數學類專業研究性教學模式探索與實踐

[摘 要]研究性教學是以培養學生的創新精神和實踐能力為核心的素質教育。在綜述研究性教學的基礎上，以基于課堂的和基于數學實驗的研究性教學為例探討數學類專業研究性教學模式，指出研究性教學模式是多元的，應根據課程內容而定。這將為數學類專業教育教學改革提供參考。

[關鍵詞]數學模型 數學實驗 研究性教學

[中圖分類號] G642 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2014）17-0123-03

一、引言

為了促進教育事業科學發展，全面提高國民素質，2010年7月29日，中共中央、國務院聯合發布了《國家中長期教育改革和發展規劃綱要（2010-2020）》，提出了“全面提高高等教育質量”的戰略目標，指出“高等教育承擔著培養高級專門人才、發展科學技術文化、促進社會主義現代化建設的重大任務”。特別是明確了“提高質量是高等教育發展的核心任務，是建設高等教育強國的基本要求”，要求高等院校要“著力培養信念執著、品德優良、知識豐富、本領過硬的高素質專門人才和拔尖創新人才”。[1]

溫州大學地處浙江省東南部、甌江下游南岸，根據國家及浙江省中長期改革和發展規劃精神，溫州大學制定了校“十二五”發展規劃，確定了“學校由教學型大學向教學研究型大學轉型”的發展目標，并提出了“特色本科戰略是學校教育發展的重要戰略”，特別指出“圍繞特色專業建設與個性化人才培養，以培養學生社會責任感、學習能力、實踐能力、創新能力、創業能力等為目標，根據不同的專業定位與學科背景，構建分類、分層次的人才培養模式，形成行之有效的特色人才培養環境與培養機制”。[2]

溫州大學數學與信息科學學院承擔著為浙南地區乃至浙江省培養數學師資及應用數學人才的使命，學院的“數學與應用數學”專業是浙江省重點專業，“應用數學”是浙江省十二五重點學科，“數學”學科是校十二五重點建設專業。面臨新機遇、新挑戰，數學類專業如何培養“本領過硬的高素質專門人才和拔尖創新人才”？

本文將以溫州大學精品資源共享課《數學模型與實驗》為例，探討數學類專業研究性教學（Research-oriented Teaching / Learning）模式，以期為數學類專業教育教學改革提供參考。

二、研究性教學

人才培養是高等教育的重要功能，質量保證是高等教育的永恒主題。數學教育本質上是一種素質教育，大學數學教育的質量直接關系到一個國家大學人才培養的素質和能力。[3]實踐證明，研究性教學是一種培養高素質、厚基礎、強能力和創新型的高質量人才的有效教學模式。[4]

教學過程可以簡單地分為“系統學習”與“問題解決學習”兩種方式。研究性學習是一種“問題解決學習”。所謂“研究性學習”就是通過問題解決的方法發展問題解決能力的一種學習形態。[5] [6] [7] [8] [9] [10]“研究性學習”也稱“探究性學習”。對學生而言，這種學習方式稱為“研究性學習”，而對于教師而言，這種支持學生開展“研究性學習”的教學方式即為“研究性教學”。[8]

事實上，“教學”是通過教與學，向學生傳授知識，提高能力，培養素質；“研究”是運用已有知識，發展新思想、提出新理論。把這兩者結合起來，用研究的觀點、方法和過程，改造傳統的教學，從而形成“研究性教學”。[6]

研究性教學的實質與靈魂是知識的自主建構，教學的目標不再是教師知識獨白地傳遞信息過程，而是創造情境讓學生以自己的理解方式去解釋信息，師生共同參與知識創造性的過程。[5]

研究性教學強調知識的創造，從學生角度要求“知其所以然”，從教師角度要求“授之以漁”。[9]研究性教學的重點在于培養學生的問題意識、科學探索精神和創造性，重視學生的知識建構過程，強調學生在教學活動中的參與性、互動性，注重學生創新能力的提高。[8]這種教學方式表現為學生課后自學大量與課題相關的材料，課堂上則側重師生間的討論。這不僅有助于培養學生的學習興趣，而且可以讓學生更好地理解知識的發現過程，培養學生的創新能力。[10]

《數學模型與實驗》課程的教學目的是讓學生掌握運用數學的思想、方法和技巧分析、解決實際問題的能力。數學建模課程的教學以及大學生數學建模競賽，是數學教學改革的切入點和生長點。實踐表明，在大學開設數學建模課程，對于培養學生的洞察力、想象力、邏輯思維和分析問題、解決問題的能力，是一條行之有效的途徑，對培養學生的團隊意識和協作精神大有裨益。同時，也對創新型人才培養模式和思路起到了積累和探索作用。[3] [11] [12] [13] [14] [15]從這個意義說，數學建模是研究性學習在數學教學中的體現，它是研究性學習與數學學科一種十分典型的整合模式。[16] [17] [18]

三、研究性教學案例

《數學模型與實驗》課程內容豐富，覆蓋面廣。這里，我們主要舉例說明我們在《數學模型與實驗》課程中開展的基于課堂和基于數學實驗的研究性教學過程。

（一）基于課堂的研究性教學—傳染病動力學建模

1.提出問題

第一步：由最近流行的禽流感H7N9引入傳染病問題，并簡要介紹傳染病的傳播過程，指出對傳染病傳播規律的定量研究是防控工作的重要依據；第二步：回顧 “人口模型”的案例，從而引出能否用常微分方程刻畫傳染病傳播規律的問題，并引導同學給出肯定的回答；第三步：給出中心問題“如何應用常微分方程建立傳染病動力學模型并研究疾病的傳播規律？”

2.相關概念及預備知識

第一步：介紹傳染病動力學模型中的基本概念，包括易感者（Susceptible）和感染者（Infectious）、Kermack-McKendrick倉室模型、發生率、基本再生數等，并給出經典SIS倉室模型；第二步：簡單介紹常微分方程穩定性理論，并詳細介紹SIS模型的基本再生數的計算方法以及無病平衡點和地方病平衡點的穩定性分析。

3.漸進式解決問題

第一步：考慮病人經過治療恢復健康（Recover）但無免疫力，建立SIRS模型，計算基本再生數，并給出無病平衡點和地方病平衡點穩定性分析，據此刻畫疾病的傳播規律；第二步：在第一步研究結果的基礎上，讓學生進一步討論疾病有潛伏期（Exposed）的傳染病動力學模型的建立及分析；第三步：在第一、二步的基礎上，考慮有垂直傳染，即母親的疾病能傳染給新生兒時傳染病模型的建立，并分析其流行趨勢。

4.歸納總結

對于傳染病模型建立而言，考慮的倉室不同（即模型假設不同），可以得到不同的動力學模型。運用常微分方程穩定性理論，能夠給出傳染病模型的長時間動力學行為的刻畫，以此預測傳染病的傳播規律，這是本節課的重點。課后思考題：對于某一傳染病（例如手足口病、肺結核、AIDS病等），如何利用已有的統計數據建立動力學模型，并研究其傳播規律（下節課再和學生討論并講解）。

（二）基于數學實驗的研究性教學——定積分計算

1.研究背景及問題的提出

蒙特卡洛（Monte-Carlo）法，或稱計算機隨機模擬方法，是一種基于“隨機數”的、以概率和統計理論方法為基礎的一種計算方法，是使用隨機數（或更常見的偽隨機數）來解決很多計算問題的方法。這種方法的基本思想是：當求解問題是某種隨機事件的概率，或某隨機變量的期望時，通過“實驗”手段，用該事件的頻率估計這一隨機事件的概率，或者是該隨機變量的某些數字特征，并將其作為問題的解。蒙特卡洛法在金融工程學、宏觀經濟學、計算物理學等領域具有廣泛的應用。

問題：基于數學軟件Maple，如何利用蒙特卡洛法計算定積分 f（x）dx？

2.實驗目的

運用概率論相關理論和方法，并借助計算機數學軟件，進一步理解定積分的定義及計算。

3.實驗過程

（1）輸入被積函數、積分區間[a，b]、抽樣數N；

（2）計算能覆蓋曲邊梯形S的矩形區間[a，b]×[0，d]；

（3）構造矩形區間內隨機點；

（4）計算隨機點落在S內的數量n；

（5）利用公式計算定積分： f（x）dx=n（b-a）d / N·

4.歸納總結

將利用蒙特卡洛法計算定積分的結果與Maple中原有的定積分計算結果int（f（x），x=a..b）比對分析，可以發現，蒙特卡洛法是一種快速有效的計算方法。雖然Maple中的int函數是功能十分強大的積分計算方法，但此命令只能適用于原函數是初等函數的積分計算。當被積函數的原函數不是初函數時，int函數便無能為力。但蒙特卡洛法是一種基于隨機數的近似計算方法，與被積函數的原函數的類型無關，因而適用范圍更大。

四、結束語

培養高素質創新人才是高等教育的重要任務，研究性教學是實現這一目標的有效途徑。[18]研究性教學的根本出發點，在于從改變學生的學習方式和教師的教學方式入手，其實質是以培養學生的創新精神和實踐能力為核心的素質教育。[16] [17]

研究性教學模式是多元的。在“傳染病動力學建模”教學案例中，就采用了傳統的講授法以及問題啟發式、研討式等教學方法。除此之外，還有項目教學法[10]、案例教學法[8]等等。具體采用何種教學方法，應根據課程內容具體情況具體分析。好課可以是千姿百態的[6]，不可拘泥于某一種單一教學法。這就是所謂的“教無定法，貴在得法”。

在研究性教學中，教師是設計者、組織者、啟發者、引導者、鼓勵者和促進者[6]。在選擇研究性教學的問題時，教師應根據課程內容并結合學生興趣點確定，或者鼓勵學生結合課程內容與自身興趣提出問題。在教學過程中，對于教師而言，要以問題為中心，積極引導學生主動提出問題，互相討論，去分析和解決問題。此外，研究性教學過程中會衍生出一些新的、教師自身也未曾關注過的問題，這就需要教師不斷地學習，努力提高自身素質，練就更加過硬的本領，以期更好地開展研究性教學。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 中共中央，國務院.國家中長期教育改革和發展規劃綱要（2010-2020年）.http：//www.gov.cn / jrzg /

[2] 溫州大學，溫州大學發展“十二五”規劃及2025年遠景目標，http：//fzghc.wzu.edu.cn / Art / Art_10 / rt_10_432.aspx

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[責任編輯：林志恒]