淺談高中數(shù)學(xué)思維

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2014）09-0161-02

數(shù)學(xué)是思維的體操。相比初中階段，高中數(shù)學(xué)更加強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)和數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用。數(shù)學(xué)思維是高中數(shù)學(xué)學(xué)生能力高低的衡量標(biāo)準(zhǔn)。筆者就高中數(shù)學(xué)思維中最為重要的幾種思維方式進(jìn)行簡(jiǎn)要的分析，希望能對(duì)大家有所幫助。

一、分類(lèi)

分類(lèi)的思維是指按照一定的標(biāo)準(zhǔn)把一個(gè)問(wèn)題分割成為幾部分，并逐一分析解決問(wèn)題的思維方式。分類(lèi)思維首先要確定解決問(wèn)題時(shí)分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)，它是解決問(wèn)題的前提和綱領(lǐng)。在高中數(shù)學(xué)函數(shù)部分中，經(jīng)常采用分類(lèi)思維研究分析問(wèn)題。許多問(wèn)題學(xué)生之所以感覺(jué)到困難就是在于分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)找不準(zhǔn)。分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)的尋找取決于思考問(wèn)題的個(gè)人，有時(shí)并不唯一。在思維達(dá)到一定程度之后，再來(lái)審視分類(lèi)的原則，常常會(huì)使學(xué)生開(kāi)拓思維，加深對(duì)問(wèn)題的深層次理解。分類(lèi)原則制定之后，各部分的問(wèn)題解決方式大多是統(tǒng)一的。當(dāng)我們?cè)倩仡櫡诸?lèi)的所有部分時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)各部分問(wèn)題的總和就合并為原來(lái)的問(wèn)題，即分類(lèi)的要求是不重復(fù)不遺漏。而對(duì)于學(xué)生來(lái)講，這種分類(lèi)思維陌生而且繁瑣。如果學(xué)生總是希望能夠一蹴而就解決問(wèn)題，那么在面對(duì)這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，學(xué)生往往容易產(chǎn)生挫敗感。反過(guò)來(lái)說(shuō)，培養(yǎng)學(xué)生分類(lèi)思維，其實(shí)在某種程度上也培養(yǎng)了學(xué)生的解決問(wèn)題的意志品質(zhì)，對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是十分有幫助的。

二、歸納

歸納思維是指總結(jié)一類(lèi)問(wèn)題，提煉出共性，并形成固定模式和解題思路的過(guò)程。歸納思維是從特殊到一般，它是一種良好的總結(jié)舊知識(shí)發(fā)現(xiàn)新知識(shí)的思維方式。歸納思維是一種探測(cè)性思維方式。在通過(guò)對(duì)個(gè)別同類(lèi)事物考查之后，形成一種普遍性結(jié)論。眾所周知，歸納的結(jié)論需要證明。這一點(diǎn)也正是學(xué)生的短板。在高中階段，關(guān)于證明部分，考綱對(duì)于學(xué)生的要求比較低。一般只是通過(guò)歸納得出結(jié)論，然后直接應(yīng)用結(jié)論進(jìn)行解題。這樣的模式下，更多要依賴(lài)于學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)和對(duì)結(jié)論的熟悉程度。這也導(dǎo)致學(xué)生結(jié)論掌握不扎實(shí)，或者結(jié)論掌握不全面。歸納思維是學(xué)生邁向高中數(shù)學(xué)的重要一步。學(xué)生有了歸納思維的利器，才能在高中數(shù)學(xué)里所向披靡。另外，關(guān)于歸納思維的一個(gè)誤區(qū)是把問(wèn)題的整理總結(jié)與歸納思維劃等號(hào)。總結(jié)知識(shí)和解題的思路，只能是歸納思維的較低層次的表現(xiàn)，當(dāng)然總結(jié)和整理對(duì)于學(xué)生是十分必要的。

三、類(lèi)比

在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中，類(lèi)比思維運(yùn)用十分廣泛。類(lèi)比思維是指參照某一事物具有的特征和性質(zhì)，推測(cè)另一類(lèi)事物也具有相同或相似的特征和性質(zhì)。高中階段數(shù)學(xué)教學(xué)任務(wù)繁重并且知識(shí)量龐大，類(lèi)比思維可以有效的建立知識(shí)與知識(shí)之間的聯(lián)系，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)和知識(shí)體系。類(lèi)比思維注重知識(shí)之間的橫向聯(lián)系。按照尋找類(lèi)比對(duì)象角度的不同，常分為三個(gè)類(lèi)型：降維類(lèi)比，結(jié)構(gòu)類(lèi)比和簡(jiǎn)化類(lèi)比。第一種降維類(lèi)比是將三維空間的對(duì)象降到二維或一維空間中的對(duì)象。第二種結(jié)構(gòu)類(lèi)比是指某些待解決的問(wèn)題沒(méi)有現(xiàn)成的類(lèi)比物，但可通過(guò)觀察，憑借結(jié)構(gòu)上的相似性等尋找類(lèi)比問(wèn)題，然后通過(guò)適當(dāng)?shù)拇鷵Q，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為類(lèi)比問(wèn)題解決。第三種簡(jiǎn)化類(lèi)比，就是將原命題變換到比原命題簡(jiǎn)單的類(lèi)比命題，通過(guò)類(lèi)比命題解決思路和方法的啟發(fā)，尋求原命題的解決思路與方法。比如可先將多元問(wèn)題類(lèi)比為少元問(wèn)題，高次問(wèn)題類(lèi)比到低次問(wèn)題，普遍問(wèn)題類(lèi)比到特殊問(wèn)題。

四、抽象

數(shù)學(xué)是一門(mén)研究數(shù)與形的學(xué)科，無(wú)論是研究代數(shù)還是幾何，它都是有高度的概括性和邏輯性。在數(shù)學(xué)上使用符號(hào)語(yǔ)言來(lái)進(jìn)行問(wèn)題的表述，邏輯的推理和問(wèn)題的求證。使用符號(hào)語(yǔ)言使得數(shù)學(xué)問(wèn)題高度凝練簡(jiǎn)潔。這就要求學(xué)生具備較強(qiáng)的抽象思維能力。抽象思維和具象思維不同，是用科學(xué)的抽象概念、范疇揭示數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，表達(dá)認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)問(wèn)題的結(jié)果。最早在小學(xué)階段，學(xué)生認(rèn)識(shí)到可以用字母表示數(shù)。逐步到高中階段，學(xué)生可以使用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言寫(xiě)證明過(guò)程和解題步驟。這就是抽象思維能力的體現(xiàn)。抽象思維和具象思維是一對(duì)孿生子。兩種思維的交互作用、相互影響，會(huì)使數(shù)學(xué)變得異彩紛呈。平面解析幾何是抽象思維和具象思維的交匯處，善加利用這兩種思維方式會(huì)使學(xué)生對(duì)于平面解析幾何的認(rèn)識(shí)上升一個(gè)臺(tái)階。另外，空間立體幾何中的向量方法也是抽象思維的一個(gè)具體應(yīng)用。

五、轉(zhuǎn)化

轉(zhuǎn)化思維在數(shù)學(xué)的思維方式中也占有極為重要的一席之地。轉(zhuǎn)化思維是指在解題過(guò)程中，通過(guò)變形、轉(zhuǎn)換、運(yùn)算等方式，把未知與已知結(jié)合，向已解決的固定類(lèi)型問(wèn)題轉(zhuǎn)化，從而解決問(wèn)題的思維方式。轉(zhuǎn)化思維的前提是，對(duì)于現(xiàn)在所能解決的問(wèn)題要有一個(gè)全面的掌握。在此基礎(chǔ)之上，建立已知和未知的聯(lián)系相對(duì)來(lái)講就不是非常困難了。轉(zhuǎn)化思維一般是把復(fù)雜問(wèn)題變換轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題，把難解的問(wèn)題變換轉(zhuǎn)化為容易解決的問(wèn)題，以生疏化熟悉、復(fù)雜化簡(jiǎn)單、抽象化直觀、含糊化明朗為基本功能。轉(zhuǎn)化思維是一種比較難于掌握的思維方式，它既要求對(duì)于舊的知識(shí)有深刻的理解，又對(duì)于新舊知識(shí)之間的聯(lián)系有所領(lǐng)悟。前者在平時(shí)的學(xué)習(xí)中可以由老師給學(xué)生逐步滲透，而后者只能是學(xué)生自主思考和探索才能有所收獲。而且學(xué)生在學(xué)習(xí)中也會(huì)有這樣的困惑，明明是老師課堂上講過(guò)的內(nèi)容，知識(shí)點(diǎn)也是一樣的，課后的練習(xí)卻不能照搬照做。這也是知識(shí)的在加工過(guò)程。學(xué)生只有在自主思考之后，變?yōu)樽约簝?nèi)發(fā)的思維方式，才能如臂使指解決問(wèn)題。

六、建模

數(shù)學(xué)建模是一種特定的數(shù)學(xué)思維方式。數(shù)學(xué)建模是用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言描述實(shí)際問(wèn)題，通過(guò)設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)方法，最終解決實(shí)際問(wèn)題的整個(gè)過(guò)程。在數(shù)學(xué)建模的過(guò)程中，首先要對(duì)所研究的實(shí)際問(wèn)題抽象概況，把干擾因素和次要因素排除，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言描述所要研究的實(shí)際問(wèn)題，抓住主要矛盾和關(guān)鍵因素。第二，利用數(shù)學(xué)方法建立合適的數(shù)學(xué)模型，從而把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)槟Ｐ蛦?wèn)題，使實(shí)際問(wèn)題簡(jiǎn)單化、形式化、合理化。第三，針對(duì)所建立的數(shù)學(xué)模型，利用有效的數(shù)學(xué)手法，解決模型問(wèn)題，并對(duì)所得到的解決問(wèn)題的方法和結(jié)論進(jìn)行分析和數(shù)據(jù)驗(yàn)證。如果出現(xiàn)不合理現(xiàn)象，需要對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行修正補(bǔ)充，甚至重新建立數(shù)學(xué)模型。最后，經(jīng)過(guò)經(jīng)驗(yàn)驗(yàn)證之后的可靠模型或適用模型，可以用于實(shí)踐、評(píng)價(jià)和預(yù)測(cè)。數(shù)學(xué)建模的思維方式其實(shí)是一種模式化思維方式，這種思維方式可以深刻的改變?nèi)说乃季S方式和思維習(xí)慣，使人的思維具有探索性和外推性。數(shù)學(xué)建模的思維方式對(duì)于現(xiàn)在的高中學(xué)生是難能可貴的。

高中數(shù)學(xué)中的這六種數(shù)學(xué)思維方式，分類(lèi)和歸納思維注重對(duì)舊的知識(shí)整理和分析，類(lèi)比和抽象是對(duì)知識(shí)聯(lián)系的初步應(yīng)用，轉(zhuǎn)化和建模則是知識(shí)的探索和創(chuàng)新。這六種思維方式對(duì)于學(xué)生的能力要求逐步提高，尤其是后兩種思維方式，要求有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)自主意識(shí)和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。