南通市肺結核傳染病研究

【摘 要】本文根據南通市第三人民醫院提供的病人數據，利用Excel擬合工具給出了肺結核傳染病的SIS 模型以及相應的數值模擬結果，能較好地解釋已有的傳染病數據并能對以后的傳染病趨勢進行預測。

【關鍵詞】SIS模型 Excel擬合 數值模擬

【中圖分類號】O29 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2014）01-0031-01

一 傳染病模型的介紹

本文主要研究肺結核傳染病，根據結核病本身的特點（即無免疫性），病人痊愈后可能再次感染，即易感者被傳染后變為感病者，感病者可以被治愈，但不會產生免疫力，所以仍為易感者。

通常把傳染病流行范圍內的人群分成三類：（1）S類，易感者，指未得病者，但缺乏免疫能力，與感染者接觸后容易受到感染；（2）I類，感病者，指染上傳染病的人，它可以傳播給S類成員；（3）R類，移出者，指被隔離或因病痊愈而具有免疫力的人。

在本文討論的模型中，僅存在健康者即易感者和感病者，這類傳染病模型稱為SIS模型。設在t時刻這兩類人數分別為S（t），I（t），人員流動圖為：S→I→S。不考慮人口的出生與死亡，此環境中的人口數量N不變。k是在單位時間內每天每個病人感染的人數，S（t）/ t，I（t）/ t是增加率。

為了得出南通市肺結核病數學模型，做如下假設：（1）南通市人口數量較多；（2）人群個體之間無差異；（3）易感者被傳染機會與接觸病者機會成正比；（4）疾病的感染率為常數；（5）考慮出生與死亡的人數，也不考慮人群的遷入與遷出；（6）感染者以固定的比率痊愈，而重新成為易感者。

為了方便，將S（t），I（t）表示為概率，即人群總數N=1。則S（t）+I（t）=1。

在（t，t+dt）時間內，感病者增加的人數恰好等于dt這段時間內受到傳染的人數：N[I（t+dt）-I（t）]=kNS（t）I（t）dt。

令h為痊愈率（單位時間內痊愈的百分數），顯然 是

疾病的平均傳染周期。滿足的微分方程如下：

=kI（1-I）-hI，I（0）=I0；

當k不等于h時， ，

δ=k/h。

當k等于h時， 。

稱δ=k/h為接觸數，是一個傳染期內每個病人有效接觸易感染者的平均人數。

當k趨向于無窮時，I（t）=1-δ-1，δ>1；I（t）=0，δ≤1。

由此可以看出，δ=1是一個閾值。

當δ≤1時，I（t）逐漸減小，最終趨向于0，表示疾病被控制。

當δ>1時，I（t）的增減性取決于I0是低于1-δ-1還是高于1-δ-1，這時有一個非零的極限值，疾病不完全消除。

這與實際很符合，即人口越多，傳染率越高，從得病到治愈時間越長，傳染病越容易流行。

二 擬合和數值解結果

現在的醫療水平使得肺結核的痊愈率h達到80%以上，這里取平均值82.94%，疾病傳染率k為91.24%。復發的可能性很小，但仍會傳染。可以近似認為符合本文所涉及的SIS傳染模型。根據南通市第三人民醫院2007年以及2009年病人數據，利用Excel進行擬合，得到如下結果：

y為發病數，x為年份（分別取2007年和2009年），

y=48.51+18.51cos（0.4993x）-10.89sin（0.4993x）-11.01cos（0.9986x）+8.647sin（0.9986x）+15.25cos（1.4979x）-3.15sin（1.4979x）+1.609cos（1.9972x）-8.818sin（1.9972x）-0.4306cos（2.4965x）+7.459sin（2.4965x）；

y=48.71+10.71cos（0.515x）+19.83sin（0.515x）+13.23cos（1.03x）-5.698sin（1.03x）+0.3473cos（1.545x）-13.99sin（1.545x）+4.945cos（2.06x）-8.863sin（2.06x）

=70.2812（/10萬例）（2007年）；

=79.7389（/10萬例）（2009年）。

三 結果的解釋

當δ=1.10>1時，I0是低于1-δ-1時，y=70.2812（/10萬例）（I0取2007年數據）；I0是高于1-δ-1時，y=79.7389（/10萬例）（I0取2009年數據）。

這一估計數字與前幾年77，79，49，52.74（/10萬例）大體上看是相吻合的，符合實際規律。

參考文獻

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