余子空間

【摘要】在高等代數(shù)的學(xué)習(xí)中，復(fù)習(xí)和啟發(fā)式教學(xué)一直是任課老師最關(guān)心的問題。本文通過復(fù)習(xí)、啟發(fā)的方式來講解余子空間這個知識點。不僅可以幫助學(xué)生更好的理解不同概念之間的聯(lián)系，而且能夠啟發(fā)學(xué)生主動思考子空間的本質(zhì)及學(xué)習(xí)它的必要性。

【關(guān)鍵詞】高等代數(shù) "線性空間 "子空間 "余子空間

【中圖分類號】G64 【文獻標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）09-0145-01

高等代數(shù)是數(shù)學(xué)院學(xué)生的基礎(chǔ)課程，為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)和將來的應(yīng)用研究提供科學(xué)工具，同時也是大學(xué)生進入大學(xué)進行學(xué)習(xí)， 所接觸的第一門課程之一。如何快速地適應(yīng)大學(xué)的學(xué)習(xí)方式和掌握大學(xué)課程中的新知識成為大學(xué)生入校后最關(guān)鍵的問題。如何通過復(fù)習(xí)和啟發(fā)來進行教學(xué)一直是任課老師最關(guān)心的問題，尤其對于剛進大學(xué)的學(xué)生來說更加重要。本文通過線性空間、線性子空間的概念，判別方法及維數(shù)之間的關(guān)系來引出余子空間的概念，不僅使學(xué)生對剛學(xué)過的知識進行一下復(fù)習(xí)，而且使學(xué)生認識到余子空間的概念是在兩個線性子空間滿足一定條件下提出來的概念，即只是一個很特殊的線性子空間，從而使學(xué)生很容易接受余子空間的概念。

首先，我們再來回憶一下子空間的定義

定義1 "設(shè)V是數(shù)域K上的線性子空間，Φ≠W≤V，若W對于V上的兩種運算仍形成線性空間， 則稱W為V的子空。

其次回憶一下子空間的判定條件、性質(zhì)和上節(jié)講過的命題。

判斷：設(shè)V是數(shù)域K上的線性空間，Φ≠W≤V，則下面兩個條件都是W是V的線性子空間的充要條件：

（1）W對于V的兩種運算是封閉的;

（2）對任意的α， β∈W 和任意 a， b∈K， aα+bβ∈W均成立。 性質(zhì)：（1） 任意兩個線性子空間的交、和還是線性子空間。

（2）任意兩個互不包含的，非空真子空間的并不是線性子空間。

命題1 "設(shè)W1和W2是線性空間V的兩個非空線性子空間，

（1）如果W1≤W2，則dimW1≤dimW2

（2）如果W1≤W2，且dimW1=dimW2，則W1=W2。

定理3.4.11 設(shè)W1，W2是數(shù)域K上的線性空間V的有限維線性子空間，那么W1+W2也是有限的且

dim（W1+W2） = dimW1+dimW2 - dim（W1∩W2）

這一節(jié)，我們來討論定理3.4.11的一個特殊情況，即

V=W1+W2，且dim（W1∩W2）=0。

首先我們來看余子空間的定義。

定義3.4.6 設(shè)W是數(shù)域K上的線性空間V的子空間，V的線性子空間W′ 稱為W的余子空間，如果

（1）V = W + W' （2）W ∩ W′ = {0}

此時，也說V是W和W'的直積，記作V = W？茌W'，顯然，若W'是W的一個余子空間，則W也是W'的一個余子空間。

例1 "在R2里，設(shè)W=（α）={（a1， 0）|a1 ∈R}，

W'=（β）={（0， a2）|a2∈R}.

我們可以驗證：W′為W的余子空間。

證明： 顯然 （1）W∩W'={0}

（2） dimW=1，dimW'=1

則 dim（W+W'）=dimW+dimW'=1+1=2

由命題可知，W+W'= R2，故R2=W？茌W'

一個很自然的問題：線性空間V的任意一個子空間W是否都有余子空間？

答案是肯定的，即我們要講的定理3.4.12。

定理3.4.12 "n維線性空間V的任意一個子空間都有余子空間，如果W'是W的余子空間，則dimW = dimW + dimW'

證明 當(dāng)dimW=0，或dimW=n時定理顯然成立。

設(shè)dimW=m，其中0lt;mlt;n

設(shè)α1， α2， …， αm是線性子空間W的一個基，把它擴充成為V的一個基，即α1， α2， …， αm， αm+1， …， αn

取W' = L（αm+1， …， αn.），那么顯然有V = W+W'.

下面證明W∩W' = {0}，從而W'是W的余子空間.

事實上，任取α∈W∩W'，則由α∈W，有

α = k1α1 + k2α2 +…+ kmαm.

又由于α∈W'，故α = km+1αm+1 + km+2αm+2 +…+knαn.

從而k1α1 + k2α2 +…+ kmαm -km+1αm+1 - km+2αm+2 -…- knαn=0.

這說明k1=k2=…=kn=0，即α=0. 從而W∩W'={0}.

最后，線性空間V的子空間W的余子空間W'是唯一的嗎？不唯一。

例2 "在例1中，我們令W\"=（β）={（a2， a2）|a2∈R}，同理，我們可證明 W\"為W的余子空間，顯然，W′≠W\"。

例3 "幾何空間V3中任取一個過原點的平面V2，再取過原點且與平面相交的直線L1和 L2， 則V3=V2？茌L1，V3=V2？茌L2且L1≠ L2.

例4 "設(shè)α1， α2， …， αm， αm+1， …， αn.是n維線性空間的一個基，W=L（α1， α2， …， αm，），那么當(dāng)k=0或1時，W'=L（αm+1+kα1， …， αn.）是W在V中的余子空間。

習(xí)題： R3里，設(shè)W=（ε1，ε2） ={（a1， a2， 0）|a1， a2 ∈R}.

W' = （ε3） = {（0， 0，a3）|a3 ∈R}.

證明： W'為W的余子空間。

參考文獻：

[1]丘維聲. 高等代數(shù)（上冊）[M]. 北京：清華大學(xué)出版社，2010.

[2]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系. 高等代數(shù)[M]. "3版. 北京：高等教育出版社，2003.