“長方體和正方體的體積”課例研究

背景分析：

培養學生初步的邏輯思維能力，是小學教學的一項重要任務。而小學生的思維特點是以具體的形象思維為主，要解決這個矛盾，行之有效的方法是在教學中應用操作，讓學生在思維中操作，在操作中思維，促進學生對數學知識的理解和數學能力的提高，從而達到優化教學過程，提高教學效率的目的。

課題實驗以來，學校課題組制定了遠、近期的目標任務，要求全體數學教師，有計劃，有目的地在數學教學中加強操作，有效地引導學生去發現，領會掌握新知。這樣無論是幫助學生建立清晰、準確的概念，還是培養學生動手能力和發展思維能力方面都收到了可喜的效果。我校為了檢驗“數學思維能力培養”的實驗成果，本著問題就是課題，把科研課題帶入課堂教學主陣地。通過教學觀摩研討，提高全體教師的課堂教學水平。今年3月份，學校課題組組織了一次，以課題為載體的數學研討課，課題組鼓勵教師打破傳統的教學模式和課題結構，要樹立“活”的課程理念，真正把課堂當成培養興趣，開發潛能的場所。

在這次活動中，我執教的“長方體和正方體的體積”得到了組織者和數學教師的肯定，本課例研究的主要問題是培養學生如何思維的能力，在直觀操作實踐過程中幫助學生從形象思維向抽象思維的過渡。在實際操作中，教師如何把操作思維與語言表達結合起來，幫助學生形成清晰的表象，而后進一步抽象概括，促進學生由具體形象思維過渡到抽象形象思維，從而產生認識上的飛躍。

教學內容：

人教版義務教育課程標準實驗教科書數學五年級下冊第40-45頁。

教學目標：

1、使學生理解并掌握長方體和正方體體積的計算公式，能運用長方體和正方體的體積公式來解決生活中簡單的實際問題。2、通過學生的自主探索和合作交流，培養學生分析，比較和綜合歸納的能力，進一步發展學生的空間觀念。3、在數學學習中，讓學生經歷學習過程，體會數學來源于生活，應用于生活，感受數學與生活的密切聯系，培養學生觀察能力，動手操作能力和空間想象力，發展學生的空間觀念。

過程描述：

一、舊知鋪墊——鞏固舊知，并再次感知體積單位

師：同學們，什么叫體積？

生：物體所占空間的大小叫做物體的體積。

師：常用的體積單位有哪些？并用手勢表示。

[學情分析：對已學知識的鞏固復習，是學習數學知識的一個重要環節.上一節學習對體積的概念和體積單位已經有了全新的認識，由平面圖形到立體圖形是學生空間觀念由二維向三維發展的轉折階段.]

〔設計意圖：課的開始先復習體積的概念和體積單位，并讓學生用手勢表示，簡單的兩個問題起到了鞏固舊知的作用，并為下邊教學作好鋪墊。〕

二、情景引入，探索新知

1，創設情境，引出問題

師：爺爺最喜歡吃炒豆腐，今天中午，小明就買了一塊豆腐，（出于課件），它到底有多大呢？

生：要想知道豆腐有多大，就是求它的體積。

師：你們想得不錯，你們有什么好辦法嗎？

生：切成lcm3時的小正方體，看看它有多少個小正方體，豆腐的體積就是多少立方厘米。

師：豆腐可以切開，可是生活中有許多物體，不能切開，或者切開就壞了；想一想，有什么好辦法，可以不切開物體就能知道其體積？

2，提出猜想，討論方法

師：猜猜看，長方體體積的計算，跟什么條件有關系？

生：與長方體的長、寬、高有關。生：可以用體積單位去量。

[學情分析：“興趣是最好的老師”，在興趣中激發學生的內在潛力.這里創設了一個非常貼近學生生活的問題情境，為學生創設了探索新知的條件和空間，學生學習的欲望被激發了，思維被激活了.〕

[設計說明：目標猶如教學活動的指南針，方向盤，有了清晰的目標，就為教與學指明了方向，學生有了學習的目標，就有了主動的方向。在體積單位的教學中，學生已知道，要計量一個物體的體積單位，就要看這個物體含有多少個這樣的體積單位.但實際生活中不是所以物體都可以切開或用體積單位量，這種方式不現實，由此引出有沒有更為簡單的方法，同時也引出了學生的猜想.猜想是讓學生根據已有知識經驗，能力水平和學習方法進行大膽猜想，遷移類推計算長方體的體積跟什么有關系？這種教學既激發了學生的求知興趣，同時體現出新課標倡導的“問題一一猜想一一操作一一論證”的教學模式和理念.]

[課題思考1：學生的學習過短是構建自己數學知識活動的過程。在教學中設法創設學生認知過程中知識間的聯系與矛盾，讓學生在教師提供的背景中積極的思維，產生探索、思考、探討、解決問題的欲望，讓學生在積極主動地參與課堂學習，產生最好的學習狀態.]

3、操作探究，構建新知

①師：請同學們分組想辦法求出圖中長方體的體積。

小組研究、展示方法

小組（1）：我們用24個lcm3時的小正方體拼擺成了這個長方體，它的體積是24cm3。

師：請詳細說明你們的擺法。

生：我們沿長方體的長擺了4個1cm3，的小正方體，下面一層擺了這樣3行，下層正好擺了12個1cm3，的小正方體，上面一層也擺了12個，共擺了24個，所以這個長方體的體積是24cm3

小組（3）：我們組也認為這個長方體的體積是24cm3但我們的方法比較簡單，我們先沿著長擺了4個1cm3襯小正方體，發現可以擺這樣的3排，也就是沿寬可以擺3個1cm3，的小正方體，這樣一層可以擺4X3=12（cm3'），高正好擺2個，也就擺這樣的兩層。一層12cm3，兩層就是224cm3學生邊敘述邊動手操作。

[學情分析：學生在已有知識“體積單位”的基拙上，從舊知到問題到猜想到操作，以舊知構建新知，培養了學生數學能力，提高數學素養。〕

[設計說明：數學課堂教學就必須充分發揮學具的作用，讓學生動手操作，充分調動學生各種器官參與，讓他們積極主動，最大限度地參與整個教學過程，從而使他們在道德，知識技能，身心素質上獲得提高。學生的合作交流動手操作有兩個層次：一是部分同學利用原有經驗將長方體全部擺滿得到結果，這樣的優點是直觀.二是另一部分同學動手時發揮充分的想象，只沿著長、寬、高擺出了幾個，就想出了全部擺滿后的結果，想象豐富，思維更進一步深入，方法更加簡單.這樣讓學生操作，演示，就是充分讓學生有了自主學習的空間，讓他們動手、動腦、動口，既發展了學生的空間觀念，又培養了學生動手操作能力和口頭表達能力，給學生提供了一個展示自己的平臺.]

[課題思考2：由于學生認知水平和思維特征的不同，他們解決問題的方法和策略也有所區別，我們要直面學生的個性差異.本課教學中，對于學生擺拼的不同，不是限制而是鼓勵讓學生用自己的思維方式，自己的體驗發現規律，給學生展示自己思維過程的機會，尊重他們的個性和需要，使他們擁有更多學習的主動權，學習才會更有效，才更有利于學生數學能力的培養和提高，實現可持續性發展。]

[問題討論：長方體的體積到底和什么有關系呢？學生通過擺拼得出了兩種不同的方法，一是全部擺滿，二是只擺出了長、寬、高.體現了學生思維的多樣性，思維層次的不同，而通過兩種擺法的不同，激發了學生數學思考，擺拼也要更好的動腦，才會有好的方法.〕

師：這個方法怎樣？

生：第三小組方法比第一小組的方法簡單，只需從一個頂點出發，擺出了長、寬、高的個數，就可以計算長方體的體積。

4，深入探究，總結方法

師：聽了同學們剛才的分析，我也同意只需擺出長方體的長、寬、高就可以求出長方體的體積，比全擺滿簡單多了，請同學們用這種簡單算法，算一算下面這個長方體的體積。

學生再次小組操作、實踐、計算

小組匯報交流展示：

小組（2）：我們通過拼擺，計算出這個長方體的體積84c擴。

師：說出你們的想法

生：我們從一個頂點出發，沿長擺了7個1cm3的長方體，沿寬可以擺4個1cm3小正方體，說明可以擺這個的4排，這樣一層就擺了7 X 4=28（個）1cm3的小正方體，說明一層的體積是28cm3襯，沿高擺3個，說明可以擺這樣的3層，這個長方體就可擺28 X 3=84（個）也就是84cm3擴。即長擺的個數X寬擺的個數（即排數）X高擺的個數（即層數）二共擺的個數，能擺多少這樣的體積單位，體積就是多少，其他小組展示。

〔學情分析：學生在自主探索中發現長方體體積計算規律，在此基拙上，更進一步操作實戲，使學生發現它的普遍性，實用性，在經歷知識形成的過程中，真正理解并掌握了數學知識、思想和方法，同時獲得了廣泛的數學經驗，促進了學生的全面發展.〕

[設計說明：“新課標”倡導教學過程要充分發揮引導學生自主發現，抓住事物的本質特征，挖掘事物的內在聯系.學生通過操作發現一個規律：長方體中，沿長擺的個數x沿寬擺的個數=每層的個數，再乘以沿高擺的個數即層數，就是這個長方體一共可以擺多少個體積單位，也就這個長方體的體積是多少.整個操作活動以學生為主體，教師只起引導作用，在操作活動中提高學生的數學能力.]

[課題思考3：本節設計中充分體現了以學生為本的教學理念，在學生獲得新知的過程中，大膽放手，讓學生再次自主探索，突出知識的形成過程，使學生對長方體的體積計算，再次感觸熟悉，在小組活動中，再次將規律升華，從而獲得最佳的教學效果，充分發揮了學生學習的自主性.〕

5、總結概念，得出公式

師：雖然沿著長、寬、高只擺三行就能知道長方體的體積，可我們不能不管走到哪都帶上不同的體積單位去擺拼吧；有沒有更為簡單的計算辦法，求出長方體的體積？

小組再次探究、交流、發現

師：為什么長方體的體積剛好等于長、寬、高的積呢？

生：這個長方體的長7cm，表示每一排有7個1cm3耐的小正方體，寬表示擺了這樣的4排，高表示擺了這樣的3層，每排的塊數X排數X層數二總塊數，也就是長方體的體積。師：誰還能再說一說：

生：長相當于每排個數，寬相當于排數，高相當于層數。

長方體的體積=每排的個數X排數X層數，所以長方體的體積=長X寬X高。師：長方體的體積用“V”表示，長用“a”表示，寬用“b”表示，高用“h”表示，這樣長方體的體積公式用字母表示就是V=abh。

生：只要知道長方體的長、寬、高，就可以計算出長方體的體積。[學情分析：學生發現規律，總結概括，是教師引導下，順水推舟，水到渠成的事.〕

[設計說明：結論是總結課堂不可缺少的環節，學生感性知識的升華，是實踐活動的抽象概括.學生通過擺拼計算兩塊長方體的體積，學生總結出只要求出長方體的長、寬、高，就可以算出長方體的體積，由一般發現一一引導學生發現規律一一總結出計算會式，小組的再次操作得出結論，培養了學生總結，概括歸納的數學能力.]

[課題思考4：任何一種數學知識的學習，最終都能形成一種規律性的結論，知識的結論，是學習數學構建知識不可或缺的一部分，學生總結概括是教師長期有目的地培養學生數學能力的一項任務.]

③總結研究過程，滲透研究方法

師：同學生已經探究出長方體的體積計算公式，那么，我們就幫小明算一算給爺爺買的這塊豆腐的體積吧。

生：只要知道豆腐的長、寬、高就可以計算它的體積。

師：那我們就先量一量（動手量），測出長方體豆腐長12cm，寬8cm，高7cm。

學生獨解答體積，教師強調書寫格式

12 X8 X7=652（cm3）

答：長方體豆腐的體積是652cm3。

[學情分析：知識已經構建完成了，學習數學的目的是什么？應用.應用知識解決實際問題（豆腐的體積），是學生現在迫切的要求，以此來鍛煉，以此來實踐，以此來讓學生的數學能力得到提高.〕

〔課題思考5：數學源于生活，用于生活.我們從生活實際引出問題，通過學生的猜想，操作，總結，得出了計算公式，說明知識來源于生活，學生運用剛才學習的知識，再解決生活實際問題，即豆腐的體積，將知識回歸于生活.這樣讓學生體驗，感受學習數學的價值，學生也知道了要想求出長方體的體積就要測量出或知道長方體的長寬高，由問題情境探究結果，應用于生活實際，學生體驗了成功的快樂，也體驗了知識構建的過程.〕

④遷移類推，提高能力

師：老師要將這塊豆腐切成最大的正方體，它的棱長是多少？

生：7cm，因為要切成最大的正方體，就要把長方體長變成7cm，寬也成成7cm。

師：很好，（教師演示切割過程）如何計算它的體積呢？

生：正方體是特殊的長方體，是長、寬、高相等的長方體，所以它的體積是棱長X棱長X棱長。

師：總結板書：正方體的體積二棱長X棱長X棱長。

師：用+V 表示正方體的體積，a表示正方體的棱長，所以正方體的體積字母公式為：V=a.a.a=a3。a3讀作a的立方，表示3個a相乘。

師：我們算一算正方體豆腐的體積吧。

7 X 7 X 7=343 （cm3）

答：這塊正方體豆腐的體積是3343cm 0

[設計說明：知識的及時遷移，類推，是學習數學的一種好方法.我們在得出長方體體積計算公式時，并沒停止，而是由問題情況引出“將長方體

豆腐切成最大的正方體，正方體的棱長是多少？”學生積極行動起來，發現了用長方體最短的棱長作正方體的棱長來切出最大的正方體，這不僅是舊知識的鞏固，也是對學生數學能力的挑戰.再讓學生直觀感受長方體如何變成最大正方體的過程，水到渠成，完成了知識的遷移.學生用原有的知識經驗很容易得出成正方體的體積計算公式].

[問題討論：本環節類推正方體的體積計算，我曾想是直接出示一個正方體，讓學生計算其體積好呢？還是將正方體的體積，由“長方體的豆腐塊”切割形成好呢？最終我選擇了后者，學生的思維又經歷了一次提高的過程，“如何將長方體的豆腐塊”切割成最大的正方體呢？以哪條棱為棱長呢？學生的思維再次被激發，通過一次次的對比，得出了以最短的棱為正方體的棱長.數學的思考，空間的想象，知識的對比，使學生的能力得到全面提高.〕

三、應用公式，解決問題，鞏固拓展

1、師：想辦法計算你帶學具的體積？說一說你的想法。生：量出它們的長、寬、高或棱長。

小組合作，完成學具的測量和計算。

[設計說明：利用學具積極操作，讓學生解決生活實際問題，起到內化知識，提高學生數學能力的目的。]

2、練習。

①計算下面長方體、正方體的體積。②判斷（對的打“√”，錯的打“×”）。正方體的棱長總積是48cm，它的體積是64cm3（）

53=5 X 3=15（）

一個長方體的長是5cm，寬是4cm，高是8cm，體積是3200cm3。

③想一想：

將一個棱長為6分米的正方體鋼坯，鍛造成一個寬為3分米，高為7分米的長方體鋼塊，這個鋼塊的長是多少分米？

[學情分析：學生在自主學習中動手，動腦，歸納概括的能力都得到了提高，但是否全面提高綜合知識的能力了呢？需要通過層次練習來檢測.]

[設計說明：練習是數學在教學中鞏固新知識，形成技能，發展思維，提高學生解決問題的有效手段。本課練習，讓學生起到學以致用的目的，練習由易到難，層層深入，面向全體，人人參與.]

[課題思考6：在學生學習了新知的同時，行之有效的練習不僅起到鞏固知識，形成技能的作用，同時是提高學生綜合應用能力的一個有效手段.看似簡單的一個小練習，其實不僅考查了許多知識點，而且使思維縱深發展，調動手、眼、腦等多種器官的積極參與，如何審題，應用哪些知識，該怎樣思考，還要有豐富的空間想象力才能完成.充分發揮學生的聰明才智，最大限度地調動學生的數學思維，全面地提高學生的綜合應用能力.〕

四、全課小結（略）

啟示與思考：

《數學課程標準》指出：數學教學內容要具有現實意義，它是學生生活的體驗，要富有挑戰性，這就要求教師在教學內容的選擇時要有利于學生主動地進行觀察、實驗、猜測、驗證、交流、推理等。本課在教學時主要想體現以下幾點：

一、培養學生的數學思維方法，構建“問題情況—建立模型—解釋應用”的教學模式。教學中設計了“目標—讓學生提出；公式—讓學生猜測；學具—讓學生操作；特征—讓學生發現；結論—讓學生總結；知識—讓學生應用。這六個環節，激發學生參與課堂，主動積極探究知識，小組合作交流操作，讓學生對計算長方體的體積進行大膽猜測，進而操作發現其規律，然后總結應用，培養了學生自主學習的能力，空間想象能力，數學思考的能力，歸納概括的能力。

二、感受數學學習的價值，體驗數學源于生活，用于生活。

本節的數學從生活實際出發，由一塊“豆腐有多大？”引出了思考，想計算“它的體積與什么有關系”而進行大膽猜測，進而小組操作探究，發現了長方體的體積和長、寬、高之間的關系，并進行總結概括規律，最后將知識回歸于生活，解決了生活的實際問題，深刻體會到學習數學的價值，領會數學的魅力所在。

三、學生學習知識與發展能力并重，關注學生思維的發展。

本課教學主要想體現以發展學生為本的教學理念。首先創設問題情境，讓學生帶著問題探究。思維是由問題開始的，有了需要解決的問題，才能促進學生積極的思維。所以在教學中不僅關注學生知識的學習，更關注學生思維的發展。