一道月考試題的命制過程

1.命題設想：把要考查的知識要點和要求設計成有關的問題和語言文字.

根據月考范圍和要求，想命制一道函數的定義域與值域相等的數學壓軸問題，其中不考查函數的導數知識.

2.上網檢索：輸入有關問題的關鍵詞得到相應的母題.

母題1 對于定義域為D的函數y=f（x），若同時滿足：

①f（x）在D上單調遞增或單調遞減；

②存在區間[a，b]D，使f（x）在[a，b]上的值域為[a，b]，那么把y=f（x）（x∈D）叫做閉函數.

（1）請你舉出一個閉函數的例子，并寫出它的一個符合條件②的區間[a，b]；

（2）求閉函數y=-x3符合條件②的區間[a，b]；

（3）判斷函數f（x）=2x-lgx，x∈（0，+∞）是否為閉函數？并說明理由；

（4）若f（x）=k+x+2是閉函數，求實數k的取值范圍；

（5）判斷函數f（x）=lgx，x∈（0，+∞）是否為閉函數？并說明理由；

（6）是否存在實數m，使函數h（x）=x3-3x2+mx是R上的閉函數？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由.

（7）找出所有形如f（x）=ax+blnx的函數，使其在[1，25]上是閉函數，且條件②中[a，b]=[1，25].

母題2 對于定義域為D的函數y=f（x），如果存在區間[m，n]D，同時滿足：

①f（x）在[m，n]內是單調函數；

②當定義域是[m，n]時，f（x）的值域也是[m，n].則稱[m，n]是該函數的“和諧區間”.

（Ⅰ）求證：函數y=g（x）=3-5x不存在和諧區間.

（Ⅱ）若函數y=（a2+a）x-1a2x（a∈R，a≠0）有和諧區間[m，n]，當a變化時，求出n-m的最大值.

（Ⅲ）易知，函數y=x是以任一區間[m，n]為它的“和諧區間”.試再舉一例有“和諧區間”的函數，并寫出它的一個“和諧區間”.（不需證明，但不能用本題已討論過的y=x及形如y=bx+cax的函數為例）

母題3 設f（x）=ax2+bx，

（Ⅰ）當a=-1，b=2時，求f（x）的定義域和值域

（Ⅱ）求滿足下列條件的實數a的值：至少有一個正實數b，使函數f（x）的定義域和值域相同.

母題4 已知函數f（x）=1-1x.

（Ⅰ）是否存在實數a、b（a

（Ⅱ）若存在實數a、ba

3.歸納分析：對母題的背景進行綜合對比并歸類.

通過分析，試題背景可以分為三種類型

（Ⅰ）函數在定義域內為嚴格單調函數，求解或判斷函數定義域的子區間滿足相應的條件.

（Ⅱ）函數在定義域內存在增減區間，但研究的定義域子區間是嚴格單調，求解或判斷函數定義域的單調子區間滿足相應的條件.

（Ⅲ）函數在定義域內存在增減區間，研究的定義域子區間也存在增減區間，求解或判斷函數定義域與值域滿足相應的條件.

4.難度定位：對相應的題型確定難度系數

根據母題的知識和方法考查，估計類型（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）難度系數大約分別為05、04、03.

5.題設細化：把母題中的題設分組，并分解其知識要點、表現形式、思維切入、方法導入等環節.

（Ⅰ）考查的函數是否單調，是否含參為依托，

（Ⅱ）考查的函數的解析式變形為切口，

（Ⅲ）滿足條件的區間是否存在為條件.

6.問題分類：從基礎題、中檔題、壓軸題角度改變題目中的變量與知量的位置、數量，并挖掘試題中隱含的條件與結論等手段進行設置，其中改變含參個數、分類區間位置、討論單調類型與包裝解析式等都可以調整試題的難度范圍.

（Ⅰ）基礎題——已知不含參數的單調函數，直接寫出或求出滿足條件的區間，其中改變函數的解析式可以調整試題的難度范圍.

（Ⅱ）中檔題——判斷已知不含參數的函數是否存在滿足條件的區間，并說明理由，其中改變函數的單調性與解析式可以調整試題的難度范圍.

（Ⅲ）壓軸題——已知含參數的函數存在滿足條件的區間，求解參數的取值范圍，并挖掘區間長度等相關問題，其中改變含參個數、分類區間位置、討論單調類型與包裝解析式等都可以調整試題的難度范圍.

7.母題改編：從試題的背景、立意、分類、組合、轉化等方面進行反復調整、包裝、研磨、試驗等.

以類型（Ⅱ）為例，且不考查函數的導數知識.

改編1 求解簡單的減（或增）函數的和諧區間；構造含參的分段且有增減區間函數，判斷其和諧區間，并拓展區間端點變量的最值.

對于定義域為D的函數y=f（x），如果存在區間[m，n]D，同時滿足：

①f（x）在[m，n]內是單調函數；

②當定義域是[m，n]時，f（x）的值域也是[m，n].則稱[m，n]是該函數的“和諧區間”.

（Ⅰ）求函數g（x）=-x+8的兩個“和諧區間”.

（Ⅱ）函數f（x）= ax （x>0）

（a2+a）x-1a2x （x<0）（a∈R，a≠0）是否存在“和諧區間”[m，n]？若存在，求出m2+n2的最小值，若不存在，說明理由.

以下試題的背景與改編1試題一樣.

改編2 寫出簡單的減（或增）函數的和諧區間；判斷有增減區間函數的和諧區間；求解含參減（或增）函數存在和諧區間時的參數取值.

（Ⅰ）寫出函數f（x）=6x的兩個“和諧區間”.

（Ⅱ）判斷函數h（x）=x2是否存在“和諧區間”？若存在，求出其“和諧區間”，若不存在，說明理由.

（Ⅲ）若函數g（x）=k+x-1存在“和諧區間”，求實數k的取值范圍.

改編3 求解簡單的減（或增）函數的和諧區間；判斷不含參增（或減）函數的和諧區間，并拓展區間端點變量的最值.再討論含參增（或減）函數存在和諧區間時的參數取值.

（Ⅰ）求出函數f（x）=x3的兩個“和諧區間”.

（Ⅱ）判斷函數h（x）=6x是否存在“和諧區間”[m，n]？若存在，求出m2+n2的最小值，若不存在，說明理由.

（Ⅲ）若函數g（x）=2k+x存在“和諧區間”，求實數k的取值范圍.

改編4 寫出簡單的減（或增）函數的和諧區間；判斷不含參增（或減）函數的和諧區間，再求解含參減（或增）函數存在和諧區間時的參數取值.

（Ⅰ）寫出函數f（x）=x3的兩個“和諧區間”.

（Ⅱ）判斷函數h（x）=3-6x是否存在“和諧區間”？若存在，求出其“和諧區間”，若不存在，說明理由.

（Ⅲ）若函數g（x）=k-x+2存在“和諧區間”，求實數k的取值范圍.

8.考題定稿：根據一送二提三壓原則.

第（Ⅰ）題選不含參且最簡單的減函數，直接寫出函數滿足條件的區間.

第（Ⅱ）題選不含參且有隱含條件的增函數，判斷函數是否存在滿足條件的區間.

第（Ⅲ）題選含參且有增減區間的函數，但解析式簡單的函數存在滿足條件的區間，求解參數的取值范圍.

9.真題出爐：充分考慮學生的認知水平與實際能力，并估計學生的答題情況確定.

對于定義域為D的函數y=f（x），如果存在區間[m，n]，同時滿足：

①f（x）在[m，n]內是單調函數；

②當定義域是[m，n]時，f（x）的值域也是[m，n].則稱[m，n]是該函數的“和諧區間”.

（Ⅰ）寫出函數f（x）=6x的兩個和諧區間.

（Ⅱ）判斷函數h（x）=2x+1+1是否存在和諧區間？若存在，求出其和諧區間，若不存在，說明理由.

（Ⅲ）若函數g（x）=x2+k存在“和諧區間”，求實數k的取值范圍.

10.實測結果：作為理科第20題共14分考查，實得分數52分，難度系數為037.

通過此道試題的命制，使我深深感到命題工作的艱辛和喜悅，事實上，命題能力并非天生的，關鍵在于平時的教學積累和教研教改的興趣，我相信，作為中學的一線教師，在課后，多一點思考，多一點關注，多一點熱情，多一點閱讀，就能命制出很多有實際檢測功能的好題.