從一道函數導數題淺談數學教學思考

一、問題的由來

筆者注意到2012年合肥市第二次質量檢測試題文科數學第21題是一道關于函數導數的題，解決時運用了函數圖象，但是該題函數圖象并不是每個考生都能畫出來的。

1.問題再現

設函數f（x）=（x2-2x+a+2）ex（x∈R）

（1）若a=-1，求f（x）在[0，2]上的最大值與最小值；

（2）過點（-1，0）作曲線y=f（x）的切線，如果有三條，求a的取值范圍。

2.問題解答

（1）略。

（2）∵f ′（x）=（x2+a）ex，設切點[x0，（x02-2x0+a+2）ex0]，

切線的斜率為：（x02+a）ex0，

由題意轉化為求y=x3+（a+2）x-2=0有三個零點。

∵0不是y=x3+（a+2）x-2=0的零點，由函數零點知識得：

又∵f（-1）=-3

草圖如右圖：

則a+2<-3

故a<-5

二、問題的分析

函數極限知識在現行的高中教材中沒有涉及，它是高等數學數學分析中的知識，函數在一點處的ε-δ定義為：設函數f（x）在點x0的某個空心鄰域U0（x0，δ′）內有定義，A是一個確定的數。若對任給的正數ε，總存在某個正數δ（<δ′），使得當0

則稱f（x）當x趨于x0時極限存在，且以A為極限，

我們知道，一般的，導數概念學習的起點是極限，即從數列？邛數列極限？邛函數極限導數。這種概念的建立方式具有嚴密的邏輯性和系統性，但是也產生了一些問題：就高中學生的認知水平而言，他們很難理解極限的形式化定義。由此產生的困難也影響了對導數本質的理解。因此，教科書沒有介紹任何形式的極限定義及相關知識，而是從變化率入手，用形象直觀的“逼近”方法定義導數。這樣一來，其一，避免學生認知水平和知識學習間的矛盾；其二，將更多的精力放于導數本質的理解上；其三，學生對逼近思想有了豐富的直觀基礎和一定的理解，有利于在大學的初級階段學習嚴格的極限定義。

三、問題的解決與思考

基于上述分析，因此，教師在組織教學的時候，不必追求理論上的嚴密性和過多的技巧，重點在于理解概念的內涵和基本方法。但是，這類問題還是要解決的，否則學生在解這類題的時候會不知所措。信息技術工具在導數及其應用的學習中有著很大的作用，發揮的空間很開闊。在平時的教學中，我們可以多借助信息技術工具作這類函數的圖象，讓學生體會和感受當x？邛x0時，函數值的變化趨勢，這樣，學生再遇到這樣的問題時，就會有一些感性的認識，也就能較為準確地作出函數的圖象，從而實現利用數形結合解決問題，不至于暈頭轉向了。

另外，如果有條件，我們可以在教學中適時地使用信息技術工具，充分發揮信息技術的優勢，幫助學生更好地理解概念。例如：利用信息技術的圖形功能，演示割線的動態變化趨勢，會對學生認識導數的幾何性質非常有幫助；將函數曲線某一點附近的圖象放大得到一近景圖，學生就會看到，圖象放得越大，這段曲線看起來就越像直線，這有助于學生理解和進一步體會以直代曲的思想方法；當n發生變化時，信息技術能有效地顯示出數值和圖形的變化，讓學生更好地體會求曲邊梯形的基本步驟：“分割、近似代替、求和、取極限”，從而感受以直代曲、逼近等思想。

參考文獻：

華東師范大學數學系.數學分析[M].高等教育出版社，1980.

作者簡介：匡大章，男，出生年月：1981年1月，本科，就職于安徽省六安市皖西中學，研究方向：中學數學教學。

侯放寬，男，出生年月：1983年3月，本科，就職于安徽省六安市皖西中學，研究方向：中學數學教。

編輯 趙飛飛