阿伏伽德羅定律及其推論的數(shù)學(xué)推導(dǎo)

【摘 要】對(duì)于阿伏伽德羅定律及其推論，很多化學(xué)教輔資料都是直接羅列出公式，學(xué)生們只能死記硬背，結(jié)果往往是事倍功半。如果引入理想氣體狀態(tài)方程PV=nRT等一些基本公式，簡(jiǎn)明、清晰地呈現(xiàn)阿伏伽德羅定律及其推論的推導(dǎo)過程，則有利于學(xué)生更好地理解、掌握和應(yīng)用這一知識(shí)。

【關(guān)鍵詞】理想氣體狀態(tài)方程 阿伏伽德羅定律 推論 數(shù)學(xué)推導(dǎo)

【中圖分類號(hào)】G632 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1674-4810（2014）01-0140-01

在中學(xué)化學(xué)中，經(jīng)常會(huì)用阿伏伽德羅定律及其推論來解決一些與氣體相關(guān)的問題。每年的高考也往往會(huì)涉及此類問題。由于阿伏伽德羅定律及其推論內(nèi)容多，條件易混淆、難理解，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)概念和關(guān)系式記不清、記不牢，甚至不會(huì)用。因此，在實(shí)際的教學(xué)過程中，很有必要對(duì)阿伏伽德羅定律及其推論進(jìn)行數(shù)學(xué)推導(dǎo)，以便學(xué)生更好地理解和掌握。

一 理想氣體狀態(tài)方程

引入理想氣體狀態(tài)方程的目的是用它對(duì)阿伏伽德羅定律及其推論進(jìn)行數(shù)學(xué)推導(dǎo)，所以在此只簡(jiǎn)單介紹理想氣體狀態(tài)方程，不涉及方程中氣態(tài)常數(shù)的數(shù)值及其他相關(guān)物理量的單位問題。

理想氣體狀態(tài)方程是指物質(zhì)的量為n、壓強(qiáng)為P，熱力學(xué)溫度為T、體積為V的理想氣體，其以上各物理量滿足的一個(gè)關(guān)系式：PV=nRT（其中R為氣體常數(shù)），也稱克拉伯龍方程。

涉及的其他物理量有：N是氣體分子數(shù)目，NA是阿伏伽德羅常數(shù)，ρ是密度，m是質(zhì)量。

二 阿伏伽德羅定律及其推論的推導(dǎo)

1.阿伏伽德羅定律的推導(dǎo)

根據(jù)PV=nRT，可得：n= （R為氣體常數(shù)） （1）

又結(jié)合N=nNA，則有：N= NA，（NA為阿伏伽德羅

常數(shù)） （2）

分析上述關(guān)系式，當(dāng)任何氣體所處的條件為同P、同V、

同T時(shí)， 的值是相同的，（1）式中其物質(zhì)的量n必定相

同，（2）式中其分子數(shù)目N也必定相同。這就是阿伏伽德羅定律：在相同的溫度和壓強(qiáng)下，相同體積的任何氣體都含有相同數(shù)目的分子。

2.阿伏伽德羅定律推論的推導(dǎo)

在推導(dǎo)阿伏伽德羅定律推論的過程中，根據(jù)需要把“任何氣體”僅限定成兩種狀態(tài)的氣體，分別為“氣體1”和“氣體2”，以方便學(xué)習(xí)者清楚地理解推論本身和推導(dǎo)過程。

“氣體1”和“氣體2”的理想氣體狀態(tài)方程分別為：

P1V1=n1RT1 （3） P2V2=n2RT2 （4）

當(dāng)P1=P2、T1=T2時(shí)，（3）÷（4）可得 = ，即推

論1：同溫同壓下，任何氣體體積之比等于它們的物質(zhì)的量之比，也等于它們的分子個(gè)數(shù)之比。

當(dāng)T1=T2、V1=V2時(shí)，（3）÷（4）可得 = ，即

推論2：同溫同體積下，任何氣體壓強(qiáng)之比等于它們的物質(zhì)的量之比。

將n= 分別帶入PV=nRT，可得：PV= RT （5）

對(duì)“氣體1”和“氣體2”（5）式分別可寫成：

P1V1= RT1 （6） P2V2= RT2 （7）

當(dāng)P1=P2、T1=T2、V1=V2時(shí)，（6）=（7），則有 =

，變形可得： = ，即推論3：同溫同壓下，相同

體積的任何氣體質(zhì)量之比等于其相對(duì)分子質(zhì)量之比。

當(dāng)P1=P2、T1=T2、m1=m2時(shí)，（6）÷（7）可得：

= ，即推論4：同溫同壓下，相同質(zhì)量的任何氣體的體

積之比等于其相對(duì)分子質(zhì)量的反比。

當(dāng)T1=T2、V1=V2、m1=m2時(shí)，（6）÷（7）可得：

= ，即推論5：同溫同體積下，相同質(zhì)量的任何氣體壓

強(qiáng)之比等于其相對(duì)分子質(zhì)量的反比。

將n= 、ρ= 代入PV=nRT，可得：PM=ρRT （8）

對(duì)“氣體1”和“氣體2”，（8）式分別可寫成：

P1M1=ρ1RT1 （9） P2M2=ρ2RT2 （10）

當(dāng)P1=P2、T1=T2時(shí)，（9）÷（10）可得： ，即

推論6：同溫同壓下，任何氣體的密度之比等于其相對(duì)分子質(zhì)量之比。

三 小結(jié)

利用PV=nRT、n= 、N=nNA、ρ= 等一些基本公

式，可以立即推導(dǎo)出所有的定律和推論。把記憶多條推論轉(zhuǎn)化為記憶幾個(gè)方程式，這樣就大大減輕了學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，避免死記硬背，避免錯(cuò)誤，達(dá)到事半功倍的效果。

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