淺談“動”的思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

摘 要：動與靜是自然界中客觀事物普遍存在的兩種形態(tài)，它們是相對的，又是和諧統(tǒng)一的。動中有靜，靜中有動。數(shù)學(xué)作為對客觀事物的反映，動靜結(jié)合思想也是數(shù)學(xué)研究的基本思想。在解決問題時，我們既可以用運動的觀點處理靜止問題，也可用相對靜止的觀點處理運動問題。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，用動靜結(jié)合的思想引導(dǎo)學(xué)生進行數(shù)學(xué)思維，有利于學(xué)生全面、深刻地認識并理解數(shù)學(xué)概念，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)。用動的思想引導(dǎo)學(xué)生進行解題思考，可以擺脫思維的模式化、機械化，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。數(shù)學(xué)教學(xué)中，“動”的思想是學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律、拓展數(shù)學(xué)思維的重要途徑。

關(guān)鍵詞：“動”的思想；數(shù)學(xué)概念；解題思維；思維拓展

動與靜是客觀事物存在的兩種形態(tài)，它們既是相對的，又是和諧統(tǒng)一的。數(shù)學(xué)是對客觀事物的反映，動靜結(jié)合是數(shù)學(xué)的一個本質(zhì)特征。動中有靜，靜中有動。一個靜態(tài)的實數(shù)a，當(dāng)把它與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)時，它就可以運動起來。當(dāng)a取盡所有的實數(shù)時，它對應(yīng)的點就跑遍了整個數(shù)軸。又比如函數(shù)是刻畫客觀事物變化規(guī)律的一種模型，在解決問題時我們常常激活這種看似靜態(tài)的數(shù)學(xué)模型，對客觀事物的發(fā)展結(jié)果進行動態(tài)的評估與預(yù)測。動靜結(jié)合的思想，是數(shù)學(xué)研究最基本的思想。在解決問題時，我們既可以用運動的觀點處理靜止問題，也可用相對靜止的觀點處理運動問題。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，用動靜結(jié)合的思想引導(dǎo)學(xué)生進行數(shù)學(xué)思維，有利于學(xué)生更全面、更深刻地認識并理解數(shù)學(xué)概念，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)。以下就本人的教學(xué)實踐，談?wù)劇皠印钡乃枷朐跀?shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。

一、用“動”的思想深入理解數(shù)學(xué)概念

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：數(shù)學(xué)教學(xué)過程中“要注重聯(lián)系，提高對數(shù)學(xué)整體的認識”。數(shù)學(xué)概念，重要的是理解，然后才能掌握與應(yīng)用。怎樣才算理解了呢？僅僅是字面上的弄懂是遠遠不夠的，還必須弄清楚它和其他事物的關(guān)聯(lián)，才能從本質(zhì)上融會貫通。教學(xué)中用“動”的思想進行教學(xué)引導(dǎo)，有助于幫助學(xué)生溝通知識之間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生站在系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化的高度去理解數(shù)學(xué)概念，深化對概念的理解。

1.案例1：平面向量基本定理

從這個討論過程中我們看到，整個過程是一個實數(shù)集到點集到向量集上的一一映射，從而將代數(shù)與幾何以及解析幾何緊緊地融合在一起，溝通了知識之間的聯(lián)系。

2.案例2：柱、錐、臺的概念

對于棱柱、棱錐、棱臺三種圖形，我們可以從其中任意一種出發(fā)，運用“動”的思想，演變出其他的兩種。以從棱臺出發(fā)為例，對于一個棱臺，讓它的下底面不變，使其上底面縮小為一個點，便成了棱錐；而讓棱臺的上底面放大直到與下底面全等時，便又成了棱柱了。相應(yīng)的，對于它們的性質(zhì)，用“動”的思想同樣可以將它們統(tǒng)一起來。由棱臺的體積公式V=（S上+S下+）h，當(dāng)S上=0時，便得棱錐體積公式V=S下h；當(dāng)S上=S下時，便得到了棱柱的體積公式V=（S下+S下+）h=S下h，多么和諧的統(tǒng)一！當(dāng)然對于圓柱、圓錐、圓臺同樣可用“動”的思想將它們統(tǒng)一起來。我們再來看，棱柱、棱錐、棱臺與圓柱、圓錐、圓臺之間能否建立統(tǒng)一的聯(lián)系呢？用“動”思想，將棱柱、棱錐、棱臺的棱的條數(shù)變到+∞，此時棱柱、棱錐、棱臺是不是就變成圓柱、圓錐、圓臺了么？這樣，用“動”的思想，我們就可以將柱、錐、臺的圖形與性質(zhì)都統(tǒng)一在一個認識之下，從而加深了對概念的理解，簡化了對知識的記憶。

在數(shù)學(xué)中，像這種用“動”的思想去尋求知識之間的聯(lián)系，統(tǒng)一的過程俯拾即是，舉不勝舉。它能置概念理解于系統(tǒng)之中，從系統(tǒng)的高度去理解、去把握，有利于學(xué)生從本質(zhì)上認識事物，逐步形成較深刻的觀點。

二、用“動”的思想克服定勢思維

1.案例3：已知正三棱柱ABC-DEF中，AB=2，AD=4，求這個正三棱柱的體積。

對于以上這個問題，有學(xué)生如是解：

錯因分析：學(xué)生思維定勢上習(xí)慣把豎直方向距離當(dāng)作高，把水平放置的面作為底面。教學(xué)時將棱柱變換角度讓學(xué)生重新進行辨識，學(xué)生立馬就捶胸頓足，懊惱自己竟犯這么簡單的錯誤！

2.案例4：正方體的棱長ABCD-EFGH為2，求三棱錐B-AFC的體積。

分析：由棱錐的計算公式V=S底·h，學(xué)生很自然地想到要先求出△AFC的面積，作出棱錐的高BO，然后證明O是底面的中心，求出BO，雖可得出正確結(jié)果，但計算過程顯得冗長。若用“動”的思想，選擇A，F(xiàn)，C中任一個做頂點，解法就變得十分簡潔了。

對于立體幾何教學(xué)，為了讓學(xué)生產(chǎn)生正確的空間想象，教師不僅要通過實物模型讓學(xué)生從靜態(tài)的模型中認識幾何體的特征，更要變換角度，讓幾何體“動”起來，如“立”起來、“倒”下去、“翻”過來、“轉(zhuǎn)”過去，甚至“鉆”進“鉆”出，這樣學(xué)生就能從不同的視角獲得對幾何體的認識，才能在變換的情景中思考問題，達到靈活解題的目的。

三、用“動”的思想活化解題思維

1.案例5：如圖，在y軸上有兩點A（0，a），B（0，b），并且b>a，試在x軸正向上求一點C，使∠ACB最大。

課堂上學(xué)生有兩種思考：

方法一：采用余弦定理

設(shè)點C（x，0），AC2=a2+x2，BC2=b2+x2，AB=b-a

由于分子分母都含自變量，而且分母又含根式，目標(biāo)函數(shù)最值難求而選擇放棄！

方法二：注意到可以轉(zhuǎn)化為直角三角形中和問題，所以在（1）的基礎(chǔ)上改進思路，選擇正切函數(shù)作為目標(biāo)函數(shù)：

分析：方法一和方法二是有關(guān)求最值問題的是一種模式化思考方式，即在涉及求最值問題時，通常先把目標(biāo)函數(shù)表示出來，然后觀察函數(shù)特征，找準(zhǔn)相應(yīng)的最值模型求解。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)習(xí)的模式化、形式化表達雖是一項基本要求，但不能僅限于形式化，否則會將生動活潑的數(shù)學(xué)思維淹沒在形式化的海洋里。對于這個問題，若暫時撇開模式化，運用“動”的思想，讓點C在x軸正半軸上動起來，引導(dǎo)學(xué)生觀察，不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)動點C無限靠近原點或無限遠離原點時，∠ACB都趨于零，所以在x軸正半軸上，必存在兩點M，N，使得∠AMB=∠ANB。由此聯(lián)想到圓周角的性質(zhì)，必有一個圓P，經(jīng)過A，B兩點并且與x軸正向交于M，N。又由同弧上的圓內(nèi)角、圓周角的大小關(guān)系，對于弦MN上任一點C′，有∠AMB<∠AC′B，∠ANB<∠AC′B。再讓點M，N動起來，使M，N的距離越來越小，那么必然存在一個時刻，圓P與x軸只相交于一點C，即圓P與x 軸正向相切于一點C，由同弧的圓周角大于圓外角的性質(zhì)，∠ACB大于一切的∠AC′B，這樣用“動”的思想就在x軸正半軸上找到點C，使得∠ACB最大。

由圓的切割線定理，有：OC2=OA·OB，即x2=ab，解出x=。

由此可見，將“動”的思想融入其中，好比為思維注入了一汪活水，思維頓時靈活、開放起來，解題思路豁然開朗，充滿生機。

2.案例6：已知橢圓=1（a>b>0），F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是左右焦點，若橢圓上存在點P，使得PF1⊥PF2，求橢圓的離心率e的范圍。

對于這個問題，很多教師是這樣引導(dǎo)學(xué)生探求橢圓中隱含的不等關(guān)系的：橢圓中，若存在點P，使得PF1⊥PF2，則有PF12+PF22=4c2，PF1+PF2=2a，因為2（PF12+PF22）≥（PF1+PF2）2，所以8c2≥4a2，即a≤c，即得≤e<1。但是學(xué)生發(fā)現(xiàn)這個不等關(guān)系的前提必須要事先熟練掌握好不等式2（a2+b2）≥（a+b）2的應(yīng)用，普通學(xué)校極少用到，要聯(lián)想到這個不等式解決問題有點難。用“動”的思想，可以引導(dǎo)學(xué)生很輕松地發(fā)現(xiàn)其中蘊涵的不等關(guān)系：通過幾何畫板，讓點P在橢圓上動起來，學(xué)生可以直觀地感受到當(dāng)點P向橢圓頂點（a，0）或（-a，0）運動時，∠F1PF2越來越小，最后趨近于0，所以當(dāng)點P運動到短軸的端點時，∠F1PF2最大（可利用圓的性質(zhì)證明，方法同案例5）。于是解決這個問題就有了這樣的思維鏈：要使橢圓上存在點P，使得PF1⊥PF2，只要最大的角大于或等于90°就行，只要∠F1BO≥45°（如圖），只要b≤c，只要b2≤c2，只要a2-c2≤c2，最后可求得≤e<1。

3.案例7：求函數(shù)f（x）=x-1+x-2的最小值。

解決這個問題，常見的思維是去絕對值，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)。

然后有兩種思考方法，一種是代數(shù)的思考方法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出每一段的最小值，然后綜合比較，求出三個最小值中的最小值；另一種是數(shù)形結(jié)合，畫出分段函數(shù)圖象，找到圖象最低點處對應(yīng)的函數(shù)值就是函數(shù)的最小值。然而用“動”的思想，通過數(shù)軸建立起數(shù)與點的一一對應(yīng)關(guān)系，那么x-1，x-2就分別表示點x到點1與點2的距離，讓點x在數(shù)軸上動起來，發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點x在點1到2之間運動時，點x到點1與點2的距離沒有重疊，而其他任何位置均有重疊，故當(dāng)x∈[1，2]時，fmin（x）=1，多么簡潔的思維！若將問題進行進一步拓展，求三個或多個絕對值的和的最小值，就更能顯現(xiàn)出它超常的優(yōu)越性。如求f（x）=x-1+x-2+x-3的最小值，此時仍用分類討論去絕對值的辦法，顯然是非常繁雜了。用“動”的思想進行思考，不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)點x運動到點2時，x-1，x-2，x-3表示的三個距離沒有重疊，所以fmin（x）=2。

四、用“動”的思想探索數(shù)學(xué)規(guī)律

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，用“動”的思想讓“常量”變“變量”是引導(dǎo)學(xué)生探索數(shù)學(xué)規(guī)律、拓展數(shù)學(xué)思維的重要途徑。

1.案例7：錯位相減法求等比數(shù)列的前項和的思維拓展

已知等比數(shù)列an的首項為a1，公比為q且q≠1，求an前n項和Sn。

教學(xué)時，引導(dǎo)學(xué)生采用錯位相減法求解

用錯位相減法得出等比數(shù)列求和公式之后，引導(dǎo)學(xué)生進一步反思與探索，等比數(shù)列之所以能用錯位相減求和，是因為矩形框內(nèi)q的同指數(shù)冪系數(shù)都是同一個常數(shù)a1，兩式相減，矩形框內(nèi)的項全部相消為0。若用“動”的思想，激活常量a1變?yōu)閍n，情況又如何呢？

觀察矩形框內(nèi)q的同指數(shù)冪的系數(shù)特征，由此聯(lián)想：若數(shù)列an是等差數(shù)列，兩式相減后，矩形框內(nèi)q的同指數(shù)冪雖然不能全部抵消，但可以合并，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的求和。由此得出，錯位相減法不僅適用于等比數(shù)列的求和，對于形如an·bn（其中an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列）的數(shù)列同樣也可采用錯位相減法求和。

在數(shù)列學(xué)習(xí)中，類似的讓常量“動”起來，探究問題一般性規(guī)律的例子還很多，如：

2.案例8：已知a2+b2=1，c2+d2=1，求證：ac+bd≤1。

用“動”的思想作進一步的思考，由條件和結(jié)論的對待性增加題設(shè)條件中實數(shù)個數(shù)，探究結(jié)論是否仍成立？

已知a12+b22+…an2=1，b12+b22+…bn2=1，求證：a1b1+a2b2+…anbn≤1。

由此可見，“動”的思想有利于學(xué)生從本質(zhì)上認識事物；“動”的思想是學(xué)生發(fā)現(xiàn)新問題、認識新規(guī)律、形成新觀點的重要途徑。教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生用“動”的思想進行數(shù)學(xué)思考，好比為學(xué)生的思維插上聯(lián)想的翅膀，引導(dǎo)學(xué)生飛翔在更廣闊的數(shù)學(xué)空間。

參考文獻：

[1]孫維剛.孫維剛高中數(shù)學(xué)[M].北京大學(xué)出版社，2011.

[2]黃德雄.動與靜的哲學(xué)思想在數(shù)學(xué)中應(yīng)用[J].中學(xué)理科：綜合，2006（9）.

編輯 王夢玉