試論高考函數(shù)問題中的新熱點

摘 要：對近幾年的高考試卷進(jìn)行分析可以看出，數(shù)學(xué)中函數(shù)問題的命題方式正發(fā)生著變化，它經(jīng)常與數(shù)學(xué)中的其他知識點或其他學(xué)科交叉命題，甚至?xí)跃C合性題目的形式對學(xué)生進(jìn)行考查，這種新的命題方式已成為高考命題的一個新的熱點，因此，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中不僅要積累扎實的基礎(chǔ)知識，還有注重發(fā)散思維和橫向思維能力的培養(yǎng)。針對數(shù)學(xué)中函數(shù)問題的新的命題趨勢，從三次函數(shù)、抽象函數(shù)、向量知識和相關(guān)知識點結(jié)合的題型等幾個考查熱點進(jìn)行分析。

關(guān)鍵詞：函數(shù)；考查形式；熱點題型

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識和主干知識，不僅起著連接數(shù)學(xué)知識的重要作用，也是高考的重點考查內(nèi)容，通常以方程、不等式和數(shù)列相結(jié)合的方式進(jìn)行考查。隨著近幾年課程改革的不斷深入，高考對函數(shù)的考查方式發(fā)生了深刻的變化。尤其是導(dǎo)數(shù)和向量等內(nèi)容的引入，不僅增加了解題途徑的多樣性和靈活性，也拓寬了有關(guān)函數(shù)問題的命題空間。

一、高考函數(shù)的考查形式和特點分析

函數(shù)的定義域、值域和反函數(shù)是高考對函數(shù)概念的考查形式，這類題型通常比較簡單，可以直接通過具體問題找出函數(shù)關(guān)系。有關(guān)函數(shù)性態(tài)問題的題型偏中等難度，通過組合形式多角度的題型設(shè)置考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性和對稱性。函數(shù)性質(zhì)的考查方式比較靈活，不僅考查學(xué)生對函數(shù)內(nèi)容的掌握情況，同時也考查對觀察問題、分析問題和解決問題的能力。函數(shù)的最值問題幾乎每年都考，也是高考的重要題型之一，大多數(shù)的最值問題都與應(yīng)用問題相結(jié)合，這類考題一般要求學(xué)生有靈活和準(zhǔn)確構(gòu)建函數(shù)模型的能力。

導(dǎo)數(shù)是解決初等數(shù)學(xué)問題的有效工具，高考對于導(dǎo)數(shù)的考查主要偏重于其在函數(shù)和解析幾何中的應(yīng)用，主要的考查點有以下三個方面：（1）運用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的最值問題一直是高考每年考查的熱點。對于實際問題，通過建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，從數(shù)學(xué)的角度轉(zhuǎn)化為函數(shù)最大值和最小值的問題，然后利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，解決函數(shù)最大值和最小值的問題，從而進(jìn)一步解決實際問題。（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為曲線斜率問題也是高考經(jīng)常考查的重點內(nèi)容之一。函數(shù)y=f（x）在x=x0處的導(dǎo)數(shù)，表示點P（x0，f（x0））處的斜率。（3）通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性也是導(dǎo)數(shù)的一個重點應(yīng)用，在每年的高考中都會有所涉及。

二、高考函數(shù)中的幾個熱點問題

函數(shù)在數(shù)學(xué)中具有重要的地位，它不僅是高考考查的重點內(nèi)容，也是學(xué)生必須掌握的重要知識點。高考對于函數(shù)的考查趨勢將會在一定程度上高于課程標(biāo)準(zhǔn)。對函數(shù)概念、性質(zhì)和圖像問題的考查主要是通過選擇、填空等小題的形式，對于函數(shù)與不等式、數(shù)列、向量和解析幾何等綜合知識的考查主要通過解答題，重點考查學(xué)生理解、靈活運用的能力，因此難度也會比較大。高考中應(yīng)用題的設(shè)置主要是考查運用函數(shù)模型解題的能力，也是高考命題的熱點之一。下面針對幾種主要的高考考查熱點問題進(jìn)行相應(yīng)的題型分析。

1.三次函數(shù)型問題

以三次函數(shù)為主線的問題融合了三次函數(shù)、不等式、導(dǎo)數(shù)和方程等知識，主要是考查極值和單調(diào)性問題的應(yīng)用。隨著中學(xué)數(shù)學(xué)課改后導(dǎo)數(shù)內(nèi)容的引入，三次函數(shù)最值、極值、圖像和單調(diào)性等內(nèi)容成為近幾年高考數(shù)學(xué)的考查熱點，這類題目具有內(nèi)容新、方法新和背景新等特點，整體難度不大。

例1.已知f（x）=x3+bx2+cx+d在（-∞，0）上是增函數(shù)，在[0，2]上是減函數(shù)，且方程f（x）有一個根是2。

（1）求c的值；

（2）求證：f（1）≥2。

于是f（1）=b+d+1=b-4（b+2）+1=-7-3b≥2。

這種題型融合了三次函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式、方程等知識，主要考查導(dǎo)數(shù)在三次函數(shù)極值與單調(diào)性中的應(yīng)用。

2.抽象函數(shù)型問題

這類問題主要考查抽象函數(shù)、數(shù)列和函數(shù)的單調(diào)性等知識，解題的基本思路是先將抽象函數(shù)賦值，然后做恒等變形，通過函數(shù)單調(diào)性將函數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量關(guān)系。通過對抽象函數(shù)賦值，可以找到一個具體的函數(shù)原型，通過研究具體函數(shù)的周期性、對稱性和單調(diào)性等，可以為抽象函數(shù)問題的解決提供新的思路，近幾年的高考數(shù)學(xué)中對抽象函數(shù)問題的考查有增加的趨勢。

（1）若f1（x）與f2（x）在給定區(qū)間[a+2，a+3]上都有意義，求a的取值范圍；

（2）討論f1（x）與f2（x）在給定區(qū)間[a+2，a+3]上是否是接近的。

解：（1）要使f1（x）與f2（x）有意義，則有x-3a>0，x-a>0，（其中 a>0，且a≠1），即x>3a。要使f1（x）與f2（x）在給定區(qū)間[a+2，a+3]上都有意義，等價于a+2>3a（a>0，且a≠1），所以0

（2）由f1（x）-f2（x）=loga（x2-4ax+3a2），

令loga（x2-4ax+3a2）≤1，得-1≤loga（x2-4ax+3a2）≤1 ①，

∵0

解決這種抽象函數(shù)問題，關(guān)鍵是找到其函數(shù)特征，在本題中通過運用該方法，脫去抽象函數(shù)的記號，化為具體函數(shù)進(jìn)行解決。

3.向量知識型問題

這類問題主要考查向量、導(dǎo)數(shù)、不等式和函數(shù)等知識，解題的基本思路是先將向量間的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，然后利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性。由于向量具有可以和函數(shù)相互轉(zhuǎn)化的特點，函數(shù)問題可以以向量的形式進(jìn)行表述，這也使得以向量知識為背景的函數(shù)問題成為高考的重點考查內(nèi)容。

（1）求函數(shù)關(guān)系式s=f（t）；

（2）若函數(shù)s=f（t）在[1，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，求k的取值范圍。

（2）f ′（x）=3t2-k，因為f（t）在[1，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，所以在[1，+∞）上有f ′（t）≥0或者f ′（t）≤0。由f ′（t）≥0？圯3t2-k≥0？圯k≤3t2？圯k≤3。由f ′（t）≤0？圯3t2-k≤0？圯k≥3t2。因為在t∈[1，+∞）上3t2是增函數(shù)，所以不存在k，使k≥3t2在[1，+∞）上恒成立。故k的取值范圍是k≤3。

這類題融合了向量、導(dǎo)數(shù)、函數(shù)和不等式等知識，具體的解題思路是：將幾何位置關(guān)系轉(zhuǎn)換為坐標(biāo)關(guān)系，然后運用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性。

4.與相關(guān)知識點結(jié)合的問題

以高等數(shù)學(xué)知識為背景的題型主要以函數(shù)的邊界條件為背景，給函數(shù)設(shè)置新的情境，主要考查學(xué)生靈活運用函數(shù)知識解決不等式恒成立的問題，解題的基本思路是首先理解題型中考查的定義，通過定義的證明求解不等式的恒成立。這種以高等數(shù)學(xué)知識為背景的函數(shù)問題成為最近幾年高考命題的熱點，函數(shù)問題成為考查的重中之重。

與概率和統(tǒng)計交叉的題型主要通過實際應(yīng)用問題的方式進(jìn)行考查，通過排列組合和概率統(tǒng)計知識考查概率的計算和概率分布，最近幾年形成的概率統(tǒng)計與函數(shù)相結(jié)合的題型也成為考查熱點。

函數(shù)知識不僅是數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是研究其他學(xué)科的必備基礎(chǔ)，通過函數(shù)知識可以研究和解決其他學(xué)科中的各種基礎(chǔ)問題，函數(shù)的教學(xué)內(nèi)容也包含著豐富的辯證思想，可以對學(xué)生進(jìn)行辯證唯物主義的教育。函數(shù)的思想方法已經(jīng)滲透到其他學(xué)科中，產(chǎn)生了廣泛的影響。

綜上所述，近幾年的高考命題方式既考查學(xué)生對基本知識的掌握，也考查學(xué)生對相關(guān)知識點綜合題型的解題能力。這種多樣性的考查方式不僅體現(xiàn)了新教材的教育理念，也體現(xiàn)了新課程中新的思想和方法。這種考查學(xué)生基礎(chǔ)知識和綜合能力的命題特點，可以提高學(xué)生的理解能力、辯證能力和應(yīng)用能力等。

參考文獻(xiàn)：

劉運金.高考函數(shù)問題中的新熱點討論[J].中學(xué)課程輔導(dǎo)：教學(xué)研究，2014（20）：157-158.

編輯 王夢玉