構(gòu)造幾何圖形求無(wú)窮級(jí)數(shù)的和

【摘要】通過(guò)構(gòu)造幾何圖形來(lái)求一類特殊幾何級(jí)數(shù)的和，肯定了這類級(jí)數(shù)的收斂性，展現(xiàn)了幾何學(xué)中的線、面、體（指線段、面積、體積）與無(wú)窮級(jí)數(shù)之間的完美結(jié)合，并根據(jù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)與其絕對(duì)值級(jí)數(shù)斂散性之間的關(guān)系，判斷出當(dāng)把上述幾何級(jí)數(shù)各項(xiàng)前面任意填上“+”號(hào)或“-”號(hào)，得到的級(jí)數(shù)仍然是收斂的結(jié)論，因此給出了一類級(jí)數(shù)收斂問(wèn)題的一種判定方法。

【關(guān)鍵詞】無(wú)窮級(jí)數(shù)幾何級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)的和

【基金項(xiàng)目】編號(hào)SGH13170，高等數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)人文教育的研究。

【中圖分類號(hào)】O13【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A【文章編號(hào)】2095-3089（2014）09-0143-02

無(wú)窮級(jí)數(shù)理論是高等數(shù)學(xué)的重要組成部分，求無(wú)窮級(jí)數(shù)的和（和函數(shù)）是比較重要的知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)也是一個(gè)難點(diǎn)，方法有多種：定義法、拆項(xiàng)相消法[1]、構(gòu)造冪級(jí)數(shù)法[2]、構(gòu)造傅里葉級(jí)數(shù)法、構(gòu)造概率模型求級(jí)數(shù)的和[3]、利用Mathematica軟件對(duì)p-級(jí)數(shù)（p=2）和級(jí)數(shù)收斂性的幾何直觀進(jìn)行探討，利用圖形顯示：≈1.645（利用傅里葉級(jí)數(shù)可以確定=[1]），=0.693[4]等等，甚至還有利用k次單位根及其正交性得到某一冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，再給其中的自變量x賦值，而得到一類常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和[5]。這里哪一種方法都不是萬(wàn)能的，也就是說(shuō)，每一種方法都只適合于求某一類級(jí)數(shù)的和。當(dāng)然，各類級(jí)數(shù)群體不是相互獨(dú)立的，一種方法可能適合于求不同類型級(jí)數(shù)的和，一個(gè)級(jí)數(shù)也可能可以用多種方法得到其和。需要說(shuō)明的一點(diǎn)：從理論上來(lái)講，定義法是用無(wú)窮級(jí)數(shù)斂散性的定義及其部分和的極限來(lái)確定級(jí)數(shù)和的方法，它適合于確定任何收斂級(jí)數(shù)的和，但實(shí)際上不可能，因?yàn)橥谟迷摲ㄇ笏o級(jí)數(shù)的部分和時(shí)會(huì)遇到嚴(yán)重障礙，難求或求不出來(lái).本文通過(guò)構(gòu)造幾何圖形來(lái)確定級(jí)數(shù)的和，當(dāng)然它也是只適合于一類特殊級(jí)數(shù).下面舉例說(shuō)明。

例1求幾何級(jí)數(shù)的和。

如圖1，畫一條長(zhǎng)度為1的線段AB（圖中線段有粗有細(xì)，只是為了便于區(qū)分），將其二等分，即有AC=CB=;將線段CB二等分，即有CD=DB=;再將DB二等分，即有DE=EB=，這樣一直作下去，無(wú)限細(xì)分，萬(wàn)世不竭。再用極限思想來(lái)考察，便知深色線段和AC+CD+DE+EF+L就是級(jí)數(shù)，這級(jí)數(shù)的和就是1，即

例2求幾何級(jí)數(shù)

這是歷史上第一個(gè)幾何級(jí)數(shù)的求和問(wèn)題，是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德用幾何方法完成的[6]。請(qǐng)看圖解2，作一個(gè)邊長(zhǎng)為1（AB=1）的正方形，把該正方形等分成四個(gè)小正方形（AC=），易

知每一個(gè)小正方形的面積都是1/4.給左下角的小正方形涂上陰影;再將右上角的小正方形等分成四個(gè)小正方形，仍然給其中位于左下角的小正方形涂上陰影;照此一直做下去，無(wú)限細(xì)分，萬(wàn)世不竭。則涂有陰影的那些小正方形的面積總和就是，

這正是所要求和的級(jí)數(shù)。顯然，在原正方形內(nèi)陰影帶左上方圖形的面積及右下方圖形的面積都與陰影帶的面積相等，因此

涂有陰影的所有小正方形的底邊長(zhǎng)度總和是

因此，涂有陰影的所有小正方形一定位于原正方形內(nèi)。

換種思路考慮，在例1中，每一次截取的線段長(zhǎng)與剩下的線段長(zhǎng)相等，即二者之比為1：1，截取的線段長(zhǎng)總和是所給級(jí)數(shù)，以每一次截取的線段長(zhǎng)為分子，以剩下的線段長(zhǎng)為分母，所得數(shù)是1，因此級(jí)數(shù)的和就是1。在例2中，涂有陰影的那些小正方形的面積總和就是所給級(jí)數(shù)。在涂陰影的過(guò)程中，無(wú)論做到哪一步，都有在此步所考慮的小正方形內(nèi)，涂有陰影的正方形面積與剩余面積之比為1：3的共性，那么以每次涂有陰影的正方形面積值作為分子，以剩余面積值作為分母，得數(shù)，因此，級(jí)數(shù)的和就是

例3求幾何級(jí)數(shù)。

利用類比的方法，可得

再用圖解法說(shuō)明如下：作一個(gè)各棱長(zhǎng)都是1的正方體，如圖3，將其等分成8個(gè)小正方體。

選取左下角一個(gè)并涂上陰影，它的體積與剩余立體體積之比為1：7;在將右上角的小正方體等分成8個(gè)小正方體，選取左下角一個(gè)并涂上陰影，它的體積與剩余立體體積之比仍然是1：7;照此一直做下去，無(wú)限細(xì)分，萬(wàn)世不竭.每次涂有陰影的正方體體積值與剩余立體體積值之比都是1：7，而涂有陰影的正方體（如圖4）體積總和為：

這正是所要求和的級(jí)數(shù)。因此以每次涂有陰影的正方體體積值作為分子，以剩余立體體積值作為分母，得數(shù)1/7，因此，級(jí)數(shù)的和就是1/7。

如圖4，涂有陰影的所有小正方體前面的正方形的底邊長(zhǎng)度總和是

因此，涂有陰影的所有小正方體一定位于原正方體內(nèi)。

上面利用構(gòu)造幾何圖形求出三種幾何級(jí)數(shù)（或稱等比級(jí)數(shù)）的和，也就顯示出這三種級(jí)數(shù)都是收斂的。如果在這三種級(jí)數(shù)各項(xiàng)的前面任意填上“+”號(hào)或“-”號(hào)，就得到了任意項(xiàng)級(jí)數(shù)，易知這些任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)值級(jí)數(shù)無(wú)非就是上面三種幾何級(jí)數(shù)中的某一個(gè)，那么，這些任意項(xiàng)級(jí)數(shù)都是收斂的。（根據(jù)定理：如果級(jí)數(shù)un收斂，則un一定收斂）。

事實(shí)上，還可以用下面的辦法求這三種級(jí)數(shù)的和。因?yàn)槊恳粋€(gè)級(jí)數(shù)的公比都大于0且小于1，所以級(jí)數(shù)收斂.記級(jí)數(shù)的公比為q，和為S，將級(jí)數(shù)的首項(xiàng)提出，可得通式：

q+q2+q3+L+qn+L，其和s=q（l+s），那么級(jí)數(shù)的和為s=

既然有如此簡(jiǎn)單的方法解決問(wèn)題（這種簡(jiǎn)單，主要是利用了抽象的數(shù)學(xué)公式，aqn=，其中（q<1）），為何還要費(fèi)盡周折用構(gòu)造幾何圖形來(lái)求出三種幾何級(jí)數(shù)（或稱等比級(jí)數(shù)）的和呢？這里主要是為了張揚(yáng)幾何方法的簡(jiǎn)單、直觀、明了，展現(xiàn)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題方法的多種多樣，展現(xiàn)幾何學(xué)中的線、面、體與無(wú)窮級(jí)數(shù)的完美結(jié)合，通過(guò)展現(xiàn)，給人們以啟迪，使人們能對(duì)這些級(jí)數(shù)的和理解得更透徹，再次感受到數(shù)學(xué)的趣味性、數(shù)學(xué)的內(nèi)在美。

例4求調(diào)和級(jí)數(shù)的和。

如圖5，作曲線y=，（x>0）;在x軸上取點(diǎn)x=1，2，3，4，L，n，L，分別過(guò)這些點(diǎn)作x軸的垂線，它們都與曲線相交，因?yàn)閤軸是曲

線y=的漸近線，所以可得一系列（無(wú)數(shù)多個(gè)）小曲邊梯形;再分別過(guò)垂線與曲線的各交點(diǎn)作x軸的平行線，可得階梯形，所有構(gòu)成該階梯形的小矩形的面積總和為

這正是所要求和的級(jí)數(shù)，其部分和

從而，因此，調(diào)和級(jí)數(shù)是發(fā)散的。

事實(shí)上，可以用10種方法證明調(diào)和級(jí)數(shù)是發(fā)散的[7]。

需要說(shuō)明的一點(diǎn)是：調(diào)和級(jí)數(shù)的“和”是不存在的，因?yàn)樗荒芘c一個(gè)確定的數(shù)相等。但是為了敘述上的統(tǒng)一起見(jiàn)，為了敘述上的方便起見(jiàn)，就說(shuō)調(diào)和級(jí)數(shù)的和是+∞。這就如同極限理論中，當(dāng)limf（x）=∞時(shí)，我們說(shuō)f（x）的極限是∞（無(wú)窮大）一樣，實(shí)際上，f（x）的極限是不存在的。

利用構(gòu)造幾何圖形求出三種幾何級(jí)數(shù)（或稱等比級(jí)數(shù)）的和，這種方法，隸屬構(gòu)造法.所謂構(gòu)造法就是：在解題時(shí)，通過(guò)對(duì)條件和結(jié)論的分析，構(gòu)造輔助元素，它可以是一個(gè)圖形、一個(gè)方程（組）、一個(gè)等式、一個(gè)函數(shù)、一個(gè)等價(jià)命題等，架起一座連接條件和結(jié)論的橋梁，從而使問(wèn)題得以解決的數(shù)學(xué)方法[8]。數(shù)學(xué)構(gòu)造法屬于非常規(guī)思維，是一種重要的創(chuàng)造性思維方法，它適用于對(duì)某些常規(guī)方法不易解決的問(wèn)題，既巧妙，又簡(jiǎn)潔。

參考文獻(xiàn)：

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[2]潘鼎坤，考研數(shù)學(xué)成功之南.西安：世界圖書出版公司，2003：226—236.

[3]馬醒花，張成虎，兩個(gè)級(jí)數(shù)求和問(wèn)題的概率模型.高等數(shù)學(xué)研究，2014：17（1），45—46.

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[5]張維榮，一類特殊級(jí)數(shù)的和函數(shù).高等數(shù)學(xué)研究，2010：13（4），33—34.

[6]齊民友，從積分概念的發(fā)展看數(shù)學(xué)分析基本概念的發(fā)展.高等數(shù)學(xué)研究，2014：17（1），9.

[7]蔣傳章，等.高等數(shù)學(xué)題解詞典，陜西科學(xué)技術(shù)出版社，1993.10，1588.

[8]新浪網(wǎng)2013—9—18