過定點的動直線的參數方程及其在焦半徑問題中的應用

定義1 把射線OA繞端點O沿逆時針方向旋轉到射線OB時所成的最小非負角記作∠AOB（有0≤∠AOB<2π）.

如圖1，設動直線l過定點M0（x0，y0），點M（x，y）是動直線l上的動點.設r=M0M.圖1

當點M，M0不重合時，點M在以M0為圓心、r為半徑的圓C上.

設以坐標原點O為圓心、r為半徑的圓是C′，把圓C′按向量OM0平移后即得圓C.

又設圓C上的點M是圓C′上的點M′按向量OM0平移后得到的，即M′M=OM0.由三角函數定義得M′（rcosα，rsinα），其中α=∠xOM′（射線Ox的方向是x軸的正方向，下同）.可得OM=OM0+OM′，即（x，y）=（x0+rcosα，y0+rsinα）.

由此，可得過定點的動直線的參數方程及參數的幾何意義：

定理1 若動點M（x，y）在過定點M0（x0，y0）的動直線上，則可設x=x0+rcosα

y=y0+rsinα，其中r=M0M，當r>0時，α=∠TM0M（射線M0T與x軸的正半軸同向）.

定義2 過圓錐曲線Γ的任一焦點F作曲線Γ的過點F的對稱軸的垂線交Γ于點A1，A2，把線段A1A2叫做圓錐曲線Γ的通徑.

定理2 橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）及雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的通徑長均為2b2a，拋物線y2=2px（p>0）的通徑長為2p.

定理3 設圓錐曲線Γ的一個焦點是F，點Pi（i=1，2，…，n；n≥2）在曲線Γ上，且∠P1FP2=∠P2FP3=…=∠Pn-1FPn=∠PnFP1=2πn，當Γ是雙曲線時，還要求這些點在雙曲線Γ的同一支上（由此可證：這些點只能同在焦點F對應的一支上），則∑ni=11FPi=2ng（其中g是曲線Γ的通徑長）.

（2007年高考重慶卷理科壓軸題（即第22題）就是定理3中曲線Γ是橢圓且n=3的情形.）