求解應(yīng)用題的函數(shù)方程思想及幾種常見的解題技巧

【摘要】本文以應(yīng)用選擇題為例，闡述了從題干中提取有用信息的函數(shù)方程思想及幾種常見的微觀解題技巧。解題技巧分別為：直接代入法、數(shù)字特征法和差異分析法。

【關(guān)鍵詞】函數(shù)方程思想直接代入法數(shù)字特征法差異分析法

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2014）05-0144-02

如何將理解和技巧有效地結(jié)合起來，加快解題速度，一直是數(shù)學(xué)教學(xué)的難題。針對應(yīng)用選擇題的求解，本文將常用的函數(shù)方程思想和幾種解題技巧聯(lián)合起來，教同學(xué)們怎么去理解題意，怎么去發(fā)現(xiàn)題干中隱藏的解題技巧。

函數(shù)方程思想是指利用題干中提供的變量之間的對應(yīng)關(guān)系，把已知量與未知量之間的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化成方程或方程組等數(shù)學(xué)模型。解題技巧就是解題時(shí)的切入點(diǎn)，主要有兩個(gè)方面：一個(gè)是針對具體題型的套路化解題思路；另一個(gè)是針對各類問題的通用處理技巧。所謂技巧，不是捷徑，而是熟能生巧，必須在理解的基礎(chǔ)上才能熟練掌握。本文將介紹三種解題技巧：直接代入法、數(shù)字特征法和差異分析法。下面，通過幾個(gè)例子來闡述上述觀點(diǎn)。

一、直接代入法

直接代入法就是將題目的選項(xiàng)直接代入題干進(jìn)行判斷的方法。以下舉例說明

【例1】一個(gè)三位數(shù)的各位數(shù)字之和是16。其中十位數(shù)比個(gè)位數(shù)小3。如果把這個(gè)三位數(shù)的百位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字對調(diào)，得到一個(gè)新的三位數(shù)，則新的三位數(shù)比原來三位數(shù)大495，則原來的三位數(shù)是（ ）。

A. 268B. 358C. 462D. 636

解：利用函數(shù)方程思想求解，從題干中提取有用信息。

a.首先設(shè)這個(gè)三位數(shù)為xyz；b.第一句話可知：x+y+z=16；c.第二句話可知：z-y=3；d.第三句話可知：zyx-xyz=495，因?yàn)閮蓚€(gè)數(shù)的中間數(shù)字相同，相減后得到數(shù)的中間數(shù)字為9；可得到x＜z并且z=x+4+1=x+5。通過聯(lián)立b、c和d中關(guān)于x、y、z的方程，可解得x=3;y=5;z=8。直接代入法驗(yàn)證，將四個(gè)選項(xiàng)直接代入題干，只有B選項(xiàng)符合題意。

二、數(shù)字特征法

數(shù)字特征法，指不通過具體計(jì)算，而只是考慮結(jié)果所應(yīng)滿足的數(shù)字特征得出答案的方法。此方法的快速應(yīng)用要求學(xué)生掌握兩點(diǎn)：第一，能迅速從題干中得到答案所符合的數(shù)字特征；第二，熟悉基本的數(shù)字規(guī)律，包括奇偶性規(guī)律與整除規(guī)律。以下通過兩個(gè)例子來說明：

【例2】甲、乙、丙三人共處理文件48份，已知丙比甲多處理8份，乙比甲多處理4份，則甲、乙、丙處理文件效率的比值為（ ）。

A. 2:5:4B. 3:5:4C. 4:2:5D. 3:4:5

解：利用函數(shù)方程思想求解，從題干中提取有用信息。

a.設(shè)甲、乙、丙分別處理了x、y、z份文件；b.由題干可得出三個(gè)信息：x+y+z=48，z-x=8，y-x=4。通過b中的三個(gè)方程，可解得x=12;y=16;z=20。數(shù)字特征法驗(yàn)證，由題意可知，丙處理最多，甲處理最少，符合這個(gè)關(guān)系的只有選項(xiàng)D。

【例3】一個(gè)邊長為80厘米的正方形，依次連接四邊中點(diǎn)得到第二個(gè)正方形，這樣繼續(xù)下去可得到第三、第四、第五、第六個(gè)正方形，問第六個(gè)正方形的面積是（ ）平方厘米。

A.128B. 182C. 200D. 242

解：利用函數(shù)方程思想求解，從題干中提取有用信息。

a.第一個(gè)正方形的面積為：802；b.第二個(gè)正方形的面積為：(■×80)2=■×(80)2；c.依次類推：第n個(gè)正方形的面積為(■)n-1×(80)2。由c可得，第六個(gè)正方形的面積為200平方厘米。數(shù)字特征法驗(yàn)證，第一個(gè)正方形邊長為80，其面積值中含因子5，而后每次面積變?yōu)樵瓉淼囊话耄虼硕笳叫蔚拿娣e均含有因子5，四個(gè)選項(xiàng)中僅C選項(xiàng)能被5整除。

三、差異分析法

差異分析法，指面對出現(xiàn)兩種以上的情況時(shí)，通過分析不同情形之間的差異來獲得答案。其本質(zhì)就是去除相同部分的干擾，使需要分析的對象變得更加簡潔明了。以下通過兩個(gè)例子來說明：【例4】一件工作甲先做6小時(shí)，乙接著做12小時(shí)可以完成。甲先做8小時(shí)，乙接著做6小時(shí)也可以完成。如果甲先做3小時(shí)后，再由乙接著做，還需要（ ）小時(shí)完成。

A.16B. 18C. 21D.24

解：利用函數(shù)方程思想求解，從題干中提取有用信息。

a.假設(shè)工作總量為M，甲每小時(shí)效率為x，乙每小時(shí)效率為y；b.第一句話可知：6x+12y=M；c.第二句話可知：8x+6y=M；d.第三句話可知：3x+?y=M。通過b、c、d可解得x=M/10；y=M/30。將解得的x、y代入d中，得到乙所需時(shí)間為21小時(shí)。差異分析法驗(yàn)證，由題意可知，甲多做2小時(shí)，乙少做6小時(shí)，甲與乙時(shí)間效率比為1:3，甲單做3小時(shí)后，乙接著做，所需時(shí)間為3×3+12=21（小時(shí)）。

【例5】有兩種瓶，第一種能裝水5千克，第二種能裝1千克，現(xiàn)有100千克水，共用了52瓶。問這兩種瓶子相差（ ）個(gè)。

A. 26B. 28C. 30D. 32

解：利用函數(shù)方程思想求解，從題干中提取有用信息。

a.假設(shè)第一種瓶為x個(gè)，第二種瓶為y個(gè)；b.由題意可知：5x+y=100；x+y=52由b可解得x=12;y=40。差異分析法驗(yàn)證，先假設(shè)52個(gè)瓶子都是第二種瓶，則可裝水52千克，而實(shí)際裝水100千克，兩者相差48千克。這個(gè)差值是因?yàn)榈谝环N瓶要再多裝4千克，因此共需第一種瓶12個(gè)，第二種瓶40個(gè)，兩者相差28個(gè)。

四、結(jié)語

很多同學(xué)反映，考試的時(shí)候題都會(huì)做，但就是時(shí)間不夠。一方面，說明學(xué)生掌握了知識(shí)點(diǎn)，理解了題意；另一方面，則說明解題速度偏慢，技巧掌握不夠。

如上述例題，用函數(shù)方程思想均可解。但由于時(shí)間問題，考試時(shí)不可取。在考場上，首先應(yīng)使用直接代入法，其次再尋找適合題目特征的解題方法，最后才是運(yùn)用函數(shù)方程思想進(jìn)行求解。同時(shí)，應(yīng)用題的題型是多種多樣的，上述幾種方法是不夠的，同學(xué)們平時(shí)應(yīng)多練習(xí)、多積累。這樣同學(xué)們才能在考場上面對考題游刃有余。

參考文獻(xiàn)：

[1]黃家超.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何滲透數(shù)學(xué)思想方法[J].教育教學(xué)論壇，2001(30).

[2]黃明信.淺談如何把握數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究， 2010(08).

[3]陳曉輝.初中數(shù)學(xué)教學(xué)的幾點(diǎn)實(shí)踐與探索[J].當(dāng)代教育論壇(教學(xué)研究)，2010(09).