《向量數(shù)量積的物理背景與定義》教學(xué)設(shè)計及反思

1 教材分析

1.1 教材的地位與作用

本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了向量的概念和向量的加法、減法、數(shù)乘向量等線性運算的基礎(chǔ)上，探索向量的又一種新的運算，它既是前面所學(xué)知識和方法的延續(xù)，又是后繼學(xué)習(xí)解三角形、解析幾何以及空間向量等內(nèi)容的基礎(chǔ)，因此本節(jié)內(nèi)容具有承上啟下的重要作用.1.2 學(xué)情分析

（1）學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了任意角的三角函數(shù)、向量的概念和線性運算等知識.

（2）學(xué)生對向量的物理背景有了一定的了解.如：力、位移、速度的合成與分解，力做功的有關(guān)知識.

（3）學(xué)生已經(jīng)具備了一定的數(shù)學(xué)建模能力，能從簡單的物理背景及生活背景抽象出數(shù)學(xué)概念.

2 教學(xué)目標(biāo)分析

依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)和以上分析，制定本節(jié)課的三維目標(biāo)如下：

知識與技能目標(biāo)

通過物理中“功”的實例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義，掌握平面向量數(shù)量積的性質(zhì).

過程與方法目標(biāo)

經(jīng)歷從物理背景的分析，抽象概括出概念的過程，培養(yǎng)學(xué)生歸納概括，類比遷移的能力；經(jīng)歷通過不同的方式探究、發(fā)現(xiàn)平面向量數(shù)量積性質(zhì)的過程，體會從特殊到一般、分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.

情感、態(tài)度、價值觀目標(biāo)

通過師生互動，生生互動的教學(xué)活動過程，形成學(xué)生的體驗性認(rèn)識，體會各學(xué)科之間的密切聯(lián)系，感受知識的形成過程，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，形成獨立自主的鉆研精神和合作交流的科學(xué)態(tài)度.

3 重點、難點分析

根據(jù)教學(xué)目標(biāo)以及學(xué)情分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點、難點.

重點：平面向量數(shù)量積的概念和性質(zhì).

難點：向量在軸上的正射影的概念的理解和平面向量數(shù)量積的性質(zhì)的發(fā)現(xiàn).

在教學(xué)中，注意遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.從學(xué)生感興趣的物理實例入手，通過層層分析， 形成數(shù)量積的概念，并經(jīng)歷概念辨析、深化理解、學(xué)以致用等過程，來突出重點.通過練習(xí)和探究問題的設(shè)計，將五個性質(zhì)分散開來，通過課件動畫、問題引領(lǐng)、自主探究、合作交流等手段，從理性認(rèn)識到實踐練習(xí)，再到應(yīng)用，使性質(zhì)自然呈現(xiàn)，既突出了重點，又突破了難點.

4 教學(xué)策略分析

基于數(shù)量積的知識特點及學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，采用啟發(fā)式和問題探究相結(jié)合的教學(xué)方法.著名數(shù)學(xué)教育家波利亞指出：“學(xué)習(xí)任何東西，最好的途徑是自己去發(fā)現(xiàn)”.因此，指導(dǎo)學(xué)生采用發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)法.在課堂上堅持以教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體，以抽象類比與問題探究為主線.同時，為了有效實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，采用多媒體和自編學(xué)案輔助教學(xué).

5 教學(xué)過程分析

本節(jié)課的教學(xué)流程如下：

具體分析如下：

5.1 創(chuàng)設(shè)情境 展示背景

教師錄像展示“大力士拉車”的情境實例，提出物理問題.

問題1 大力士拉車，沿著繩子方向上的力為F，車移動的位移是s，力和位移的夾角為θ，大力士所做的功為多少？

設(shè)計意圖 從學(xué)生已有的認(rèn)知水平出發(fā)，通過熟悉的生活實例，創(chuàng)設(shè)數(shù)量積的物理背景，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.

5.2 分析背景 形成概念

該環(huán)節(jié)，依據(jù)本套教材的特點，以物理背景作為總的抓手，通過抽象、概括、歸納，形成了兩個向量的夾角、向量在軸上的正射影和向量的數(shù)量積定義三個概念.

第一步：背景的初次分析

問題2 決定功的大小的量有哪幾個？它們是標(biāo)量還是矢量？當(dāng)力和位移的大小一定時，功的大小取決于那個量？

問題3 這個夾角抽象到我們數(shù)學(xué)中，就是今天我們要學(xué)習(xí)的兩個向量的夾角，把力F、位移s換作數(shù)學(xué)中任意兩個非零向量a與b，你能嘗試著給出向量a與b夾角的概念嗎？

設(shè)計意圖 通過力做功的幾個因素的分析，突出夾角在做功中的作用，形成兩個向量夾角的概念.

1.兩個向量的夾角

已知非零向量a與b，作OA=a，OB=b，則∠AOB稱作向量a與b的夾角，記作：〈a，b〉.

問題4 下面幾種情形中（銳角、鈍角、直角、共線同向、共線反向），兩向量的夾角分別是什么角？

設(shè)計意圖 通過幾種類型的夾角的給出，讓學(xué)生直觀感知夾角的范圍，幫助學(xué)生理解夾角范圍規(guī)定的合理性.

規(guī)定： 0≤〈a，b〉≤π，且〈a，b〉=〈b，a〉.

特別的：當(dāng)〈a，b〉=π2時，叫做a與b垂直，記作a⊥b；

兩向量的垂直符號同幾何中的垂直符號是一致的.

問題5 請回顧：0的方向是怎樣規(guī)定的？

規(guī)定：0與任意向量垂直.

前面曾規(guī)定：0與任意向量平行.

設(shè)計意圖 概念呈現(xiàn)后，注意與前面所學(xué)知識進(jìn)行對比，便于學(xué)生理解，記憶.圖1

練習(xí)： 如圖1，正△ABC中，求

（1）AC與AB的夾角；

（2）AB與BC的夾角.

注：確定兩向量的夾角的關(guān)鍵是：通過平移使兩向量共起點.

設(shè)計意圖 及時鞏固所學(xué)概念，強調(diào)確定兩向量夾角的一般方法.

第二步：背景的再次分析

問題6 真正使汽車前進(jìn)的力是什么？它的大小是多少？

設(shè)計意圖 讓學(xué)生借助已有的認(rèn)知經(jīng)驗，類比物理背景中拉力F在位移方向上的分力，它的大小是Fcos θ，自然引出向量在軸上的正射影及其數(shù)量的概念.從特殊到一般，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，突破難點.

2.向量在軸上的正射影

已知向量a和軸l，作OA=a，過點O、A分別作軸l的垂線，垂足分別為O1、A1，則向量O1A1叫做向量a在軸l上的正射影（簡稱射影）.

向量在軸上的正射影的數(shù)量

該射影在軸l上的坐標(biāo)， 稱作a在軸l上的數(shù)量或在軸l的方向上的數(shù)量. OA=a在軸l上正射影的坐標(biāo)記作： al，若向量a的方向與軸l的正向所成的角為θ，則al=|a|cos θ.

問題7 向量在軸上的正射影與向量在軸上的正射影的數(shù)量有什么區(qū)別？

問題8 向量在軸上的正射影的數(shù)量一定是正實數(shù)嗎？

注： a在軸l上的正射影的數(shù)量是個實數(shù)，可正、可負(fù)、可為零.

向量a在b方向上的正射影及數(shù)量

如果向量b在軸l上且與軸同向，那么，向量O1A1叫做向量a在向量b方向上的正射影，它的數(shù)量是acos.

設(shè)計意圖 讓學(xué)生理解正射影及其數(shù)量的含義，并引申出向量a在向量b方向上的正射影及其數(shù)量，為數(shù)量積的概念的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備