函數(shù)的發(fā)展史對(duì)函數(shù)的教學(xué)的啟示

摘 要： 函數(shù)是中學(xué)教學(xué)的核心內(nèi)容，是整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)的骨架。函數(shù)又以其自身概念的高度概括性，函數(shù)符號(hào)的抽象性及表達(dá)形式的多樣性成為中學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)。本文試圖從函數(shù)的發(fā)展史討論起，旨在從中找出有利于函數(shù)教學(xué)的盡早滲透函數(shù)概念、引導(dǎo)學(xué)生正確理解函數(shù)的表達(dá)方式、突出“變量”的思想、正確地引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)的一種概念過渡到另一種概念的教學(xué)策略，幫助學(xué)生正確快速的掌握函數(shù)教學(xué)的內(nèi)容。

關(guān)鍵詞： 函數(shù)發(fā)展史；教學(xué)策略

我們所生活的世界是不斷變化著的，而函數(shù)正是刻畫變量的有效數(shù)學(xué)模型。函數(shù)與我們每個(gè)人的生活息息相關(guān)，函數(shù)關(guān)系充斥著我們的生活，函數(shù)概念是中學(xué)數(shù)學(xué)中的核心概念，函數(shù)是中學(xué)教學(xué)的核心內(nèi)容，它貫徹于中學(xué)教學(xué)的始終，是整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)的骨架，其思想和方法輻射到數(shù)列，三角，復(fù)數(shù)，幾何等數(shù)學(xué)領(lǐng)域，它是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維和辨證唯物主義觀的好材料。同時(shí)，函數(shù)又以其自身概念的高度概括性，函數(shù)符號(hào)的抽象性及表達(dá)形式的多樣性成為中學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)。

一、函數(shù)概念的發(fā)展史

為了數(shù)學(xué)教育的目的，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)函數(shù)史在數(shù)學(xué)教育中的地位和價(jià)值，應(yīng)全面了解函數(shù)的發(fā)展史，探索函數(shù)發(fā)展的規(guī)律，充分發(fā)揮函數(shù)史知識(shí)在進(jìn)行素質(zhì)教育方面的重要作用。我們先從函數(shù)概念的歷史發(fā)展談起。

1、早期函數(shù)概念——幾何觀念下的函數(shù)。十七世紀(jì)伽俐略（G.Galileo，意，1564-1642）在《兩門新科學(xué)》一書中，幾乎從頭到尾包含著函數(shù)或稱為變量的關(guān)系這一概念，用文字和比例的語(yǔ)言表達(dá)函數(shù)的關(guān)系。1673年前后笛卡爾（Descartes，法，1596-1650）在他的解析幾何中，已經(jīng)注意到了一個(gè)變量對(duì)于另一個(gè)變量的依賴關(guān)系，但由于當(dāng)時(shí)尚未意識(shí)到需要提煉一般的函數(shù)概念，因此直到17世紀(jì)后期牛頓、萊布尼茲建立微積分的時(shí)候，數(shù)學(xué)家還沒有明確函數(shù)的一般意義，絕大部分函數(shù)是被當(dāng)作曲線來研究的。

2、十八世紀(jì)函數(shù)概念——代數(shù)觀念下的函數(shù)。1718年約翰·貝努利（BernoulliJohann，瑞，1667-1748）才在萊布尼茲函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，對(duì)函數(shù)概念進(jìn)行了明確定義：由任一變量和常數(shù)的任一形式所構(gòu)成的量，貝努利把變量x和常量按任何方式構(gòu)成的量叫“x的函數(shù)”，表示為，其在函數(shù)概念中所說的任一形式，包括代數(shù)式子和超越式子。

3、十九世紀(jì)函數(shù)概念——對(duì)應(yīng)關(guān)系下的函數(shù)。1822年傅里葉（Fourier，法，1768-1830）發(fā)現(xiàn)某些函數(shù)可用曲線表示，也可用一個(gè)式子表示，或用多個(gè)式子表示，從而結(jié)束了函數(shù)概念是否以唯一一個(gè)式子表示的爭(zhēng)論，把對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)又推進(jìn)了一個(gè)新的層次。1823年柯西（Cauchy，法，1789-1857）從定義變量開始給出了函數(shù)的定義，同時(shí)指出，雖然無窮級(jí)數(shù)是規(guī)定函數(shù)的一種有效方法，但是對(duì)函數(shù)來說不一定要有解析表達(dá)式，不過他仍然認(rèn)為函數(shù)關(guān)系可以用多個(gè)解析式來表示，這是一個(gè)很大的局限，突破這一局限的是杰出數(shù)學(xué)家狄利克雷。

4、現(xiàn)代函數(shù)概念——集合論下的函數(shù)。1914年豪斯道夫（F.Hausdorff）在《集合論綱要》中用“序偶”來定義函數(shù)。其優(yōu)點(diǎn)是避開了意義不明確的“變量”、“對(duì)應(yīng)”概念，其不足之處是又引入了不明確的概念“序偶”。庫(kù)拉托夫斯基（Kuratowski）于1921年用集合概念來定義“序偶”，即序偶（a，b）為集合{{a}，{b}}，這樣，就使豪斯道夫的定義很嚴(yán)謹(jǐn)了。1930年新的現(xiàn)代函數(shù)定義為，若對(duì)集合M的任意元素x，總有集合N確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，則稱在集合M上定義一個(gè)函數(shù)，記為y=f（x）。元素x稱為自變?cè)貀稱為因變?cè)?/p>

二、函數(shù)發(fā)展史對(duì)函數(shù)教學(xué)策略的啟示

函數(shù)史是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的工具。人們要弄清數(shù)學(xué)概念、函數(shù)思想和方法的發(fā)展過程，增長(zhǎng)對(duì)函數(shù)的通識(shí)，建立函數(shù)的整體意識(shí)，就必須運(yùn)用數(shù)學(xué)史作為補(bǔ)充和指導(dǎo)。特別是，現(xiàn)代數(shù)學(xué)的體系猶如“茂密繁盛的森林”，使人“站在外面窺不見它的全貌，深入內(nèi)部又可能陷身迷津”，數(shù)學(xué)史的作用就是指引方向的“路標(biāo)”，給人以啟迪和明鑒。

1、盡早滲透函數(shù)概念。函數(shù)的概念發(fā)展至今經(jīng)歷了300年的孕育，形成，確定，發(fā)展的過程，真可謂是千錘百煉，精益求精。同時(shí)它涉及的數(shù)學(xué)概念眾多，而且抽象度相當(dāng)?shù)母撸缱兞俊?duì)應(yīng)、定義域、值域等。這些都是學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)概念之前應(yīng)該盡早的向?qū)W生滲透的概念。

2、突出“變量”的思想。函數(shù)思想隨著人們從研究靜止的事物轉(zhuǎn)向研究變化的事物的出現(xiàn)而出現(xiàn)。數(shù)學(xué)由常量數(shù)學(xué)邁進(jìn)變量數(shù)學(xué)是人類認(rèn)識(shí)上的飛躍，同時(shí)也是學(xué)生轉(zhuǎn)變認(rèn)識(shí)對(duì)象的巨大鴻溝。通常情況下當(dāng)初一的學(xué)生面對(duì)s=10t的時(shí)候，雖然對(duì)于每個(gè)給定的t他們也能計(jì)算出與之對(duì)應(yīng)的s，好像他們真的理解了s隨t變化的思想，但實(shí)際上他們把這一行一行的式子只當(dāng)作孤立的算式，他們的目的是運(yùn)用數(shù)學(xué)法則算出答案，而并沒有體會(huì)到在這個(gè)過程中由于變量t的變化則變量s隨之變化的函數(shù)思想。所以我們要正確地引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)變思想，把靜止地表達(dá)式看作動(dòng)態(tài)地過程，讓他們從原來地常量、代數(shù)式、方程和算式地靜態(tài)關(guān)系中過渡到變量、函數(shù)這樣地表示量與量之間地動(dòng)態(tài)關(guān)系的思維方式上，從而使他們的認(rèn)識(shí)達(dá)到飛躍。

3、引導(dǎo)學(xué)生正確理解函數(shù)的表達(dá)方式。在函數(shù)概念的發(fā)展史上人們?yōu)楹瘮?shù)的解析表達(dá)式是否唯一爭(zhēng)論了半個(gè)世紀(jì)。為了學(xué)生不犯我們的前輩們的錯(cuò)誤，我們應(yīng)該在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候向他們展示同一函數(shù)的不同表達(dá)式，而解析表達(dá)式是深刻理解和學(xué)習(xí)函數(shù)思想的關(guān)鍵，所以我們要加強(qiáng)學(xué)生對(duì)函數(shù)解析式的理解，。

4、正確地引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)的一種概念過渡到另一種概念。函數(shù)概念從最初地孕育發(fā)展到變量說、對(duì)應(yīng)說、集合說。在這個(gè)過程中數(shù)學(xué)家們不斷地對(duì)函數(shù)概念進(jìn)行打磨，修飾，希望其能夠盡善盡美。我們的教材也遵循歷史發(fā)展的規(guī)律，在初中將函數(shù)的概念描繪成“變量說”，這樣的描繪容易被學(xué)生接受，在高中階段，為了以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)的需要，我們又將函數(shù)的概念描繪為“對(duì)應(yīng)說”。這樣就出現(xiàn)了一個(gè)概念前后描繪方式不統(tǒng)一的現(xiàn)象，學(xué)生就會(huì)想：為什么同一概念會(huì)有不同的描繪方式？哪一種描繪方式是正確的？為什么要有不同的描繪方式？為了解決學(xué)生的疑問，我們?cè)谝搿皩?duì)應(yīng)說”的時(shí)候要向?qū)W生說明引入這種說法的原因，通過舉些實(shí)例讓學(xué)生逐漸轉(zhuǎn)變思想正確理解函數(shù)的概念。