高等數學教學過程中融入數學實例的教學實踐

【摘要】文章嘗試運用高等數學中的基礎理論討論幾個生物醫學數學實例，激發學生用所學數學知識去解決實際問題的興趣，以此提高教學效果，培養學生的創新精神和創新能力、提高學生的科研素質。

【關鍵詞】高等數學數學模型數學實例

【基金項目】2011年廣州醫科大學教育科學規劃課題，項目編號L129008；中華醫學會2012年度醫學教育研究課題，項目編號2012-KY-20。

【中圖分類號】G424【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）05-0148-02

針對醫學院校設置的專業情況，改進和更新數學課程的教學內容，充分利用課內、課外時間介紹數學模型以及數學建模的思想和方法，將數學建模的知識穿插到相應章節中，選擇合適的數學實例提出問題，引導學生以小組協作的方式分析問題和解決問題，培養學生的學習興趣，打消學生“學習高等數學不能解決實際問題”的想法，將數學與生物醫學能有機地結合起來，激發學生用所學數學知識去解決實際問題的興趣，以適應現代生物醫學飛速發展的需要，從而進一步培養學生的創新精神和創新能力、提高學生的科研素質，促進團結協作精神。本文嘗試運用高等數學中的基礎理論討論幾個生物醫學數學實例，以此提高學生學習高等數學的興趣和教學效果。在授課時可結合課時的多少，精選相關的模型進行介紹。

1. Logistic人口增長模型[1]

多數數學建模問題中都離不開微分方程，如簡諧振動問題、種群增長問題、鐵軌彎道處緩和曲線等。1838年，荷蘭生物數學家Verhulst給出Logistic模型，也叫阻滯增長模型，它在許多領域中有著廣泛的應用，如樹木生長規律、人口增長規律、新商品的銷售規律等，都可以用該方程來描述。logistic用途極為廣泛，logistic已經成了流行病學和醫學中最常用的分析方法，主要常用的情形是探索某疾病的危險因素，依此預測某疾病發生的概率。在講授微分方程的內容給學生后，可以介紹人口增長模型。

Logistic人口增長模型是考慮到自然資源、環境條件等因素對人口增長的阻滯作用，對指數增長模型（malthus模型）的基本假設進行修改后得到的。阻滯作用體現在人口增長率r隨著人口數量x的增加而下降。若將r表示為x的函數，則它應是減函數。于是有：

■=r(x)x，x(0)=x0 (1)

對r(x)的一個最簡單的假定是，設r(x)為x的線性函數，即:

r(x)=r-sx(r>0，s>0) (2)

設自然資源和環境條件所能容納的最大人口數量為xm，當xm=x時人口不再增長，即增長率r(xm)=0，代入（2）式得s=■，于是（2）式為

r(x)=r(1-■) (3)

將（3）代入方程（1）得：

■=rx(1-■)(4)

x(0)=x0

上述方程為可分離變量方程，解方程（4）可得：

x(t)=■(5)

介紹模型后，再結合我國的歷史人口數據或世界歷史人口數據并運用MATLAB軟件進行實踐（對歷史數據進行檢驗和對未來人口進行預測），可加深學生對數學知識的應用的印象，讓學生體會到數學知識的實用性。例如，據生物學家估計r=0.029，我們根據1961年世界人口總數為30.60億及1990年的世界人口為52.77億，可以算得xm=117.12億。然后用MATLAB畫圖對上述模型進行檢驗，可以看出，(5)式能較好地描述世界人口總數隨時間變化的規律，由此可以預測2020年世界人口總數為77.52億。[2]

隨著社會的進步和科學技術的發展，如果人類可以改善生存環境，自然資源和環境條件所能容納的最大人口數量就會發生變化，上述模型也會變得不能夠正確地反映世界人口的變化規律，事實上，反映實際問題的數學模型大部分是很復雜的，不容易甚至不可能得到精確解，而從實際應用的角度出發，在數學建模過程中則要對實際問題進行合理的簡化，分清主次。

根據醫學院校開設的不同專業，在微分方程這里可選擇不同的數學模型進行介紹，例如臨床醫學專業可2介紹細菌的繁殖、傳染病模型、藥物動力學模型、腫瘤生長模型、種群增長問題等，生物醫學工程專業可介紹簡諧振動問題、降落傘的運動規律，通過一些精選的數學建模問題進一步闡明數學的實用性。

2.染料稀釋法確定心輸出量

考慮到醫學院校大部分專業開設的高數課程學時較少，對數學模型的介紹也可選擇一些較簡短的例子，只要能起到促進學生主動學習的作用以及提高學習興趣即可。例如在介紹了定積分內容后，可介紹染料稀釋法確定心輸出量的方法原理[3]。

心輸出量是指每分鐘心臟泵出的血量，在生理學實驗中常用染料稀釋法來測定。把一定量的染料注入靜脈，染料將隨血液循環通過心臟到達肺部，再返回心臟而進入動脈系統。

假定在時刻t=0時注入 5mg的染料，自染料注入后便開始在外周動脈中連續 30 秒監測血液中染料的濃度，它是時間的函數c(t)： c(t)= 0當0≤t≤3或18

(t3-40t+453t-1026)10-2當3

問題：注入染料的量與在30秒之內測到的平均濃度 ■(t)的比值是半分鐘里心臟泵出的血量，因此，每分鐘的心輸出量Q是這一比值的2倍，即Q=■，試求這一實驗中的心輸出量Q。

■(t)=■■c(t)dt

=■■(t3-40t2+453t-1026)10-2dt

=■(■-■+■-1026t)■■

=■[3402-(-1379.25）]

=1.59375

從而得到每分鐘的心輸出量Q=■=■≈6.275（L/min)。

染料稀釋法確定心輸出量可用于討論慢性阻塞性肺部疾病心功能等醫學方面的研究。如果課時充裕，在定積分這里還可介紹脈管穩定流動時的血流量的測定、胰島素平均濃度的測定等。

3.感冒藥效的概率

概率論與統計方法是臨床醫學實踐與研究的重要工具，廣泛應用于醫學統計、衛生統計、流行病學等方面。離散型隨機變量分布中的泊松分布在生物醫學中用于描述和分析隨機地發生在單位時間或空間里的稀有事件的概率分布。例如討論野外單位空間中的某種昆蟲數，放射性物質在單位時間內的放射次數，生多胞胎的例數，單位時間來到醫院看病的人數等。介紹了泊松分布的理論知識后，可向學生介紹泊松分布的實際應用的例子，以加深對知識點的理解，同時也提高學生應用數學討論實際問題的能力。如感冒藥效的概率：

假設一個人在一年里的感冒次數近似服從參數為5的泊松分布。一種抗感冒的新藥新近上市，若持續服用，■的服用者每年的感冒次數降為參數為3的泊松分布，■的服用者沒有作用。有一個人在一年里持續服用此藥，共感冒了兩次。問題：求該藥對此人有效的概率。[3]

記?孜為一年里此人的感冒次數，用A表示事件{該藥對此人有效，即?姿=3}，用B表示事件{?孜≤2}，那么A的對立事件■表示{該藥對此人無效，即?姿=5}，則

P（A）=0.75，P（■）=0.25

P(B｜A）=■■e-λ=(1+3+■）e-3=0.423190 P(B｜■）=■■e-λ=(1+5+■)e-5=0.124652 從而 P(B)=P（A） P(B｜A）+P(■） P(B｜■） ＝0.75×0.423190＋0.25×0.124652 =0.348555因此該藥對此人有效的概率為 P(A｜B）=■=■=0.910595 利用這個例子既說明了泊松分布在醫學上的應用，又對全概率公式和條件概率公式做了復習。 最后，在教學實踐中，教師可以了解一些相關專業知識，根據數學理論知識的內容特點及學生所學專業，選擇學生所熟悉或將來要從事的相關專業案例或貼近日常生活有趣味性的數學案例與模型，在教學過程中滲透使用數學和應用數學的思想，引導學生用數學方法解決實際問題，讓學生明白并非是簡單的學習數學概念，更是為以后的工作、學習、科研服務。參考文獻：[1]楊啟帆.數學建模[M].第1版.北京:高等教育出版社，2005.[2]李長青，吳偉志，張野芳.在高等數學教學中引入數學建模思想的探索與實踐. 浙江海洋學院學報(自然科學版)， 2011，30（3）:269-274.[3]張選群.醫用高等數學[M]. 第5版.北京：人民衛生出版社，2011.作者簡介：魏悅姿（1978-），女，廣東揭陽人，廣州醫科大學生物醫學工程系副教授、碩士，研究方向：應用數學，數學教育學院。