基于數學史應用的一節高中導數教學設計

摘 要： 導數的概念與應用的教學中，有些概念及方法不好解釋，老師往往強加給學生，學生就產生了想當然的認識，不利于學生創新意識和數學素養的培養，而數學史的應用再現了知識的產生、發展過程，從而充分調動學生思考的積極性，使學生在學習新知識的同時，感受到數學所蘊含的豐富的哲學思想。

關鍵詞： 數學素養；數學史；變化率；導數

數學史在數學教育中有著重要的地位，它在幫助學生理解新知識、新概念，掌握新方法等方面，有著很大的作用，同時在培養數學素養，感受數學精神，養成良好的習慣方面能起到很好的促進作用。本文通過導數概念的引入教學，從一個側面反映出數學史在高中數學教學中的地位及作用，以求拋磚引玉。

一、數學史在高中數學教學中具有突出的重要性與必要性

《課程標準》明確提出：“讓學生經歷知識的產生、發展過程，感受數學的內涵與本質。”起初覺得執行起來非常困難，也沒太大必要。隨著經驗的積累，筆者的這種想法發生了改變。學習科學能給人以力量，讓人們受到鼓舞，獲得信念與勇氣，然而只是簡單而粗糙地“告訴”學生這些科學，顯然與新課程標準的精神不相符合。因此，讓學生經歷這些理論的形成的過程不僅能讓學生獲得科學知識，更重要的是讓學生在學習過程中受到啟發，培養勤于思考，勇于創新的能力，不斷提高數學素養。實踐中，筆者大膽引入了數學史的教學。

二、導數概念的背景及產生過程

1、教學設想。遵循“創設問題情景→提出問題→分析問題→解決問題”的原則。①通過具體實例分析，讓學生經歷用變化率刻畫變化的快慢，從平均變化率到瞬時變化率的認識過程，進而給出導數概念和導數的幾何意義。②通過導數概念的形成過程，理解生活中數學概念的基本發展過程，初步學會用極限的思想分析并解決問題。③分析生活中的各種現象最后將其統一為數學中的導數概念過程，認識到數學與生活的聯系和數學在實用性方面的巨大力量，進而對數學中蘊涵的理性美產生發自內心的欣賞情感。

2、教學過程。平均變化率→瞬時變化率→導數。①平均變化率的再認識。通過教材中的實例分析，讓學生理解平均速度可以刻畫物體一段時間的運動快慢，并結合相應的圖像，體會圖像的“陡”“坡”與平均變化率的關系，最后抽象概括出平均變化率的一般數學概念： △y=f（x1）-f（x0）f（x0+△x）-f（x0）其中：△x=x1-x0②瞬時變化率的認識。一方面，讓大家理解瞬時速度的產生過程，另一方面，讓大家理解切線斜率的產生過程，而這兩方面正是牛頓與萊布尼茲的研究過程。

問題1：前面我們已經明白平均速度可以刻畫物體一段時間內的運動快慢，那么在一點處的速度如何刻畫呢？我選擇了一個較為簡單的例子：

若一物體運動路程s（單位：m）與時間t（單位：s）的函數關系為：s=t2，試估計t=5s這個時刻的瞬時速度。

學生經過一段時間的思考與分組討論后，我介紹了相應的數學史：

因為瞬時的速度很難測量，直到牛頓的發現，這一難題才得到解決。大家想不想知道牛頓是怎樣思考的呢？能否用平均速度近似代替瞬時速度？如果可以，以怎樣一個平均速度代替較好的呢？我選擇了5～10s的平均速度，—=—=15m/s，此時的誤差難以避免，但是能不能減少誤差呢？剛才我選擇的區間較大，能不能縮小些呢？大家在我的引導下，選擇5～6s的平均速度，—=—=11m/s，誤差縮小了，能不能再減少誤差呢？大家發現隨著區間的不斷縮小，所得平均速度分別為10.1，10.01，10.001，10.0001，……越來越接近一個確定的常數10，到底5s處的瞬時速度為多少？很多同學說，近似為10m/s，大約是10m/s。我又問大家什么是大約10m/s，10.1叫大約，10.01也叫大約，10.001還叫大約，可見這種說法還不夠科學準確。我告訴大家，如果當初牛頓只停留在無休止的運算當中，就永遠也得不到偉大的結果，而只是停留在無休止的量變過程中。其實要完成從量變到質變的飛躍，只需跨出那小小的一步，我們共同想想：如何跨出那小小的一步，完成由量的改變到質的飛躍？那么在5s處的瞬時速度到底是多少呢？“10m/s，不多不少剛剛好。”大家較為整齊地回答。看起來大家好像明白了一些，但還是有疑惑，我就鼓勵大家：人類經歷這一過程花去了幾百年的時間，而現在讓大家用十幾分鐘的時間來理解確實很困難，隨著時間的推移，大家的知識不斷積累，會慢慢明白這一道理的，而后來恩格斯評價這一飛躍時稱：“這是人類精神上的最高勝利。”

問題2：如圖，P（x0，y0）是f（x）=x2+1圖象上一點，那么如何求該圖象在P（x0，y0）處的切線的斜率呢？

在△x→0過程中，割線ab的變化情況你能描述一下嗎？請在函數圖象中畫出來。

引導學生觀察：類比數、形的變化：△x→0，b（x0+△x，f（x0+△x））→a（x0，f（x0）），當△x→0，割線ab有一個無限趨近的確定位置（演示動畫），這個確定位置上的直線叫曲線在x=x0處的切線，請把它畫出來。

△x→0，割線ab→切線ad，則割線ab的斜率→切線ad的斜率

有了前面的基礎，大家理解起來簡單容易得多，但同時也發現兩個過程中具有相似之處，就是用無限逼近的思想，完成了由量變到質變的過程。最后我讓大家談談本節課的體會和收獲，很多同學都談到了收獲知識的同時，感受到科學發現不僅需要勤奮不懈，更需要巨大的膽識與異于常人的勇氣。

三、課后評價與反思

本節課在整個教學設計過程中始終圍繞一個主題——探究前人偉大發現的足跡，再現當年歷史。在教學過程中，讓同學們感受到數學歷史的發展，以及蘊涵在數學中深刻而豐富的哲學思想。

數學史在教學中的應用在高中階段可以說無處不在，除了導數與積分外，像指數函數與對數函數、數列、簡單線性規劃等，都與數學史息息相關。在平時的教學教研活動中，教師如果能進一步探討數學史與課堂的有效結合，必將促進學生學習數學知識的同時，使其受到良好的數學文化的熏陶。