談函數與方程思想在中學數學中的應用

摘 要： 本文闡述了函數思想與方程思想的概念、二者之間的相互轉換及在轉換時需要注意的一些問題。函數與方程都是中學數學的重要內容，也是處理許多數學問題時經常要用的基本思想方法。并且它也應用在其他學科領域中。并結合中學數學教學，提出教師應該在教學中有意培養學生的函數與方程思想。

關鍵詞： 函數思想；方程思想；應用；培養

函數與方程是反映客觀事物數量變化規律的一種數學模型，函數思想能使數學有效地揭示事物運動變化的規律，反映事物間的相互關系；而方程思想則是函數思想的具體體現，是已知量和未知量的矛盾統一。

一、函數與方程思想的概念以及相互轉化

1、函數與方程思想的概念。函數的思想方法就是對于客觀事物的運動變化過程中各個變量之間的相互關系，通過函數的形式表示出來并加以研究，從而使問題獲得解決。函數思想的實質是提取問題的數學特征，用聯系的變化的觀點提出數學對象，抽象其數學特征，建立函數關系。

方程的思想方法就是經過數學變換，把非方程的問題轉化為方程的形式，并通過解方程的手段或對方程有關性質的研究，使原問題得到解決。從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解。

2、函數與方程思想的相互轉化。如果變量間的數量關系用解析式表示，則這個解析式又可以看作一個方程，通過解方程的方法進行研究，使問題得到解決，這就是函數與方程的思想。很明顯，只有在對問題的觀察、分析、判斷等一系列的思維過程中，具備有標新立異、獨樹一幟的深刻性、獨創性思維，才能構造出函數原型，化歸為方程的問題，實現函數與方程的互相轉化接軌，達到解決問題的目的。

二、函數與方程思想在高考中的幾個典型應用

許多方程問題常常可以運用函數思想去解決，而不少函數問題又往往需轉化為方程來求解，因此，在解決一些函數和方程問題時，既要善于運用函數思想解決方程問題，又要學會靈活運用方程的觀點去觀察、處理函數問題，函數與方程思想在解題中的應用十分廣泛，函數與方程思想是數學中的基本思想，也是歷年高考的重點和熱點。它在解題中的應用主要表現在兩個方面：一是借助函數的有關性質，解有關求值、解方程、解（證）不等式以及討論參數的取值范圍等問題；二是在問題的研究中，可以通過構造恰當的函數，或建立相應的方程，來解決問題。

1、利用函數與方程思想解決函數、方程問題。方程f（x）=0的解就是函數y=f（x）的圖像與x軸交點的橫坐標，函數y=f（x）也可以看作二元方程y-f（x）=0。它們之間的這種關系為我們解決方程與函數問題提供了思路。一方面，對于有些方程問題，可以用變量的觀點，將其轉化為函數問題，利用函數性質來解決；另一方面，也可將函數問題轉化為方程問題，利用方程性質或通過解方程來解決。

2、利用函數與方程思想證明不等式。在解決不等式證明的問題時，一種非常重要的思想方法就是構造適當的函數，利用函數的圖象和性質解決問題。由于函數與方程、不等式有著內在的聯系，函數性質的研究依賴于不等式及方程的有關知識，因此，處理不等式問題，可借助于函數與方程思想加以研究。借助于函數與方程思想證明不等式，方法靈活多樣，以二次函數為例，函數y=f（x）的圖像與x軸的交點的橫坐標就是方程f（x）=0的解，函數圖像位于x軸上方的部分對應的橫坐標的取值就是不等式f（x）>0的解，它們之間的這種關系使得在解決實際問題時，可進行適當的轉化、化歸。

3、利用函數與方程思想解決數列問題。數列本身就是特殊的函數，所以一些研究函數的方法，同樣適合于研究數列，但是要注意數列本身的特殊性。它可以看作是自變量依次取正整數，圖像為一群孤立點的函數。所以在解有關數列的問題時，應注重將其與函數有關的知識結合在一起，注重函數與方程思想方法的運用與滲透。

4、利用函數與方程思想解決三角函數問題。在三角學習中，我們要善于根據問題的特征，合理地展開聯想，巧妙地實施轉化，增強運用函數與方程思想解題的意識，使解題的水平得到大幅度的提高。“數學的精神和本質在于它的思想和方法”，三角函數是一類特殊的函數，高考主要在三角函數的圖像、性質以及結合三角變換求三角函數值等方面進行考查。判斷函數單調性的問題，可以結合導數的相關知識進行解答。

5、利用函數與方程思想解決解析幾何與立體幾何最值問題。解析幾何、立體幾何及實際應用等問題中的最值問題，一般利用函數思想來解決，思路是先選擇恰當的變量建立目標函數，再用函數的知識來解決。在解析幾何中，經常利用待定系數法求直線或圓錐曲線的方程，通過建立a、b、c的方程來求圓錐曲線的離心率問題。直線和二次曲線的位置關系問題，需要通過解二元方程組才能解決，涉及到二次方程與二次函數的有關理論。

綜上，函數與方程思想是中學數學中最重要的數學思想之一，函數與方程思想一直貫穿在中學整個教學過程中，是中學數學中最基本、最重要的數學思想，應用涉及的知識點較多，是考查創新實踐能力的良好載體。歷年的高考試題中，每年都有一些設問新穎的函數與方程題目，而且占有相當的比重，一些常見的解題規律和方法在這里得到比較充分的體現。我們應結合中學教學的實際多種途徑培養學生的函數與方程思想，達到提高學生數學能力的目的。

參考文獻

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