圓錐曲線的準圓（線）的一個漂亮性質

【摘要】類比推理就是根據兩個或兩類對象在某些關系或性質上相同或相似，通常這些另外的關系或性質為類比的對象之一所具有，而在另一類比對象那兒尚未發現。運用類比推理來啟發所要研究的對象具有某種關系或屬性的方法稱為類比法。通過類比，可以大膽猜想結論，進而可以去證明。

【關鍵詞】準圓 "準線 "切線 "垂直

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）09-0146-02

圓、橢圓、雙曲線和拋物線為什么叫圓錐曲線而不叫圓柱曲線呢？這是因為這三種曲線是由圓錐被不同位置的平面所截得到的。既然是同根生，它們應該具有相同的或相似的性質，拋物線和準線有密切的關系，那么橢圓、雙曲線和準圓應該有怎樣的密切關系呢？

【猜想1】給定橢圓C：+=1（agt;bgt;0），稱圓心在原點O，半徑為的圓是橢圓C的“準圓”，點P是橢圓C的“準圓”上的一個動點，過點P作直線l1，l2，使得l1，l2與橢圓C都只有一個交點，求證：l1⊥l2.

證明：①當l1，l2中有一條無斜率時，不妨設l1無斜率，因為l1與橢圓只有一個公共點，則其方程為x=a或x=-a。當l1方程為x=a時，此時l1與準圓交于點（a，b），（a，-b）此時經過點（a，b）（或（a，-b））且與橢圓只有一個公共點的直線是y=b（或y=-b），即l2為y=b（或y=-b），顯然直線l1，l2垂直;同理可證l1方程為x=-a時，直線l1，l2垂直。

②當l1，l2都有斜率時，設點P（x0，y0），其中x+y=a2+b2，設經過點P（x0，y0），與橢圓只有一個公共點的直線為y=kx+m，其中m=y0-kx0聯立y=kx+m+=1消去y得到（a2k2+b2）x2+2a2mkx+a2（m2-b2）=0，△4a4m2k2-4a2（a2k2+b2）（m2-b2）=0.經過化簡得到：a2k2+b2-m2=0， 把m=y0-kx0代入得，（a2-x）k2+2x0y0k+b2-y02=0. 設l1，l2的斜率分別為k1，k2，因為l1，l2與橢圓都只有一個公共點，所以k1，k2滿足上述方程， 所以k1k2===-1，即l1⊥l2.

【總結】猜想1證明的思路是①設點P的坐標和切線直線方程②聯立消元③利用判別式△=0得到關于斜率k的一元二次方程④利用韋達定理整體求出k1k2，再利用點P在準圓上消去一個坐標得到結論。但如果設切線方程時用直線的點斜式，這樣在后面的聯立消元和計算判別式時計算量很大，很多學生不堪忍受如此復雜的計算，所以可以先設切線方程的斜截式y=kx+m，其中m=y0-kx0，計算判別式得到a2k2+b2-m2=0后再把m=y0-kx0代入，這樣做計算量很小，這一技巧值得關注。其次，是以橢圓焦點在x軸上時，過準圓上任一點P作橢圓的兩條切線，則兩切線相互垂直;當橢圓焦點在y軸上時，同理可證這一性質也成立，于是有下面的結論1。

【結論1】過橢圓的“準圓”上任一點P作橢圓的兩條切線，則兩切線相互垂直。

那么作為有心二次曲線的雙曲線是否也有“準圓”呢？如果有，是否也有相應的漂亮性質呢？

【猜想2】給定雙曲線C：-=1（agt;bgt;0），稱圓心在原點O，半徑為的圓是雙曲線C的“準圓”，點P是雙曲線C的“準圓”上的一個動點，過點P作雙曲線C的兩條切線l1，l2，求證：l1⊥l2

【證明】①當l1，l2中有一條無斜率時，不妨設l1無斜率，因為l1與雙曲線相切，則其方程為x=a或x=-a。當l1方程為x=a時，此時l1與準圓無交點;當l1方程為x=-a時，此時l1與準圓無交點。

②當l1，l2都有斜率時，設點P（x0，y0），其中x+y=a2-b2，設經過點P（x0，y0），與雙曲線相切的直線為y=kx+m，其中m=y0-kx0則y=kx+m+=1，消去y得到（b2-a2k2）x2-2a2mkx-a2（m2+b2）=0，△=4a4m2k2+4a2（b2-a2k2）（m2+b2）=0，化簡得：b2+m2-a2k2=0， 把m=y0-kx0代入得，（x-a2）k2-2x0y0k+b2+y02=0設l1，l2的斜率分別為k1，k2，因為l1，l2與雙曲線都只有一個公共點，所以k1，k2滿足上述方程， 所以k1k2===-1，即l1⊥l2.

【結論2】過雙曲線的“準圓”上任一點P作雙曲線的兩條切線，則兩切線相互垂直。

特別注意：橢圓C的“準圓”半徑為，雙曲線C的“準圓”半徑為;雙曲線C：-=1中對a，b 的限制是agt;bgt;0而非agt;0，bgt;0.橢圓和雙曲線的“準圓”相當于拋物線的準線，那么拋物線的準線是否也有相應的性質呢？

【猜想3】給定拋物線C：y2=2px（pgt;0， 點P是拋物線C的準線l：x=-上的一個動點，過點P作拋物線C的兩條切線l1，l2，求證：l1⊥l2.

證明：由題意知兩條切線l1，l2的斜率均存在且不為0，設經過點P（x0，y0）（其中x0=-）與拋物線C的相切的直線為y=kx+m，其中m=y0-kx0，聯立y=kx+my2=2px，消去y得到k2x2+2（mk-p）x+m2=0，△=4（mk-p）2-4m2k2=0，經過化簡得到：2mk-p=0， 把 m=y0-kx0代入得2x0k2-2y0k+p=0.設l1，l2的斜率分別為k1，k2，因為l1，l2與拋物線相切，所以k1，k2滿足上述方程，所以k1k2===-1，即l1⊥l2.

【結論3】過拋物線的準線上任一點P作拋物線的兩條切線，則兩切線相互垂直。

行文至此，我們完成了對三類圓錐曲線橫向的類比，而且證明了圓錐曲線準圓（線）的一個漂亮性質：過準圓（對于橢圓和雙曲線而言）或準線（對于拋物線而言）上任意一點作相應圓錐曲線的兩條切線，則兩切線垂直。