求解二次函數(shù)綜合題中角度問題的類型.

【關(guān)鍵詞】 輔助圓；二次函數(shù)；拋物線；動(dòng)點(diǎn)；角度

“圓”是一個(gè)完美的圖形，在初中數(shù)學(xué)中具有豐富內(nèi)容，其中大部分是與角度相關(guān)的性質(zhì)，如在圓周角中能輕易找到等角和直角，并與圓心角聯(lián)系也比較緊密.而二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，是“數(shù)形結(jié)合”思想體現(xiàn)的一個(gè)重要載體，中考中出現(xiàn)二次函數(shù)綜合題概率比較大.在二次函數(shù)綜合題中，與“動(dòng)點(diǎn)”相關(guān)角度往往不易確定其位置，解題思路難以形成.此時(shí)通過在圖形中構(gòu)造“輔助圓”能獲得意想不到的效果.下面是三種不同的類型.

一、等角型

通過以上四個(gè)例題的解析，我們可以看出在求解二次函數(shù)綜合題中與“動(dòng)點(diǎn)”相關(guān)的角度問題時(shí)，當(dāng)這個(gè)“動(dòng)角”的兩邊分別經(jīng)過兩個(gè)確定點(diǎn)（或能用相關(guān)字母表示兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)）時(shí)，通過構(gòu)造“輔助圓”，把圓中的相關(guān)結(jié)論遷移到二次函數(shù)綜合題中，往往能快速確定角的位置并顯現(xiàn)出一些有用的結(jié)論.我們可以利用勾股定理來求圓中半徑的長度，再利用圓中半徑相等的等量關(guān)系來建立關(guān)于滿足條件的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)或圓心坐標(biāo)的方程.“輔助圓”能把題中一些看似分散的條件集中起來，把隱藏的條件顯現(xiàn)出來，能幫助我們快速地理清解題思路，制定解題方案.我們不禁感嘆：圓真的可以這樣用！