利用幾何畫板輔助圖形與幾何教學舉例

摘 要：新課程強調“學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動”，而“幾何畫板”輔助教學軟件正好能夠滿足這一點。通過例題展示了幾何畫板在教學實踐中的應用：利用幾何畫板設計數學情境；讓學生參與發現過程；動態準確地揭示幾何規律；形象直觀地反映事物之間的聯系；幾何畫板在概念教學中的應用；利用幾何畫板驗證定理結論。

關鍵詞：圖形與幾何；幾何畫板；數學學習

“圖形與幾何”的課程內容，以發展學生的空間觀念、幾何直觀、推理能力為核心展開，主要包括：空間和平面基本圖形的認識，圖形的性質、分類和度量；圖形的平移、旋轉、軸對稱，相似和投影；平面圖形基本性質的證明；物體和圖形的位置及運動的描述，用坐標描述圖形的位置和運動。

幾何畫板輔助教學軟件能準確地展現幾何圖形，揭示幾何規律，側重過程教學，動態地再現數學問題的發現與形成。借助于它，能最大限度地調動學生思維的積極性和創造性，能潛移默化地使學生掌握觀察問題、發現問題、解決問題的科學方法，是數學教師的得力助手。

下面結合圖形與幾何教學的實踐談談幾何畫板的應用。

一、利用幾何畫板設計數學情境

建構主義認為，學習應在與現實情境相類似的情境中進行。因為在實際情境下進行學習，可以使學習者利用自己原有的認知結構中的有關經驗，去同化和索引當前要學習的新知識，從而獲得對新知識的創造性理解。幾何畫板可以幫助我們營造一個良好的數學環境。

例1.兩條直線被第三條直線所截而成的角，即“三線八角”。

這個幾何問題可以利用幾何畫板設計一個簡單的課件，如圖1所示。

在這種背景下讓學生去感知，去同化，通過探索，很自然地將“三線八角”的概念融入腦海里。

二、讓學生參與發現過程

數學學習是學生在已有數學認知結構的基礎上的建構活動，目的是要建構數學知識及其過程的表征。這就要求我們在教學中，不能脫離學生的經驗體系，只重結果而偏廢過程，把結論機械地灌輸給學生。這樣獲取的知識是不牢靠的，應遵循讓學生觀察理解、探索研究、發現問題的規律，讓學生參與包括探索、發現在內的獲得知識的全過程。

例2.探索并證明三角形的內角和定理。

利用幾何畫板的度量功能和計算功能設計如圖5的課件，通過拖動三角形頂點改變三角形的形狀，即改變各角的度數，但發現三個內角的和保持180°不變，進而借助平行線的性質和平角定義證明三角形內角和定理（如圖6）。

這個探索過程中，會涉及銳角三角形、直角三角形及鈍角三角形，涵蓋了各種情形，有利于學生全面認識三角形內角和定理的普遍性，避免了通常課堂上讓學生畫出三角形，剪下來并度量各個內角時產生的誤差。

三、動態準確地揭示幾何規律

心理學認為，變動的事物、圖形容易引起人們的注意，從而在人腦里形成較深刻的印象。使用常規工具畫圖，具有一定的局限性。使用幾何畫板畫圖，可以動態地展示各對象之間的關系。

如二次函數的應用，是教材的重點也是難點，如何突破這一難點呢？通過實例利用幾何畫板制作圖形和圖象的動畫，就可以讓學生觀察圖象的變化過程，找出規律，發現定理。下面演示“蓋大樓”課件的例子。

例3.有一塊三角形的地ABC，AD是BC邊上的高，且BC=60米，AD=40米，要在這塊地上建一座矩形大樓，使它的一邊在BC上，問如何選取矩形的邊長才能使大樓的面積最大？最大面積是多少？

這個例子可以用二次函數的極值來求解，是一個典型的利用數形結合法來解決的問題。利用幾何畫板來討論這個問題，可以達到很好的教學效果。下面是針對這個例子用幾何畫板制作的課件中的幾幅畫面，如圖7和圖8所示。在課件中，我們通過動畫按鈕或拖動點E，就可以得到數形結合的動態變化效果，較好地揭示了問題的內在規律。

四、形象直觀地反映事物之間的聯系

學生在觀察、比較中，進行了建構，獲取了知識。幾何畫板還能形象直觀地反映事物之間的關系，便于學生用聯系的、整體的觀念把握問題。人們通過研究發現學生對數學概念進行心理表征時，常常要借助于直觀形象，而數學的一大特點是抽象性。但抽象不便于理解，這時借助于幾何畫板可形象生動地進行直觀教學。例如，什么叫軌跡，這個概念相當抽象，學生掌握這一概念非常困難，而制作一個軌跡動畫就很能“說”得清楚，使學生一目了然。

例4.如圖9，P為圓上任意一點，則線段OP中點M的軌跡是什么？

操作過程：在圓周上構造一點P，連接線段OP，構造線段OP中點M，選定點P生成動畫，同時追蹤點M的軌跡，如圖9所示，點M的軌跡為一個圓。

五、幾何畫板在概念教學中的應用

在傳統的條件下，概念在數學教學中顯得極為困難，學生對概念的理解總是似是而非，現在利用幾何畫板就可以使學生從直觀上來理解某些概念的內涵。

例5.圓柱、圓錐、圓臺的定義。

如圖10所示，分別單擊圓柱、圓錐、圓臺按鈕，可演示出矩形、三角形、梯形分別繞垂直于底邊的一邊旋轉而形成圓柱、圓錐圓臺的動態變化過程。如圖10下面圖形所示，是變化過程中的一個畫面。利用這樣的課件進行教學，使我們的立體幾何教學突破傳統教學手段的束縛，化“靜”為“動”，化“難”為“易”。

六、利用幾何畫板驗證定理結論

幾何畫板具有強大的度量和計算功能，可以用來驗證很多幾何定理的結論。

例6.驗證勾股定理

勾股定理作為直角三角形的一個性質，更能體現幾何圖形與數量關系之間的密切結合。

如圖11所示，拖動點A、B、C，可改變直角三角形的形狀和大小，從而驗證各種情況下的勾股定理。

CDEA的面積=5.69厘米2

AFGB的面積=6.06厘米2

BHIC的面積=11.74厘米2

CDEA的面積+AFGB的面積=11.74厘米2

幾何畫板的功能還有很多，例如，它還能實現物理學科的動態演示，如力學、運動學、光學、電磁學等等，這里不再一一贅述。

運用“幾何畫板”輔助數學教學，符合當今數學發展的趨勢和新課程改革的需要，為老師教的方式和方法提供了一個新的視角，為學生發現中學數學的重要概念和結論的本質和找尋數學的普遍聯系提供了資源和方法，同時也為新課標倡導的“綜合與實踐”等課題學習提供了素材。

參考文獻：

繆亮，朱俊杰，李捷.幾何畫板輔助數學教學[M].北京：清華大學出版社，2004-08.

編輯 趙飛飛