如何培養和發展學生的幾何直觀能力

摘要：《全日制義務教育數學課程標準（修改稿）》中新增加了“幾何直觀”這個主要的關鍵詞，這就對我們數學教師提出了新的任務——在教學過程中要注重培養和發展學生的幾何直觀能力，幾何直觀在數學教育中已然成為了一個人人關注的問題。幾何直觀不但在“圖形與幾何”的學習中發揮著不可替代的作用，而且它的運用也貫穿于整個數學學習的過程。本文在深入理解幾何直觀的含義的基礎上，探討在教學過程中利用策略培養和發展學生的幾何直觀能力，讓孩子們的數學學習更加高效。

關鍵詞：幾何直觀；課程標準；培養能力；直觀

《全日制義務教育數學課程標準（修改稿）》中新增了主要關鍵詞“幾何直觀”，這就要求我們教師在教學過程中要注重培養和發展學生的幾何直觀能力。那么什么是“幾何直觀”？在我們的教學過程中我們該采用哪些有效的策略來培養學生的幾何直觀能力呢？這是我們首先應該弄清楚的問題。

一、“幾何”的定義

“幾何學”簡稱“幾何”。這個詞的詞義最早來源于希臘語“γεωμετρ?α”，由“γ?α”（土地）和“μετρε ?ν”（測量），原意是土地測量，或叫測地術。在我國古代“幾何”這門數學分科被稱為“形學”。簡而言之就是圖形。

二、“直觀”的內涵

對于“直觀”，不同的人有不同的說法。《現代漢語詞典》2002年增補本上是這樣解釋的：直觀就是用感官直接接受的；直接觀察的；～教具∣～教學。“數學的直觀就是對概念、證明的直接把握。”這是數學家克萊因對于“直觀”的理解。而心理學家認為直觀是從感覺的具體的對象背后，發現抽象的、理想的能力。徐利治先生則認為直觀就是借助于經驗、觀察、測試或類比聯想，所產生的對事物關系直接的感知與認識。

從這些不同的理解中我們可以看到，雖然他們的說法不同，但是本質是相同的：直觀是一種能透過現象（或通過形象）看到本質、一眼看出不同事物之間關聯的洞察能力。

三、“幾何直觀”的含義

著名的數學家徐利治先生指出：“幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關系產生對數量關系的直接感知 。” 荷蘭數學家弗萊登塔爾認為，“幾何直觀能告訴我們什么是可能重要、可能有意義和可接近的，并使我們在課題、概念與方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦。” 數學家克萊因指出，“數學的直觀就是對概念、證明的直接把握”。心理學家則認為“直觀是從感覺的具體的對象背后，發現抽象的、理想的能力”。蔣文蔚指出，幾何直觀是一種思維活動，是人腦對客觀事物及其關系的一種直接的識別或猜想的心理狀態。

而我們的《新課標》中則給出這樣的定義：幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。幾何直觀可以幫助我們把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于我們探索解決問題的思路，預測結果；幾何直觀還可以幫助學生直觀地理解數學。

四、培養學生幾何直觀能力的有效策略

在教學過程中培養學生的幾何直觀能力，我們該怎樣做呢？我們必須利用以下的策略。

1.數形結合

數學是一門研究數量關系和空間形式的科學。而數形結合的思想就是抓住了數學的本質數與形，把抽象的數與具體的形結合在一起。讓數與形有機結合，目的在于培養學生幾何直觀的能力。我國著名的數學家華羅庚作有這樣一首小詩 “數形本是相倚依，焉能分作兩邊飛？數缺形時少直觀，形少數時難入微。數形結合百般好，隔家分離萬事休。幾何代數統一體，永遠聯系莫分離。”他的這首小詩讓我們了解了數形結合的作用。在教學過程中，我們也應該注重利用數形結合的策略，比如在低年級10以內數的認識的教學中，教師可以借助實物、點子圖、計數器、未畫完整的直尺、數軸等讓學生直觀感知；在中年級教學分數、小數的初步認識時，我們可以借助“直尺、數軸”，認識分數單位“1”和進行簡單的分數計算，比大小時我們可以借助“三角形、正方形、圓和正多邊形等”基本圖形。在解決倍數關系、行程問題、植樹問題等這些問題時，學生對于數量關系均不易理解，在分析題意時，我們就可以讓學生通過畫線段圖來直觀顯示各部分之間的關系。這樣就把抽象的算理變得直觀可見，學生一下子就理解了題意，這個問題也就迎刃而解了。

2.動手操作

學生要理解運算的意義往往要經歷以下四個階段：情境感知、動作表征、語言表征、符號表征。在小學階段，我們常常讓學生通過動手操作建立概念的表象，明白情境中蘊含的數量關系。例如：在教學條形統計圖一課時，讓學生在統計圖里移一移后就能知道并且記住了。而在探究平行四邊形的面積時，我們讓學生把自己準備的平行四邊形通過剪、平移、拼或剪、旋轉等方法轉化成長方形。通過動手操作，學生經歷了“大膽想象——操作轉化——驗證猜想”這一過程，他們有了非常直觀的“轉化”感受。這樣將平行四邊形轉化成學生學過的長方形，來計算它們的面積就不再困難了。

3.注重變換

數學中的“變換”在小學數學中主要體現在下面的兩個方面：一是讓學生感受圖形的變換，比如基本圖形組合成組合圖形，組合圖形分解成基本圖形；或者是基本圖形通過平移或者旋轉變成新的圖形。比如教學五年級下冊的組合圖形的面積時，我們就通過分割、組合、平移、旋轉后讓它變成新的圖形，這樣學生就能更加直觀地理解題目的本質，解題也容易多了。二是把靜止的數量關系轉化為可見的圖形。例如在教學圓面積公式的推導過程中，利用課件動態演示把圓形轉化成近似的長方形的過程，在化靜為動的變換過程中，讓學生感受了圓面積公式的形成過程，也讓學生直觀地體會到了圓面積與圓半徑之間的數量關系。這樣的變換提高了課堂實效，高質量地達成了教學目標。

在課堂教學中，我們采用數形結合、動手操作、變轉換這三種策略，可以幫助學生直觀地理解數學本質，培養和提高學生的幾何直觀能力。

參考文獻：

[1] 中華人民共和國教育部制訂.全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）[M].北京師范大學出版社，2001.

[2] 華羅庚.談談與蜂房結構有關的數學問題[M].北京出版社，1979.

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[4] 克萊因.古今數學思想[M].第四冊.上海科技出版社，1979.

[5] 蔣文蔚.幾何直觀思維在科學研究及數學教學研究中的作用[J].數學教育學報.1997（4）

[6] 現代漢語詞典，商務印書館，2002.

[7] 狄考文、鄒立文、劉永錫.形學備旨，1607.

（作者單位：常州市武進區三河口小學）