一次函數應用題中最值的求法教學初探

課程教育改革無論是教學內容還是教學程序上的變動都是為“以人為本，素質教育”的宗旨而服務的，新課程改革體現了培養學生創新思維能力和自主探索能力的目標。如今教材中已經很少出現如公理、判定定理、性質定理等絕對性名詞的描述，而是出現了通過觀察、探究、發現、歸納等啟發思維的課題模式，目的是讓學生能夠通過自己的觀察去探究和發現問題，并歸納和總結出規律所在，從而達到培養學生創新思維能力和創造能力的目的。

（人教版）八年級數學教材的第十一章是“一次函數”，而這原本是舊版九年級數學教材的內容。在新版教材中，編者從實際生活例子出發，很好地引入了“一次函數”這一概念。然而如何讓初學者具體了解這一抽象概念，引導學生學會觀察圖象和作出歸納總結是該部分教學內容的重點所在。下面本文就“一次函數應用題求最值”這一教學內容做初步的探討。

一、審清題意，構建一次函數

下面以（人教版）教材八年級數學課本33頁，例6（題略）為例。本題配有較為清晰的例圖，只要我們認真閱讀題目就可以發現：（1）明顯的流程，即運輸流程，A—C，A—D，B—C，B—D（這個流程從配圖上可以看出來）；（2）題目最終的目的是要求掌握運費與調運的噸數關系，在這個關系中我們可以這樣分析：運費包括A—C，A—D，B—C，B—D四個流程的運費（這個流程我們可以稱為運費流程，顯然這個流程是隱藏的）；（3）運費的求法，學生是可以知道的，運費=運輸的單價×運輸的數量。我們可以通過對比的方法進行分析：A—C 20元/噸，？噸 A—D 20元/噸，？噸B—C20元/噸，？噸 B—D 20元/噸，？噸

從而把問題的關鍵轉化到運輸的數量這個末知數上來，這時我們可以用方程的方法來解決。（例題配表說明較清楚，這里就不再重復）。因此，這個過程我們可以用逆向發展的思維進行推理：

1.運輸流程—運費流程—運費求法—方程方法；

2.總運費=A—C的運費+A—D的運費+B—C的運費+B—D的運費

根據題意，列方程：y=20x+25（200-x）+15（240-x）+24（60+x）

整理得：y=4x+10040

這就是運輸數量與運費的一次函數關系了。

二、根據題意與實際意義相結合，確定自變量的取值范圍

在已經構成一次函數的基礎上，我們特別要引導學生注意：

1.若從單純的一次函數y=4x+10040上看，自變量x可取任何實數；

2.若從本題（生活中的實際意義）上看，（1）運輸量不能為負數；（2）這個運輸量最大為200噸。所以自變量x的取值范圍為：0≤x≤200。

兩者有著本質的區別，絕對不能混淆。

三、根據一次函數的取值范圍及一次函數的性質，確定一次函數的最值

本例一次函數：y=4x+10040

自變量取值范圍：0≤x≤200

對于初學者我們要根據一次函數作出其圖象以便學生更能直觀地掌握求最值的方法；（下面粗略給出圖象）

這個最值怎么求？這就是問題的關鍵，也是教學的重點。在教學過程中，教師可采取如下方法：（1）要求學生掌握一次函數的性質，從圖象看，y的值隨x取值的增大而增大；x取最大，那么y也取最大；x取最小，那么y也取最小；（2）引導學生從圖象分析出發，在x取值范圍內圖象的最低點所對應的值就是y的最小值，圖象的最高點則對應y的最大值。在本題中x的最小值為0，把x=0代入方程式y=4x+10040中即可求出y的最小值為10040；若要求y的最大值，則把x=200代入方程式y=4x+10040中，則y最大=10840。

一次函數最值的求法對初學者來說是比較抽象、復雜的。在教學中如果我們善于把復雜化為簡單、抽象轉化為直觀就可以達到教學目的。針對該問題，我們可用列表類比的方法作如下總結：

1.本文針對一次函數的初學者而設計，重點在于一次函數的建立、自變量的取值。（一次函數圖象可先作草圖，然后再作正圖）

2.本文的難點在于建立了一次函數后，要弄清自變量的取值范圍，如何通過自變量求最大、最小值。

作者簡介：蒙炳耀，男，1967年3月出生，大專，研究方向：中學七～九年級數學教學。

編輯 趙飛飛