圓錐曲線的準(zhǔn)圓（線）的一個(gè)漂亮性質(zhì)

【摘要】類比推理就是根據(jù)兩個(gè)或兩類對(duì)象在某些關(guān)系或性質(zhì)上相同或相似，通常這些另外的關(guān)系或性質(zhì)為類比的對(duì)象之一所具有，而在另一類比對(duì)象那兒尚未發(fā)現(xiàn)。運(yùn)用類比推理來啟發(fā)所要研究的對(duì)象具有某種關(guān)系或?qū)傩缘姆椒ǚQ為類比法。通過類比，可以大膽猜想結(jié)論，進(jìn)而可以去證明。

【關(guān)鍵詞】準(zhǔn)圓 "準(zhǔn)線 "切線 "垂直

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2014）09-0146-02

圓、橢圓、雙曲線和拋物線為什么叫圓錐曲線而不叫圓柱曲線呢？這是因?yàn)檫@三種曲線是由圓錐被不同位置的平面所截得到的。既然是同根生，它們應(yīng)該具有相同的或相似的性質(zhì)，拋物線和準(zhǔn)線有密切的關(guān)系，那么橢圓、雙曲線和準(zhǔn)圓應(yīng)該有怎樣的密切關(guān)系呢？

【猜想1】給定橢圓C：+=1（agt;bgt;0），稱圓心在原點(diǎn)O，半徑為的圓是橢圓C的“準(zhǔn)圓”，點(diǎn)P是橢圓C的“準(zhǔn)圓”上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l1，l2，使得l1，l2與橢圓C都只有一個(gè)交點(diǎn)，求證：l1⊥l2.

證明：①當(dāng)l1，l2中有一條無斜率時(shí)，不妨設(shè)l1無斜率，因?yàn)閘1與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，則其方程為x=a或x=-a。當(dāng)l1方程為x=a時(shí)，此時(shí)l1與準(zhǔn)圓交于點(diǎn)（a，b），（a，-b）此時(shí)經(jīng)過點(diǎn)（a，b）（或（a，-b））且與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是y=b（或y=-b），即l2為y=b（或y=-b），顯然直線l1，l2垂直;同理可證l1方程為x=-a時(shí)，直線l1，l2垂直。

②當(dāng)l1，l2都有斜率時(shí)，設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），其中x+y=a2+b2，設(shè)經(jīng)過點(diǎn)P（x0，y0），與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為y=kx+m，其中m=y0-kx0聯(lián)立y=kx+m+=1消去y得到（a2k2+b2）x2+2a2mkx+a2（m2-b2）=0，△4a4m2k2-4a2（a2k2+b2）（m2-b2）=0.經(jīng)過化簡(jiǎn)得到：a2k2+b2-m2=0， 把m=y0-kx0代入得，（a2-x）k2+2x0y0k+b2-y02=0. 設(shè)l1，l2的斜率分別為k1，k2，因?yàn)閘1，l2與橢圓都只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以k1，k2滿足上述方程， 所以k1k2===-1，即l1⊥l2.

【總結(jié)】猜想1證明的思路是①設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)和切線直線方程②聯(lián)立消元③利用判別式△=0得到關(guān)于斜率k的一元二次方程④利用韋達(dá)定理整體求出k1k2，再利用點(diǎn)P在準(zhǔn)圓上消去一個(gè)坐標(biāo)得到結(jié)論。但如果設(shè)切線方程時(shí)用直線的點(diǎn)斜式，這樣在后面的聯(lián)立消元和計(jì)算判別式時(shí)計(jì)算量很大，很多學(xué)生不堪忍受如此復(fù)雜的計(jì)算，所以可以先設(shè)切線方程的斜截式y(tǒng)=kx+m，其中m=y0-kx0，計(jì)算判別式得到a2k2+b2-m2=0后再把m=y0-kx0代入，這樣做計(jì)算量很小，這一技巧值得關(guān)注。其次，是以橢圓焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，過準(zhǔn)圓上任一點(diǎn)P作橢圓的兩條切線，則兩切線相互垂直;當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，同理可證這一性質(zhì)也成立，于是有下面的結(jié)論1。

【結(jié)論1】過橢圓的“準(zhǔn)圓”上任一點(diǎn)P作橢圓的兩條切線，則兩切線相互垂直。

那么作為有心二次曲線的雙曲線是否也有“準(zhǔn)圓”呢？如果有，是否也有相應(yīng)的漂亮性質(zhì)呢？

【猜想2】給定雙曲線C：-=1（agt;bgt;0），稱圓心在原點(diǎn)O，半徑為的圓是雙曲線C的“準(zhǔn)圓”，點(diǎn)P是雙曲線C的“準(zhǔn)圓”上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作雙曲線C的兩條切線l1，l2，求證：l1⊥l2

【證明】①當(dāng)l1，l2中有一條無斜率時(shí)，不妨設(shè)l1無斜率，因?yàn)閘1與雙曲線相切，則其方程為x=a或x=-a。當(dāng)l1方程為x=a時(shí)，此時(shí)l1與準(zhǔn)圓無交點(diǎn);當(dāng)l1方程為x=-a時(shí)，此時(shí)l1與準(zhǔn)圓無交點(diǎn)。

②當(dāng)l1，l2都有斜率時(shí)，設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），其中x+y=a2-b2，設(shè)經(jīng)過點(diǎn)P（x0，y0），與雙曲線相切的直線為y=kx+m，其中m=y0-kx0則y=kx+m+=1，消去y得到（b2-a2k2）x2-2a2mkx-a2（m2+b2）=0，△=4a4m2k2+4a2（b2-a2k2）（m2+b2）=0，化簡(jiǎn)得：b2+m2-a2k2=0， 把m=y0-kx0代入得，（x-a2）k2-2x0y0k+b2+y02=0設(shè)l1，l2的斜率分別為k1，k2，因?yàn)閘1，l2與雙曲線都只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以k1，k2滿足上述方程， 所以k1k2===-1，即l1⊥l2.

【結(jié)論2】過雙曲線的“準(zhǔn)圓”上任一點(diǎn)P作雙曲線的兩條切線，則兩切線相互垂直。

特別注意：橢圓C的“準(zhǔn)圓”半徑為，雙曲線C的“準(zhǔn)圓”半徑為;雙曲線C：-=1中對(duì)a，b 的限制是agt;bgt;0而非agt;0，bgt;0.橢圓和雙曲線的“準(zhǔn)圓”相當(dāng)于拋物線的準(zhǔn)線，那么拋物線的準(zhǔn)線是否也有相應(yīng)的性質(zhì)呢？

【猜想3】給定拋物線C：y2=2px（pgt;0， 點(diǎn)P是拋物線C的準(zhǔn)線l：x=-上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線l1，l2，求證：l1⊥l2.

證明：由題意知兩條切線l1，l2的斜率均存在且不為0，設(shè)經(jīng)過點(diǎn)P（x0，y0）（其中x0=-）與拋物線C的相切的直線為y=kx+m，其中m=y0-kx0，聯(lián)立y=kx+my2=2px，消去y得到k2x2+2（mk-p）x+m2=0，△=4（mk-p）2-4m2k2=0，經(jīng)過化簡(jiǎn)得到：2mk-p=0， 把 m=y0-kx0代入得2x0k2-2y0k+p=0.設(shè)l1，l2的斜率分別為k1，k2，因?yàn)閘1，l2與拋物線相切，所以k1，k2滿足上述方程，所以k1k2===-1，即l1⊥l2.

【結(jié)論3】過拋物線的準(zhǔn)線上任一點(diǎn)P作拋物線的兩條切線，則兩切線相互垂直。

行文至此，我們完成了對(duì)三類圓錐曲線橫向的類比，而且證明了圓錐曲線準(zhǔn)圓（線）的一個(gè)漂亮性質(zhì)：過準(zhǔn)圓（對(duì)于橢圓和雙曲線而言）或準(zhǔn)線（對(duì)于拋物線而言）上任意一點(diǎn)作相應(yīng)圓錐曲線的兩條切線，則兩切線垂直。