函數的發展史對函數的教學的啟示

摘 要： 函數是中學教學的核心內容，是整個中學數學的骨架。函數又以其自身概念的高度概括性，函數符號的抽象性及表達形式的多樣性成為中學教學的難點。本文試圖從函數的發展史討論起，旨在從中找出有利于函數教學的盡早滲透函數概念、引導學生正確理解函數的表達方式、突出“變量”的思想、正確地引導學生從函數的一種概念過渡到另一種概念的教學策略，幫助學生正確快速的掌握函數教學的內容。

關鍵詞： 函數發展史；教學策略

我們所生活的世界是不斷變化著的，而函數正是刻畫變量的有效數學模型。函數與我們每個人的生活息息相關，函數關系充斥著我們的生活，函數概念是中學數學中的核心概念，函數是中學教學的核心內容，它貫徹于中學教學的始終，是整個中學數學的骨架，其思想和方法輻射到數列，三角，復數，幾何等數學領域，它是培養學生邏輯思維和辨證唯物主義觀的好材料。同時，函數又以其自身概念的高度概括性，函數符號的抽象性及表達形式的多樣性成為中學教學的難點。

一、函數概念的發展史

為了數學教育的目的，進一步認識函數史在數學教育中的地位和價值，應全面了解函數的發展史，探索函數發展的規律，充分發揮函數史知識在進行素質教育方面的重要作用。我們先從函數概念的歷史發展談起。

1、早期函數概念——幾何觀念下的函數。十七世紀伽俐略（G.Galileo，意，1564-1642）在《兩門新科學》一書中，幾乎從頭到尾包含著函數或稱為變量的關系這一概念，用文字和比例的語言表達函數的關系。1673年前后笛卡爾（Descartes，法，1596-1650）在他的解析幾何中，已經注意到了一個變量對于另一個變量的依賴關系，但由于當時尚未意識到需要提煉一般的函數概念，因此直到17世紀后期牛頓、萊布尼茲建立微積分的時候，數學家還沒有明確函數的一般意義，絕大部分函數是被當作曲線來研究的。

2、十八世紀函數概念——代數觀念下的函數。1718年約翰·貝努利（BernoulliJohann，瑞，1667-1748）才在萊布尼茲函數概念的基礎上，對函數概念進行了明確定義：由任一變量和常數的任一形式所構成的量，貝努利把變量x和常量按任何方式構成的量叫“x的函數”，表示為，其在函數概念中所說的任一形式，包括代數式子和超越式子。

3、十九世紀函數概念——對應關系下的函數。1822年傅里葉（Fourier，法，1768-1830）發現某些函數可用曲線表示，也可用一個式子表示，或用多個式子表示，從而結束了函數概念是否以唯一一個式子表示的爭論，把對函數的認識又推進了一個新的層次。1823年柯西（Cauchy，法，1789-1857）從定義變量開始給出了函數的定義，同時指出，雖然無窮級數是規定函數的一種有效方法，但是對函數來說不一定要有解析表達式，不過他仍然認為函數關系可以用多個解析式來表示，這是一個很大的局限，突破這一局限的是杰出數學家狄利克雷。

4、現代函數概念——集合論下的函數。1914年豪斯道夫（F.Hausdorff）在《集合論綱要》中用“序偶”來定義函數。其優點是避開了意義不明確的“變量”、“對應”概念，其不足之處是又引入了不明確的概念“序偶”。庫拉托夫斯基（Kuratowski）于1921年用集合概念來定義“序偶”，即序偶（a，b）為集合{{a}，{b}}，這樣，就使豪斯道夫的定義很嚴謹了。1930年新的現代函數定義為，若對集合M的任意元素x，總有集合N確定的元素y與之對應，則稱在集合M上定義一個函數，記為y=f（x）。元素x稱為自變元，元素y稱為因變元。

二、函數發展史對函數教學策略的啟示

函數史是學習數學、認識數學的工具。人們要弄清數學概念、函數思想和方法的發展過程，增長對函數的通識，建立函數的整體意識，就必須運用數學史作為補充和指導。特別是，現代數學的體系猶如“茂密繁盛的森林”，使人“站在外面窺不見它的全貌，深入內部又可能陷身迷津”，數學史的作用就是指引方向的“路標”，給人以啟迪和明鑒。

1、盡早滲透函數概念。函數的概念發展至今經歷了300年的孕育，形成，確定，發展的過程，真可謂是千錘百煉，精益求精。同時它涉及的數學概念眾多，而且抽象度相當的高，如變量、對應、定義域、值域等。這些都是學生學習函數概念之前應該盡早的向學生滲透的概念。

2、突出“變量”的思想。函數思想隨著人們從研究靜止的事物轉向研究變化的事物的出現而出現。數學由常量數學邁進變量數學是人類認識上的飛躍，同時也是學生轉變認識對象的巨大鴻溝。通常情況下當初一的學生面對s=10t的時候，雖然對于每個給定的t他們也能計算出與之對應的s，好像他們真的理解了s隨t變化的思想，但實際上他們把這一行一行的式子只當作孤立的算式，他們的目的是運用數學法則算出答案，而并沒有體會到在這個過程中由于變量t的變化則變量s隨之變化的函數思想。所以我們要正確地引導學生轉變思想，把靜止地表達式看作動態地過程，讓他們從原來地常量、代數式、方程和算式地靜態關系中過渡到變量、函數這樣地表示量與量之間地動態關系的思維方式上，從而使他們的認識達到飛躍。

3、引導學生正確理解函數的表達方式。在函數概念的發展史上人們為函數的解析表達式是否唯一爭論了半個世紀。為了學生不犯我們的前輩們的錯誤，我們應該在適當的時候向他們展示同一函數的不同表達式，而解析表達式是深刻理解和學習函數思想的關鍵，所以我們要加強學生對函數解析式的理解，。

4、正確地引導學生從函數的一種概念過渡到另一種概念。函數概念從最初地孕育發展到變量說、對應說、集合說。在這個過程中數學家們不斷地對函數概念進行打磨，修飾，希望其能夠盡善盡美。我們的教材也遵循歷史發展的規律，在初中將函數的概念描繪成“變量說”，這樣的描繪容易被學生接受，在高中階段，為了以后進一步學習的需要，我們又將函數的概念描繪為“對應說”。這樣就出現了一個概念前后描繪方式不統一的現象，學生就會想：為什么同一概念會有不同的描繪方式？哪一種描繪方式是正確的？為什么要有不同的描繪方式？為了解決學生的疑問，我們在引入“對應說”的時候要向學生說明引入這種說法的原因，通過舉些實例讓學生逐漸轉變思想正確理解函數的概念。