“指數(shù)函數(shù)”該怎樣上

2012年11月16日～18日，“第六屆全國高中數(shù)學青年教師優(yōu)質課觀摩與展示活動”在安徽省黃山市舉行，筆者有幸應邀擔任了學術委員會委員（即評委），參與了此次活動.下面是兩位參賽選手的“指數(shù)函數(shù)”課例，其中課例A得到了此次活動學術委員會主席、中國教育學會中學數(shù)學委員會副理事長、人民教育出版社中學數(shù)學室主任章建躍先生的充分肯定，并給出了“函數(shù)課就該這樣上”的高度評價.為了和同行們共同探討“指數(shù)函數(shù)”該怎樣上，筆者從概念建構、性質探究、鞏固運用、課堂總結等四個方面作如下的比較分析.

1 概念建構

1.1 情境創(chuàng)設

“問題情境的設計主要是為了引起學生學習的興趣，激發(fā)學生的好奇，從情境中自覺地提出數(shù)學問題，進而為了解決問題而進行積極的數(shù)學活動.因而，問題情境設計的核心原則是有利于學生思維能力發(fā)展，有利于學生探究能力發(fā)展，有利于學生創(chuàng)新意識發(fā)展，充分關注學生思維發(fā)展的過程（提出問題——解決問題（研究方法）——反思升華）.”[1]兩個課例的教學實錄如下：

課例A（用時25分鐘）課例B（用時2分鐘）

[投影]問題1某細胞分裂時，由一個分裂成2個，2個分裂成4個，4個分裂成8個，……如果細胞分裂x次，相應的細胞個數(shù)為y，如何描述這兩個變量的關系？

生1：y=2x（x∈N*）.

師：他不僅能用一個式子來描述變量之間的關系，還能夠注意到函數(shù)的定義域，這是一個很好的習慣！

[投影]問題2某種放射性物質不斷變化為其他物質，每經(jīng)過一年，這種物質剩余的質量是原來的84%.如果經(jīng)過x年，該物質剩余的質量為y，如何描述這兩個變量的關系？

生2：y=084x.

師：有什么要補充的？

生2：x是正整數(shù).

師：x是正整數(shù)嗎？

其他學生在座位上提出異議：x是正數(shù).

師：因為這是一個連續(xù)變化的過程，所以x是正數(shù).如果我們把這兩個函數(shù)抽離實際背景，這兩個函數(shù)y=2x和y=084x，定義域是實數(shù)集R.

師：這朵青蓮“出淤泥而不染，濯清漣而不妖”，可是它的綻放卻遲到了千年！

[投影]據(jù)新華社報道，1950年，中國科學院植物研究所在遼東半島普蘭店附近干涸的湖泊地下挖出大量的普蘭店古蓮種子.這些種子保存到1975年，重新發(fā)芽開花，震驚了世界.1978年中國科學院測定了這些古蓮子的年齡.

師：你知道科學家是怎么測定的嗎？讓我們開始今天的探究之旅.

[投影]1古蓮子中某種放射性物質的衰變規(guī)律

如何表示x與y的關系？

眾生：y=2x.

評析 這兩個課例都創(chuàng)設了實際問題的情境來建立指數(shù)函數(shù)模型，借助于這樣的實例引入，對激發(fā)學生的好奇心和求知欲，有著其積極的意義.

（1）在構建指數(shù)函數(shù)模型的過程中，需要對實際背景進行抽象以實現(xiàn)“數(shù)學化”.課例A在問題情境設計上，體現(xiàn)層次性——定義域從正整數(shù)集到正數(shù)集，同時，教師還通過啟發(fā)引導，把所得到函數(shù)“抽離”實際背景，巧妙地把兩個函數(shù)的定義域推廣到實數(shù)集R.而課例B，只是得到了兩個函數(shù)解析式（沒有注意到函數(shù)的定義域為N*），未能將所得到的函數(shù)從實際問題中“抽離”出來.

（2）在情境設計時，應著眼于發(fā)展學生思維能力.課例A所設計的兩個問題，學生需要通過歸納、概括等思維活動方式的參與才能得到函數(shù)模型；而課例B給出了兩個表格，列出了x=1，2，3，4時對應的y的值，然后求x與y的關系，這樣的問題設計，把學生的思維過程給“包辦代替”了，不利于學生的思維能力的提升.

1.2 概念建構

由實際問題，抽象、概括出指數(shù)函數(shù)模型，是本節(jié)課的教學重點之一，兩個課例的教學實錄如下：

課例A（用時55分鐘）課例B（用時4分鐘）

師：類似這樣的函數(shù)，你能再舉幾個例子嗎？

生3：y=5x，y=ax，y=05x.

師：請你們評價一下，他舉的例子怎么樣？

生4：他所舉的y=5x和y=05x都屬于y=ax的范疇之內.

師：你們所舉的這些例子，它們有什么共同特點？

生5：它們的指數(shù)都是自變量x.

師：把這個共同特點用一個式子來表示，也就是y=ax，在這個式子中有3個字母，其中x是自變量，y是因變量，描述了這兩個變量y與x之間的函數(shù)關系，底數(shù)a是個常數(shù).不同的a得到了不同的函數(shù)，那么a的取值有什么要求呢？

生6：a>0.

師：為什么呢？

生6：因為a是負數(shù)，就沒有意義了.

師：為什么？

生6：分數(shù)就沒有意義了.不對、不對……，我沒有好好地研究這個問題.

生7：（-1）12就沒有意義.

師：根據(jù)分數(shù)指數(shù)冪的運算要求，底數(shù)小于0時，x取一些值這個式子可能就沒有意義.我們要建立一個函數(shù)模型，它能夠刻畫出自變量在指數(shù)位置的這一特征，又希望它的形式不要復雜，因此我們給a規(guī)定一個范圍，會使得這個模型的作用更普遍一些.所以，上一位同學說了，a>0.剛才舉了a取-1這樣一個反例，那么，a=0時，也有類似問題，例如x取負數(shù)時就有問題了.所以a>0.還有什么需要考慮的？

生8：我覺得a≠1.（周圍其他同學認為a可以取1，函數(shù)值為1.）因為a=1時，函數(shù)值為1，太簡單了，沒有必要去學習它了.

師：當a=1時，這個函數(shù)是一個什么函數(shù)？

眾生：常數(shù)函數(shù).

師：這個函數(shù)非常簡單，沒有必要去研究它.所以就規(guī)定a>0且a≠1.于是，這樣規(guī)定以后，表達更簡潔、形式更簡單，x也能取到一切實數(shù).那么，這個函數(shù)教什么名字呢？既然它的特征是自變量在指數(shù)位置，那么就可以命名為“指數(shù)函數(shù)”.（投影定義，略）師：在現(xiàn)實生活中，在物理學、生物學以及經(jīng)濟學等眾多研究領域，類似的現(xiàn)象還有很多，現(xiàn)在讓我們避開個性，關注共性，用數(shù)學的眼光，你們能概括出一個怎樣的函數(shù)模型？

眾生：y=ax.

師：這是一個多么新穎的函數(shù)，它與函數(shù)y=x2有什么不同嗎？

生1：在y=x2中，它的底數(shù)是自變量，指數(shù)是常數(shù)；而y=ax中，它的底數(shù)是常數(shù)，指數(shù)是自變量.

師：這位同學很好地揭示了這類函數(shù)的共同特征，像這類新的函數(shù)就是我們今天要學的“指數(shù)函數(shù)”.讓我們來共同朗讀指數(shù)函數(shù)的定義（投影定義，略）

師：面對指數(shù)函數(shù)的定義，它的哪些地方會引起你們的格外關注？

生2：我比較關注a>0且a≠1這一規(guī)定.

師：你能解釋這一規(guī)定嗎？

生2：因為當a=1時，y=1，過于簡單，沒有研究的意義；當a≤0時，與定義域為R相矛盾.

師：你能具體點嗎？

生2：當a=0時，x≤0沒有意義；當a<0時，x取例如12，14這一類數(shù)就沒有意義.

師：他的細心推敲，揭示了a>0且a≠1這一規(guī)定的用意，分析得非常透徹.還有其他的關注嗎？

生3：我比較關注指數(shù)函數(shù)的形式，指數(shù)、底數(shù)的系數(shù)都為1，如y=2×3x就不是指數(shù)函數(shù).

師：他從指數(shù)函數(shù)的外在形式上做了比較細致的推敲，我們能不能作更深入的分析呢？

生4：我覺得x的系數(shù)不一定是1，例如y=a2x可以轉化為y=（a2）x，符合定義的要求.

師：這個函數(shù)初看上去不像是指數(shù)函數(shù)，但是通過化歸以后，得到了y=（a2）x，底數(shù)是a2，依然是指數(shù)函數(shù).這其中體現(xiàn)了化歸的思想.兩位同學的觀察都非常地好，能不能把這兩位同學的發(fā)現(xiàn)取長補短，體現(xiàn)出更好的結論呢？

生5：指數(shù)函數(shù)的解析式應該是y=ax，或者化歸后能變成y=ax的形式.

評析 兩個課例都讓學生經(jīng)歷從特殊的指數(shù)函數(shù)抽象概括指數(shù)函數(shù)模型、建立指數(shù)函數(shù)概念的過程，并關注到底數(shù)a的取值范圍.盡管兩位老師都力求體現(xiàn)學生的主體參與地位，但相對而言，課例A在學生自主建構概念方面更完美一些.

（1）在抽象概括函數(shù)模型y=ax這一環(huán)節(jié)，課例A首先讓學生再舉一些類似的函數(shù)，然后再進行歸納，這樣，讓學生在感受較多的指數(shù)函數(shù)實例的基礎上，抽象出指數(shù)函數(shù)模型.課例B，在讓學生對函數(shù)y=ax與y=x2進行比較之后（為什么要比較y=ax與函數(shù)y=x2的區(qū)別、而不比較與其它函數(shù)的區(qū)別？），就讓學生從僅有的兩個具體的指數(shù)函數(shù)去抽象概括指數(shù)函數(shù)模型，顯然是不太妥當?shù)模驗樵谟商厥獬橄蟪鲆话憬Y論時，要有一定數(shù)量的特殊對象為基礎，這樣才能提高所得到結論的可靠性.

（2）在指數(shù)函數(shù)概念的呈現(xiàn)方式上，課例A在教師的引導下，學生在自主探究、合作交流的過程中，輕松、自然地建立了指數(shù)函數(shù)的概念.這種由學生自我建構的概念，必將使得學生對指數(shù)函數(shù)概念有著深刻的認識和理解.能實現(xiàn)這樣的課堂生成，還是得益于教師在情境引入環(huán)節(jié)巧妙的預設——從實際背景中抽離出來、使得函數(shù)的自變量取值范圍為R.課例B建立概念的過程就顯得比較生硬，教師直接給出了指數(shù)函數(shù)的概念，然后讓學生去朗讀概念、辨析概念.究其原因，還是由于教師未能在情境引入環(huán)節(jié)將兩個指數(shù)函數(shù)從實際背景“抽離”出來、擴大自變量的范圍所致，因而也就難以讓學生自主生成指數(shù)函數(shù)的概念.盡管在教師直接給出指數(shù)函數(shù)概念后，教師讓學生朗讀概念、并引導學生關注函數(shù)y=ax的表達形式，但是，相對于學生自我建構概念而言，不僅使得學生在思維活動層次上低了許多，而且也使學生難以深刻理解定義（即便讓學生朗讀概念也無濟于事！）.此外，教師刻意地引導學生關注指數(shù)函數(shù)的表示形式，也有悖于數(shù)學教學中應遵循的“淡化形式、注重實質”[2]這一原則！

2 性質探究

指數(shù)函數(shù)性質探究是本節(jié)課的核心，課堂實錄如下：

課例A（用時265分鐘）課例B（用時175分鐘）

師：我們定義了一個新的函數(shù)，接下來該研究什么呢？

眾生：研究性質.

師：你打算如何研究指數(shù)函數(shù)的性質呢？（停頓）一般地，我們研究函數(shù)的哪些性質呢？

生9：單調性、奇偶性和圖像的一些性質.

生10：還有最大值、最小值.

師：也就是值域問題.值域是因變量的取值范圍，那么還有自變量的取值范圍，也就是定義域.（板書 函數(shù)的性質：定義域、值域、奇偶性、單調性）這些是我們研究函數(shù)的一般性質.具體到指數(shù)函數(shù)，你打算怎樣研究這些性質呢？

生11：畫出它的圖象，然后觀察圖象，得到性質.

師：畫什么樣的函數(shù)圖像呢？畫y=ax的圖像嗎？

生12：先研究幾個具體的指數(shù)函數(shù)，再研究一般情況.

師：先由幾個具體的函數(shù)圖像的特點然后再進行歸納猜想.這就是我們對于指數(shù)函數(shù)研究的一個策略了，還有別的研究策略嗎？

生13：研究它的奇偶性和單調性時，我們可以通過數(shù)學證明而不是通過畫圖像得到其性質.

師：你是想將這兩個方面結合起來，不能僅僅地通過看圖來觀察，也希望通過代數(shù)式來加以證明.在歸納猜想之后，也可以進行證明或說明.師：下面，請大家“選取數(shù)據(jù)→畫出圖像→觀察特點→歸納性質→證明或說明”（板書）.

（學生作圖，教師巡視，7分鐘后，教師選取了以下4種情況投影，并請相關的的同學作說明.）師：接下來如何對指數(shù)函數(shù)作更深入的研究呢？

眾生：作圖，然后觀察圖像性質.

師：作圖，然后通過圖像去探究它們的性質，一個很好的方法.那就按照大家的方法來繼續(xù)探究指數(shù)函數(shù).那么，如何作出y=ax的圖像呢？

眾生：描點作圖.

師：可是a是一個字母，無法作出圖像.

生5：將a取兩個特殊的值來畫圖.

師：為什么取兩個特殊值來畫圖呢？

生5：因為a在（0，1）和（1，+∞）這兩個區(qū)間上（應為區(qū)間內，作者注），取兩個值可以代表.

師：我們就按照他所提出的方法，嘗試作圖.（投影：嘗試作出指數(shù)函數(shù)y=2x和y=（12）x的圖像.）（學生在坐標紙上作圖，教師巡視，40秒鐘后，投影學生作圖.）

生6在兩個坐標系中分別畫出了兩個函數(shù)圖像，橫坐標每格1個單位、縱坐標每格2個單位.未標出x軸、y軸和原點O的符號.

師：這是一幅優(yōu)美但不完整的作品.（并用筆在展示臺上補充完整）有哪位同學有更好的作品來與我們分享？

生7在兩個坐標系中分別畫出了兩個函數(shù)圖像，都出現(xiàn)了圖像在x軸下方的情形.

師：大家對圖像進行評價.

眾生：圖像不能在x軸下方.

師：圖像不能超過x軸，為什么呢？

眾生：因為y=ax總是大于零的.

師生齊聲共同總結：y=ax總是大于零的，所以圖像總在x軸的上方；它可以無限地接近x軸，但是永遠不能超過x軸.師：大家繼續(xù)作出改進，期待一幅滿意的作品.

師：一幅較為規(guī)范的圖像（投影生8的作圖）.

師：剛才我們作出了它們粗略的函數(shù)圖像，它們就像漢字中的“一撇”和“一捺”.下面我們再借助于電腦，精確地將這一撇和一捺演示

生14：在兩個不同的坐標系中分別作了y=2x和y=（12）x的圖像，歸納出以下的性質：a>1時，單調增；0

師：你怎么知道所得到的單調性是正確的呢？

生14：因為生活實踐.如對于y=（12）x，一塊蛋糕，切了一半，然后再切一半，……，蛋糕越來越小.

師：你在兩個坐標系里畫了函數(shù)圖像，怎么能夠知道它們關于y軸對稱呢？

生14：因為我發(fā)現(xiàn)這兩個函數(shù)自變量取相反數(shù)時函數(shù)值相等.

師：下面的同學在陳述時，對你得到的猜想作一些簡單的證明或說明.

生15：在同一個坐標系中同時作了y=2x和y=（12）x的圖像，并得到與生14相同的結論.并對過定點這一性質作了如下的說明：“當a>0且a≠1時，因為a0的值恒等于1，所以y=ax的圖像恒過定點（0，1）”.

生16：在一個坐標系內畫了y=2x的圖像，在另一個坐標系內同時作了y=2x和y=（12）x的圖像.也得到了上述性質.并對對稱性作了如下的說明：“由于2x=（12）-x，所以ax=（1a）-x，y=ax的圖像和y=（1a）x的圖像關于y軸對稱.”

師：如果f（x）=2x，那么g（x）=（12）x=f（-x），所以，y=f（x）與y=f（-x）圖像關于y軸對稱.

師：大多數(shù)同學畫了兩個函數(shù)的圖像，也有畫了四個函數(shù)的圖像的（投影）.

生17：在同一坐標系內畫了y=2x，y=3x，y=（12）x，y=（13）x的圖像，并得到了“a與1越接近，y=ax的圖像越平坦”這一性質.

師：我們發(fā)現(xiàn)，底數(shù)a∈（0，1）和a>1時，它們的函數(shù)圖像是不同的.得到指數(shù)函數(shù)的性質.那么對于奇偶性，還可以用代數(shù)論證.對于單調性，有些同學沒有寫出對應的單調區(qū)間.單調性怎樣證明呢？自己回去思考，看看能不能利用定義加以證明？對于單調性，我們有些遺憾，沒能給出證明，但是我們可以通過圖像來驗證.（用幾何畫板投影展示當a∈（0，1）和a>1時的圖像，并投影指數(shù)函數(shù)的性質.）

給大家.（老師邊投影、便解釋）描點、連線，得到兩個函數(shù)的圖像.優(yōu)美的一撇、一捺.為什么會產(chǎn)生如此巨大的差異呢？

生9：因為一個大于1，一個小于1.

師：他的回答給我們以很大的啟示：對指數(shù)函數(shù)的研究不能一蹴而就，必須要分兩個類別.這兩個類別會是怎樣的呢？

眾生：a>1和a<1.

師：剛才我們研究了y=2x的圖象，請大家聯(lián)想一下，當a=3時的圖象會是怎樣？

眾生：圖像是一撇.

師：當a>1時呢？

眾生：還是一撇.

師：用電腦驗證我們的猜想（投影a取大于1的不同值時動態(tài)的函數(shù)圖像），果然如大家所料，依然是這優(yōu)美的一撇.仔細觀察圖像，作出第一個探究：當a在大于1的范圍內變化時，指數(shù)函數(shù)的圖像有怎樣的共性？請先獨立思考.（8秒鐘后）現(xiàn)在發(fā)揮你們的團隊作用.

（學生4人一個小組進行討論26秒.）

師：請各個小組交流你們的發(fā)現(xiàn).

生10：我們發(fā)現(xiàn)圖像過定點（0，1）.

師：還有沒有新的發(fā)現(xiàn)？

生11：我發(fā)現(xiàn)它們的值域和定義域都是一樣的.值域都是（0，+∞），定義域都是R.

師：哪個小組還有新的發(fā)現(xiàn)？

生12：我們小組發(fā)現(xiàn)了函數(shù)的單調性，當a>1時，函數(shù)在R上單調遞增.

師：有共性，就有個性.有什么個性呢？

生13：底數(shù)越大，圖像越陡峭.

師：當0

生14：用類比的方法得到當0

師：再來看看當a>1與0

生12：它們關于y軸對稱.

師：你能解釋這一現(xiàn)象嗎？

生12：把y=（12）x變形為y=2-x，y=2-x就是由y=2x圖像上每一點關于y軸對稱得到的.

師：你能不能將這一特殊的現(xiàn)象推廣一下？

生13：y=ax與y=a-x的圖像關于y軸對稱.

師：還能將它繼續(xù)推廣嗎？

生14：y=f（x）與y=f（-x）圖像關于y軸對稱.

師：從現(xiàn)象到本質，居然能提煉出如此優(yōu)美的數(shù)學結論，這是一次偉大的數(shù)學發(fā)現(xiàn)，值得大家學習（學生鼓掌）.這樣就得到了函數(shù)的性質（投影，略），我們的收獲蔚為壯觀，但是我們的性質都來源于對圖像的細致觀察和思考.注意，眼中有圖不如心中有圖，現(xiàn)在大家閉上眼睛，根據(jù)我的提示在心中呈現(xiàn)圖像和性質（教師分別就a>1與0

評析 指數(shù)函數(shù)是在學生學習了函數(shù)的概念、圖象與性質后，高中階段所研究的第一個具體的函數(shù)模型，通過這一函數(shù)模型性質的研究，不僅要得到指數(shù)函數(shù)的性質，更重要的是，要讓學生從中體驗到研究函數(shù)性質的一般方法，為今后研究函數(shù)積累經(jīng)驗，因此，這節(jié)課是高中階段非常重要的一課，這也是該內容成為歷屆全國高中青年數(shù)學教師優(yōu)質課評選保留課題的重要原因之一.

（1）在性質探究這一環(huán)節(jié)，兩位老師都能夠讓學生親身經(jīng)歷探究性質的過程.課例A以“你打算如何研究指數(shù)函數(shù)的性質呢”為核心問題進行展開，并在此基礎上，不斷追問：“我們一般要研究哪些性質呢？怎樣研究這些性質呢？”從而讓學生充分調用已有的知識與方法存儲，得到“選取數(shù)據(jù)→畫出圖象→觀察特征→歸納性質→證明或說明”這一研究路徑，然后讓學生自主確定a的值作圖并歸納性質，再進行交流總結.課例B則是指定學生作出指數(shù)函數(shù)y=2x和y=（12）x的圖像，然后再用“幾何畫板”展示作a>1與0

（2）“滲透數(shù)學思想方法、培養(yǎng)學生的思維能力”應始終成為高中數(shù)學課堂教學的一條“暗線”[3].首先，在性質探究過程中，兩位老師都在努力地體現(xiàn)“從具體到抽象，從特殊到一般”的思維方式，讓學生經(jīng)歷由幾個特殊的指數(shù)函數(shù)圖像抽象出指數(shù)函數(shù)的性質、并推廣到一般的思維過程.課例A通過展示了4位同學所畫出的不同函數(shù)的圖像、交流了他們所歸納出的性質，從而得到了指數(shù)函數(shù)的性質；而課例B，是在學生畫出了y=2x和y=（12）x的圖像后，通過幾何畫板用描點、連線的方法“畫出”了a>1與01與0

其次，如何處理好“歸納與演繹”的關系，是本節(jié)課應該關注到的一個問題.課例A不僅要求學生從圖像歸納出性質，還要學生對得到的猜想作一些簡單的“證明或說明”，使學生從“形”與“數(shù)”這兩個方面對性質加以細考（盡管未能給出單調性的嚴格證明，但是學生用現(xiàn)實生活的實例加以解釋也是相當精彩的！），這樣的安排，不僅很好地體現(xiàn)了數(shù)學發(fā)現(xiàn)的一般過程，由一類事物中某些特殊對象的特點→歸納猜想出一類事物的規(guī)律→演繹證明所得到的結論，而且也很好地體現(xiàn)了從“數(shù)”、“形”兩個方面研究問題的特點——形的直觀、數(shù)的嚴謹.課例B僅由圖像歸納出相關結論，并未給出證明或說明（對稱性除外），這不能不說是一大缺憾.

（3）課例A研究了指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、過定點（0，1）、單調性、奇偶性以及y=ax和y=a-x的圖像的對稱性.課例B未研究奇偶性.筆者認為，在研究函數(shù)性質時，為了讓學生學會如何從整體上研究函數(shù)，理應研究函數(shù)的奇偶性，盡管教材中沒有提及該內容，但我們是“用教材”而非“教教材”！比如，盡管教材中并未研究y=ax和y=a-x的圖像的對稱性，但是兩個課例都不約而同地研究了這一性質.另外，還需要指出的是，課例A中將函數(shù)的定義域和值域納入函數(shù)性質這一范疇是欠妥的.

（4）數(shù)學教學的核心任務是讓學生理解知識、領會方法，而不應讓學生反復地背和記，如在課例B中，在得出性質之后，教師提出“眼中有圖不如心中有圖”，讓學生背記指數(shù)函數(shù)的性質.當然，老師用“一撇”和“一捺”來概括指數(shù)函數(shù)的特征還是很形象直觀的.

3 鞏固運用

兩位老師分別作了以下的安排（限于文章的篇幅，鞏固運用和課堂總結環(huán)節(jié)從略）：

課例A（用時75分鐘）課例B（用時11分鐘）

師：現(xiàn)在我們了解了指數(shù)函數(shù)的定義和性質，它有什么用處呢？

師：函數(shù)的定義域是函數(shù)的組成部分，是運用函數(shù)性質的前提.值域是研究函數(shù)最值的基礎.而具備奇1、揭開古蓮子的千古之謎：

現(xiàn)知道古蓮種子中某種放射性物質的含量每經(jīng)過500年的剩留量為原來的84%，今測出古蓮種子中該物質的剩留量為原來的一半，你能推算出古蓮子大約是多少年前的遺物嗎？偶性的函數(shù)，可以利用對稱性簡化研究.指數(shù)函數(shù)過定點（0，1），說明可以將常數(shù)1轉化為指數(shù)式，即1=20=30=…，那么函數(shù)單調性有什么用呢？

師：你能舉出運用指數(shù)函數(shù)單調性比較大小的例子嗎？