從經歷過程到積累經驗

【摘要】數學活動經驗是學生在數學學習\"做\"與\"思\"的過程中積淀并逐步形成的對數學知識的體驗與理解。前置問題的優化，活動支點的建立，知識類型統整，多樣化應用，可以為經驗的激活提供豐富資源與時空保障，有利于經驗的定向形成，實現基于結構內容的整體積累。

【關鍵詞】問題 聯接 指點 結構 過程 經驗

如何有效地激活學生原有認知結構中相關活動經驗，服務于現實學習中對知識內容、過程方法的內化與主動建構。同時進一步在觀察、操作、分析、驗證等活動中積累豐富的活動經驗，為后續學習提供可供借鑒的意義聯系，是每一位教師需要針對不同學習內容而進行思考。

1 前置問題 意義聯接

認知心理學相關研究表明，個體對認知系統中某一內容的提取效率與個體對問題的理解程度正相關。即學生對所反映的數學內容理解越深入，相應的概念或命題系（域）喻平.《數學教學心理學》【M】南京：南京師范大學出版社，2010

曹才翰 章建躍 《數學教育心理學》【M】 北京師范大學也版社 2007：223 形成越廣泛，則其認知中相關內容的意義聯接也更緊密，提取也更迅速。如果教師在組織數學活動內容時，給予學生充分的前期準備的時間，適度融入反思性思考，將有助于激活學生對這一知識內容的意義建構與方法提取（包括概念、應用、方法、聯系），從而有利于學生在課堂時空借助有效資源實現互動學習，進一步在豐富中實現意義聯接。比如\"轉化策略

\"一課前，教師可以通過主題式問題幫助學生回顧與提煉。

計算：45 + 23 1225 ÷ 45

推導：請用數學語言清楚表達平行四邊形面積的推導過程。

解決：一個大杯的容積等于6個小杯，已知2個大杯和6個小杯共裝水360毫升，那么每個大杯與每個小杯各裝水多少毫升。

解決上述數學問題，想一想，解決這些問題中有什么相同的方法，除了這些數學例子外，還有哪些問題在解決中應用了同樣的方法。

教師主題式呈現這些例子，目的就是幫助學生在解決實際問題中回顧與比較，提煉相同點，啟發學生對相關活動經驗的提取。在這個轉變過程中，學生會將更多精力由\"轉化內容是什么\"轉向\"轉化的方式是怎樣\"，學生原有的數學經驗在問題的比較分析中得以再次積累內化并實現新的量與質的提升。

2 提供支點 激活結構

\"數學活動經驗需要在\"做\"的過程和\"思考\"的過程中積淀，是在數學學習活動過程中逐步積累的。\"波利亞在《如何解題》中談到的，\"教師要順乎自然地幫助學生，應該努力去理解學生的心里想什么，提出一個問題或指出一個步驟，謹慎地、不露痕跡地幫助學生。\"

G·波利亞.《如何解題》 【M】 上海：上海科技教育出版社，2007：1

① 問題支點 教師將針對性問題作為啟發學生思考的支架，引發學生對問題的思考。需要關注的是現實課堂中啟發性的問題，往往以是以\"問題鏈\"的方式推動思維的。比如平行四邊形面積推導中，教師通過：\"你能將一個平行四邊形轉化成一個熟悉地圖形來解決問題嗎？\"、\"為什么從高剪開？只能從這條高剪嗎？\"、\"只能沿高剪嗎？還有其他方式實現轉化嗎？\"上述三個關聯性的問題，引導學生對圖形轉化中，實現面積推導的過程與方法過程進行內化與意義建構，借助轉化操作促進基于圖形關系的演繹推理邏輯下的數學活動經驗進一步深入。

② 操作支點 教師以實踐操作、對比分析作為學生思維深入的支架，引導學生對問題分析。例如\"轉化\"策略教學中典型的12 +14 +18 +116 的計算，教師如果只是針對題目介紹\"數形結合\"，此時的操作支點僅僅成為學生解題的一個特殊的外在方法。但如果教師能幫助學生觀察數據的特點（后一個數是前一個的2倍）、提供可供操作的圖形（正方形看作\"1\"）、組織議一議 12、14 、18 、116 的表示、啟發思考\"是否可以換個角度來思考\"……一系列的分析與操作的協同過程，必將引領學生對為什么需要\"數形結合\"，怎樣實現形與數的聯系等等解決問題方式的思考，最終形成認識上的飛躍，同步實現數學活動經驗不斷豐富與遞增。

③ 情境支點 教師有效創設適時的數學思維情境作為激活數學經驗、喚醒數學方法應用的支架。情境支點可以是場景，啟發學生利用現實生活經驗解決相關數學問題；可以是問題，啟發學生應用原有數學認知經驗及認知思維方式解決新問題，發現新規律；可以是活動，引導學生動手實踐、自主探索發現問題，主動調用原有經驗，尋求解決問題的方法；也可以是演繹推理，引導學生合作交流，分析驗證，獲得相關數學知識的分析推理經驗，等等這些都為學生搭建了平臺，使學生能借助情境的引領，主動調用經驗，探尋未知的同時，獲得數學活動中的抽象、推理、建模、應用等經驗，形成新思考。

3 類型統整 經歷過程

認知建構主義理論與現代信息加工理論認為，學生對新內容的理解與存儲需要進行類比遷移與內化，新舊內容產生意義聯接，在同化、順應、平衡中形成更為完善的認知結構。同樣對于數學活動經驗而言，由于其無固化的外在表現形式，而是以一種形而上的經驗（思維）方式存在于現實的學習活動過程中，因此其系統性并不完整，在激活、提取、再平衡、再深化的過程中必然會引發某種沖突。比如\"轉化\"策略在回顧環節中的學生的認知障礙就是如此。因此教師需要結合相關的數學學習活動，幫助學生通過\"橫向網絡層次\"與\"縱向激活擴散\" 的意義建構方式的同時，提升學生相應的數學活動經驗，并后續問題分析提供基礎。

\"橫向網絡層次\"是指數學活動經驗中的橫向類比經驗，即同一經驗可以解決不同問題或衍生出相同類型的經驗。數學活動經驗的形成關注的是經驗本身的特性對解決問題的作用。比如\"轉化的策略在哪些方面應用過\"、\"你是如何實現轉化的，具體的方式是怎樣的？\"指導學生借助\"轉化\"思想的核心，洞察對應的問題結構，提取相關的分析思維經驗。

\"縱向激活擴散\"是指數學活動經驗的縱向對比經驗，即不同經驗（思維）之間在解決同一問題中的差異。數學活動經驗的形成關注的是經驗與經驗之間的聯系與區別。比如\"轉化的策略與原有的替換、假設策略有什么差異？\"\"你有多種不同的轉化方式嗎？你是如何思考的？\"指導學生借助\"轉化\"概念的外在表現形式，分析問題的結果，獲得并能主動調用綜合思維經驗。

4 多樣應用 抽象經驗

美國教育心理學家加涅認為，認知策略是一種特殊的智慧技能，其形成較少或不受個體思維的影響。其中認知經驗與方法是個體認知策略的重要內容。經驗的抽象是從知識掌握到數學能力形成和發展的中間環節 ，學生可在做數學中，抽象數學問題，積累活動經驗，形成數學思想方法。比如\"轉化\"策略一課教學中，教師可以借助多樣化的練習應用，幫助學生體驗轉化過程，形成豐富的個體體驗。

圖形轉化：請學生比較、觀察兩個不規則圖形，分析面積的大小關系。提煉：不規則 → 規則

關系轉化：請學生對分數實際問題一題多解，呈現多種思維路徑。 提煉：單一 → 多元

數形轉化：請學生解決如12 +14 +18 +116 的計算，明確圖形與數量的聯系。 提煉：數 → 形

問題轉化：請學生解決如\"100條直線最多可形成多少個交點？\"的問題，明確可將復雜問題轉化為簡單問題進行分析，找規律后進行演繹推理。 提煉：復雜 → 簡單

式的轉化：請學生分析計算：2+4+6+8+……+196+198+200=2×（1+2+3+4+……+98+99+100），明確可以進行式的變形進行分析。 提煉：不熟悉 → 熟悉

在豐富的應用練習中，幫助學生進行整體、多元的感受，形成對\"轉化\"策略不同視角的分析，形成豐富的認識經驗，抽象具體問題中的共性方式，體驗問題中策略的應用路徑與價值。

數學活動經驗來源于學生\"做\"與\"思\"的過程，同時經驗之于方法更為內隱，因此教師需要在教學設計與組織活動中有意識地借助各種方式與素材，幫助學生去經歷、體驗、探索，形成個體思維的方式，從而能有效提升學生對數學內容本質的理解，激活經驗、積累經驗為后續數學學習提供現實發展基礎。