綜合法教學研究

摘 要：在綜合法的教學過程當中，首先結合數學實例，了解直接證明的兩種基本證明方法之一：綜合法，然后通過數學實例，了解綜合法的思考過程、特點，最后讓學生體會數學證明的特點，感受邏輯證明在數學以及日常生活中的作用，養成言之有理、論證有據的習慣。

關鍵詞：已知條件；定義；定理；公理；推理論證；由因導果

引例：已知a，b>0，求證a（b2+c2）+b（c2+a2）≥4abc

證明：因為b2+c2≥2bc，a>0，所以a（b2+c2）≥2abc

又因為（c2+a2）≥2ac，b>0所以b（c2+a2）≥2abc

因此a（b2+c2）+b（c2+a2）≥4abc

設計意圖：通過這個例題給出綜合法的定義、總結綜合法的論證過程以及綜合法的思維特點。

題型一：利用綜合法證明不等式

（寫出證明過程并指出本題中涉及的數學定義、定理、公理）

題型二：利用綜合法證明立體幾何問題

例2.△ABC在平面α外，AB∩α=P，BC∩α=Q，AC∩α=R求證：P，Q，R三點共線公理證明。

分析：本例的條件表明，P，Q，R三點既在平面α內，又在平面ABC內，所以可以利用兩個相交平面的公理證明。

證明：因為AB∩α=P，BC∩α=Q，AC∩α=R，

所以P，Q，R∈α，

P∈AB，Q∈BC，R∈AC，

所以P，Q，R∈平面ABC，

因此P，Q，R是平面ABC與平面α的公共點，

因為兩平面相交有且只有一條交線，所以P，Q，R三點在平面ABC與平面的交線上，P，Q，R三點共線。

練習2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分別是棱BC，CC1上的點，且AD⊥DE，F為B1C1的中點.求證：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）直線A1F//平面ADE。

注意：在應用綜合法時，應對問題先進行仔細認真地分析、討論，找到因果關系，明確、簡潔、正確、規范的表達方法，注意避免出現因果關系不清、邏輯表達混亂的情況。

練習3.在△ABC中，三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數列，a，b，c成等比數列，求證：△ABC為等邊三角形。

注意：在證明數學問題時，經常需要把已知條件進行語言轉換，如把文字語言轉換成符號語言，或把符號語言轉換成文字語言等，還要把命題中的隱含條件顯性化。

題型四：利用綜合法證明數列有關問題

通過以上簡單明了的例題向學生展示利用綜合法證明數學問題的基本思想及基本步驟，讓學生從證明題中真正體會綜合法的內涵，并能熟練應用綜合法進行數學問題的證明。

備選練習：

這樣我們把一個填空題變成了證明題，而我們會發現填空題的解題過程與證明題的證明過程其實是一致的。

2.如果公差不為零的等差數列中第二、第三、第六項構成等比數列，那么這個等比數列的公比等于（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

我們也可將本題改寫成證明題如下：

如果公差不為零的等差數列中第二、第三、第六項構成等比數列，證明：這個等比數列的公比等于3，這樣我們把一個選擇題變成了證明題，結果我們也會發現選擇題的解題過程與證明題的證明過程其實也是一致的。這兩個題的設置是讓學生體會到綜合法的思維方式與推證過程不僅可以用它證明問題，還可以解決很多其他類型的問題。

編輯 溫雪蓮