以“配方法的應用”為例，探微初高中數學的銜接

配方法是一種重要的數學思想方法，廣泛應用于解決中學數學問題之中。但是，配方法在初中階段的使用率并不高，原因之一是教材涉及配方法的內容不多。以人教版教材為例，雖然學生在八年級《因式分解》章節中學習了完全平方公式，但學生第一次接觸到配方法是在九年級《解一元二次方程》中;原因之二是由于在運用配方法的過程中常伴隨大量的運算，有些計算能力稍弱的學生往往會選擇用公式法或二次函數的頂點坐標等方法來解決這些問題。久而久之，學生進入高中后，就會對配方法比較生疏。事實上，配方法在高中解題過程中有著廣泛應用。

一、雙重根式的化簡

進入高中后，學生就要學習《必修一》第一章《集合》，其中有一些題目會涉及雙重根式的化簡。如： " " " " " " + " " " " " " "= " " " " " " " " " " "+

= " " - " "+ " " + " " "=2 " " 。

二、求函數的值域

從《必修一》第二章開始到學完《必修一》，學生大部分時間都在研究函數，所以不可避免地會遇到求函數的定義域和值域問題。

例1. 求函數y= " " " " -x（x≥2）的值域。

解答：令 " " " " =t，x=t2+1，

∴y=-t2+t-1=-（t- " "）2- " " ，

∴y≤- " " .

∴函數的值域為（-∞ ，- " " ]。

例2. 求y=（ " ）2x-x 的值域。

解答：∵2x-x2=-（x-1）2+1≤1，且y=

（ " ）x為減函數，∴（ " ）2x-x2≥（ " ）1= " " ，

∴該函數的值域為[ " " ，+∞）。

三、利用配方法解函數單調性的問題

在研究函數時，我們需要考慮函數的單調性，即函數的增減性。如果對于屬于函數某個區間上的任意兩個自變量的值x1、x2，當x1lt;x2時，都有f（x1）lt;f（x2），那么就是說f（x）在這個區間上是增函數;反之則是減函數。

在判斷函數單調性的過程中，我們常常令x1lt;x2，判斷f（x1）-f（x2）的正負性，這樣就可以利用配方法來解決這個問題。

例3.證明f（x）=x3在R上是增函數。

解答：任取x1，x2∈R，x1lt;x2，此時，f（x1）-f（x2）

=x13-x23=（x1-x2）（x12+x1x2+x22）=（x1-x2）[（x1+ " " "）2+ " " x22 "]，

∵x1lt;x2，

∴x1-x2<0，

∵（x1+ " " "）2>0， " "x22 "≥0，

∴（x1+ " " ）2+ " " x22>0，∴f（x1）-f（x2）<0，

∴f（x1）

∴f（x）=x3在R上是增函數。

例4.已知f（x）在（0，+∞）上是增函數，試比較f（x2+x+1）與f（ " ）的大小。

解答：利用配方法，將x2+x+1配成（x+ " ）2+

，

顯然（x+ " "）2+ " " ≥ " " ，

∵f（x）在（0，+∞）上是增函數，

∴f（x2+x+1）≥f（ " ）.

四、利用配方法解含參不等式恒成立問題

不等式是高中數學的一個重要知識點，這節內容中有一個常見問題，就是含參不等式的恒成立問題。含參不等式恒成立問題因為覆蓋的知識點較多，解法靈活，綜合性強，而備受高考命題者的青睞。如果學生能使用配方法來解答一些不等式恒成立的問題，那么就能大大降低解題的難度。

例5.已知不等式（ "）x2+x+a<2對于任意的x∈R恒成立，求a的取值范圍。

解答：由于（ "）x為減函數，所以（ "）x2+x+a<2，即（ "）x2+x+a<（ "）-1，x2+x+a>-1，x2+x+1>

-a.

設f（x）=x2+x+1=（x+ " ）2+ " " ，

∴f（x）≥ " " ，

∴ " " ≥-a，∴a≥- " " "。

配方法是一種重要的數學思想方法，它是研究相等關系和恒等變形的重要手段，也是討論不等關系的常用技巧。如果初中生能掌握配方法，對高中數學的學習將大有幫助。因此，教師不能僅僅局限于眼前的考試，還要著眼于培養學生的數學思維，重視數學思想方法的運用，為學生的高中學習打下堅實的基礎，使他們的高中學習之旅更輕松、更愜意。

（作者單位：江西省南昌市第二中學）