巧用“布白”和“變式”優化數學課堂教學

【摘要】本文結合一堂教學示范課《圓和圓的位置關系》，分析怎樣巧用“布白”和“變式”來優化初中數學課堂教學，真正體現課堂教學效果的實效性，為學生提供更多的主動參與學習的時間、空間，促進學生學習知識的內化機會，提高學生的思維能力。

【關鍵詞】課堂教學布白變式

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）05-0134-02

在當前的中小學數學教學中，不少老師抱怨自己教得很辛苦，學生學得很痛苦，可是學生的學習能力卻沒有得到應有的發展。筆者認為：人本缺失的課堂是低層次的課堂，結構失衡的課堂是低效率的課堂，教師只有精心設計課堂教學過程，將多種教學方法優化組合、靈活地運用于一節課中，才能讓學生真正參與教學活動，收到良好的課堂效果。筆者在多年的初中數學教學中，常用“布白”和“變式”來優化初中數學課堂教學，正是這樣的科學教學方法，給學生提供了更多的獨立思考問題和自我發展的機會，收到很好的教學效果。下面就以人教版九年級上冊《圓和圓的位置關系》一課為例，與同行們一起探討。

一、布白

“空白”藝術是“接受美學”理論體系中關于文學藝術作品審美欣賞的一個概念。畫家畫畫總要留點空白，“空平難圖，實景淡而空景觀”，一幅畫涂繪滿紙，未必盡善盡美，如果適當留下空白反而會收到“恰是未曾著墨處，煙波浩渺滿目前”的藝術效果。音樂家演奏更注重無聲勝有聲，時而“咆哮”，時而“萬馬齊喑”，目的是讓聽眾于無聲處想音樂。教師講授知識也應如此，在細針密線鞭辟入理的同時，給學生留有一點回味思考的余地，這就是課堂教學中巧置空白，即“布白”。“布白”是一種以逸待勞的教學藝術，在課堂教學中會產生“無聲勝有聲”的效應，因此應注意優化課堂教學結構的同時巧置空白，即“布白”藝術。

在數學課堂教學中該如何“布白”呢？數學課堂教學的空白點，主要體現在兩個方面：時間和內容。時間上的“空白點”是指課堂上教師要留給學生思考研究的時間，內容上的“空白點”是指教師在引導學生研究知識后，還留下一些伏筆或提供一些懸念，讓學生去想象。我在教學《圓和圓的位置關系》一課中從以下三方面進行“布白”的。

（1）課前導入時的“布白”。課間十分鐘，既是讓學生大腦積極休息，又使學生受到不同干擾，鈴聲響了，很多學生還沒進入上課狀態，因此在鈴聲響后，教師留出短暫的空白，播放課件，像欣賞幾幅反映“圓和圓的位置關系”的一些生活圖片，如：輪滑鞋，傳送帶，齒輪，奧運五環，自行車內的滾珠等，吸引學生的注意力，使他們回到上課狀態。這樣既開門見山地揭示課題，調動了學生的思維積極性，又激發了學生的學習興趣。

（2）課堂講授中的“布白”。在課堂講授中，為了體現教學的節奏，也為了使課堂教學張馳有道，波瀾起伏，教師要留出一定的“空白”，讓學生積極思考。如在引出圓和圓五種位置關系前，可先創設如下情境：1、用課件演示籃球投框可能出現的幾種“中或不中”現象；2、動畫演示“日環食”過程的天文現象。此時停下來，不急給出結論，而是留下“空白”，讓他們去想象、回味、思考、動手操作探究，然后討論，可以收到良好的課堂教學效果。很多同學都親手自制一大一小的圓，動手演示“日食”現象；還有的同學兩兩配合，一人用雙手圍成圓當作籃球框，另一人用自帶的乒乓球作投籃實驗。大家情緒高漲，此時師生雙方的積極性達到最佳配合狀態。都說“智慧出于指尖，思維源于動作”，有效的數學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶，為此，采用“布白”藝術，讓學生有機會去探究、有時間去親歷知識的獲取過程，學生的思維活動有了一個積級的開端和持續的勢頭，從而體驗到學數學的快樂和幸福。

（3）新課結束前的“布白”。在新課教學結束時，教師若馬上布置作業，似乎總是缺少一種余蘊，收不到“課雖盡而意無窮”的教學效果，因此，教師可適當地留下與下節課相銜接的問題或留下一個或幾個能使所學知識作進一步拓展延伸的懸念，讓學生帶著強烈的求知欲結束新課的學習。如在《直線和圓位置關系》一課教學結束前，我提出一個問題“若把‘直線’改成‘圓’，那在運動過程中，又會有怎樣的情形出現呢？”為下一節的《圓和圓的位置關系》的教學埋下伏筆。再如在《圓和圓的位置關系》一課結束前5分鐘我布置一道拓廣探索題：已知⊙O1、⊙O2它們是相離的，作一個圓，使它與這兩個圓都外切，能作多少個這樣的圓呢？與同學交流一下。若使這個圓與一個圓內切，與另一個圓外切，又能作多少個圓呢？此時小組開始討論起來了，下課鈴響了，他們還意猶未盡，這在很大程度調動了學生學習的積極性與主動性，增強了學生的學習興趣。

二、變式

有句口頭禪：只相信學生的筆頭，不相信學生的口頭。不少教師都有這樣的經歷；一道題目剛在課堂上講述不久，甚至還在講評中特別給予強調，可是試卷中出現同樣或類似的稍有“變臉”的問題，許多學生卻無從入手，不會作答，教師也常常為此報怨，搖頭嘆息。其實，這都是符合記憶規律曲線的現象，很正常的。我近來參加了《變式教學在數學課堂中應用研究》（福州市科學研究“十五”規劃課題）的課題研究，在對課題研究過程中，我感受頗深，認為要改變這種現狀，應用數學 “變式教學”是十分有效的手段。變式教學法，它的核心是利用構造一系列變式的方法，來展示知識發生發展的過程、知識結構演變的過程、解決問題的邏輯思維過程，以及創設暴露思維障礙的情境過程，從而形成一種思維訓練的有效模式。它的主要作用在于集中學生的注意力，培養學生在相同條件下遷移、發散知識的能力并激發學生的學習熱情，達到舉一反三，觸類旁通的效果，使不同的學生得到了不同的發展，進而提高教學質量。變式有多種形式，如形式變式，方法變式、內容變式等，下面就《圓和圓的位置關系》一課中如何實施“變式”談一些本人的做法和體會。

（1）類比變式，展示知識的發生過程，促進知識遷移。現代心理學家研究表明：學習的過程其實就是新舊知識同化的過程。因此教學的有效性依賴于新內容生長點的找尋與把握。而類比變式是精心設計鋪墊性的變式，讓學生找準生長點，用已有的知識結構同化新知識，實現知識的遷移，使原有的知識結構得以補充、改造和逐步完善，提高學生思維的創造性，實現知識的飛躍。如在《圓和圓的位置關系》教學中，我設計了如下變式：

①利用幾何畫板演示點和圓的位置關系，并得出其數量特征。

②利用幾何畫板把“點”變成“直線”，演示直線和圓的位置關系，并得出其公共點特征和數量特征。

③給出問題:若把“點”、”直線”變成“圓”，又是怎樣的情形呢？再用幾何畫板演示動圓向定圓運動變化過程，類比得出其公共點特征和數量特征。

設計意圖：通過由此及彼類比的推理過程，可以幫助學生貫通知識間的聯系，使知識脈絡縱橫交融，形成系統的知識網絡，避免了本質屬性相近的數學知識孤立存在于學生的頭腦中，使學生所學知識條理化，系統化。更重要的是通過對數學知識的探索，讓學生掌握獲得知識和運用知識的方法，并且理解這個過程中的數學思想。

（2）背景變式，溝通知識的內在聯系，促進知識網絡的形成。在解題教學的思維訓練中，精心設計一些有坡度、有聯系的題組，通過改變其問題背景進行變式訓練是一種很有效的方法。它既溝通了知識間的聯系，又通過解題后的反思，歸納出同一類問題的解題思維，擴展了學生原有的認知結構，形成知識網絡，還培養學生思維的靈活性和嚴密性。

例如：已知兩圓的半徑分別為2、3，圓心距為5，則這兩圓的位置關系是____。

變式1：若兩圓半徑分別為2、3，兩圓內切，則圓的圓心距d值為____。

變式2：若兩圓相切，且圓心距d=5，一個圓半徑為2，則另一個圓半徑為____。

變式3：已知兩圓半徑分別為2和3，圓心距為d，若兩圓沒有公共點，則下列結論正確的是（ ）

A．05C. 05D. 0≤d<1或d>5

變式4：若定圓O與動圓P相外切，定圓O的半徑為3，動圓P的半徑為2，那么點P與點O的距離是多少？點P可以在什么樣的線上移動？若定圓O與動圓P相內切，情況又怎樣呢？

變式1是在原問題的基礎上訓練學生的逆向思維能力；變式2必須進行分類討論；變式3不但要分類討論，還要考慮“內含”中的特例“同心圓”；而變式4必須用運動的觀點去發現動圓的圓心P原來是在一個圓周上運動。通過這一系列問題的層層變式，使學生對“圓和圓的位置關系”的認識和理解更深一步，培養了學生思維的靈活性和嚴密性。

（3）遞增變式，提高學生學習積極性，培養參與意識。遞增變式是從一個基本問題出發，設計階梯式的問題，同中求異引導學生的思維縱深拓展的變式方法，這種方法使學生學起來不覺得乏味而有新鮮感，又讓他們懂得怎樣從事物的千變萬化的復雜現象中去抓住本質，觸類旁通，從而培養思維的深刻性和靈活性，開闊學生的解題思路，提升解題能力。

例如：已知⊙O1、⊙O2半徑為1 cm和2 cm，若O1O2=1 cm，則兩圓位置關系為____。若⊙O1、⊙O2重合，則兩圓位置關系為____。

變式1：已知兩圓半徑R、r，分別為方程x2-3x+2=0的兩根，這兩圓的圓心距d為3，則這兩圓位置關系為____。

變式2：已知兩圓半徑分別為R、r（R>r），圓心距為d且d2+R■r2=2dR，則兩圓的位置關系如何？

變式3：已知在直角坐標系中，⊙A圓心坐標為(1，～ 2)，半徑為1，⊙A向上平移的距離d滿足什么條件時，⊙A與它關于x軸對稱的圖形相切。

變式1中的兩半徑要通過解一元二次方程得到；變式2要通過把式子的轉化為(d-R)2=r2后分類討論﹙d>R和d

總之，在課堂教學中進行“布白”和“變式”，能為學生提供更多的主動參與學習的時間和空間，促進學生學習的內化機會，確保學生參與教學活動熱情的持續性，培養了學生思維的深刻性、靈活性、嚴密性和創造性，優化了整個數學課堂教學，是值得提倡的兩種教學方法。

參考文獻：

[1]《素質教育課堂優化策略》閆承利

[2]《變式教學研究》鮑建生，黃榮金，顧泠沅《數學教學》2003年第3期