談函數(shù)與方程思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

摘 要： 本文闡述了函數(shù)思想與方程思想的概念、二者之間的相互轉(zhuǎn)換及在轉(zhuǎn)換時(shí)需要注意的一些問題。函數(shù)與方程都是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是處理許多數(shù)學(xué)問題時(shí)經(jīng)常要用的基本思想方法。并且它也應(yīng)用在其他學(xué)科領(lǐng)域中。并結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，提出教師應(yīng)該在教學(xué)中有意培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)與方程思想。

關(guān)鍵詞： 函數(shù)思想；方程思想；應(yīng)用；培養(yǎng)

函數(shù)與方程是反映客觀事物數(shù)量變化規(guī)律的一種數(shù)學(xué)模型，函數(shù)思想能使數(shù)學(xué)有效地揭示事物運(yùn)動(dòng)變化的規(guī)律，反映事物間的相互關(guān)系；而方程思想則是函數(shù)思想的具體體現(xiàn)，是已知量和未知量的矛盾統(tǒng)一。

一、函數(shù)與方程思想的概念以及相互轉(zhuǎn)化

1、函數(shù)與方程思想的概念。函數(shù)的思想方法就是對于客觀事物的運(yùn)動(dòng)變化過程中各個(gè)變量之間的相互關(guān)系，通過函數(shù)的形式表示出來并加以研究，從而使問題獲得解決。函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)是提取問題的數(shù)學(xué)特征，用聯(lián)系的變化的觀點(diǎn)提出數(shù)學(xué)對象，抽象其數(shù)學(xué)特征，建立函數(shù)關(guān)系。

方程的思想方法就是經(jīng)過數(shù)學(xué)變換，把非方程的問題轉(zhuǎn)化為方程的形式，并通過解方程的手段或?qū)Ψ匠逃嘘P(guān)性質(zhì)的研究，使原問題得到解決。從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解。

2、函數(shù)與方程思想的相互轉(zhuǎn)化。如果變量間的數(shù)量關(guān)系用解析式表示，則這個(gè)解析式又可以看作一個(gè)方程，通過解方程的方法進(jìn)行研究，使問題得到解決，這就是函數(shù)與方程的思想。很明顯，只有在對問題的觀察、分析、判斷等一系列的思維過程中，具備有標(biāo)新立異、獨(dú)樹一幟的深刻性、獨(dú)創(chuàng)性思維，才能構(gòu)造出函數(shù)原型，化歸為方程的問題，實(shí)現(xiàn)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化接軌，達(dá)到解決問題的目的。

二、函數(shù)與方程思想在高考中的幾個(gè)典型應(yīng)用

許多方程問題常?？梢赃\(yùn)用函數(shù)思想去解決，而不少函數(shù)問題又往往需轉(zhuǎn)化為方程來求解，因此，在解決一些函數(shù)和方程問題時(shí)，既要善于運(yùn)用函數(shù)思想解決方程問題，又要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用方程的觀點(diǎn)去觀察、處理函數(shù)問題，函數(shù)與方程思想在解題中的應(yīng)用十分廣泛，函數(shù)與方程思想是數(shù)學(xué)中的基本思想，也是歷年高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)。它在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是借助函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，解有關(guān)求值、解方程、解（證）不等式以及討論參數(shù)的取值范圍等問題；二是在問題的研究中，可以通過構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，或建立相應(yīng)的方程，來解決問題。

1、利用函數(shù)與方程思想解決函數(shù)、方程問題。方程f（x）=0的解就是函數(shù)y=f（x）的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，函數(shù)y=f（x）也可以看作二元方程y-f（x）=0。它們之間的這種關(guān)系為我們解決方程與函數(shù)問題提供了思路。一方面，對于有些方程問題，可以用變量的觀點(diǎn)，將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，利用函數(shù)性質(zhì)來解決；另一方面，也可將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，利用方程性質(zhì)或通過解方程來解決。

2、利用函數(shù)與方程思想證明不等式。在解決不等式證明的問題時(shí)，一種非常重要的思想方法就是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決問題。由于函數(shù)與方程、不等式有著內(nèi)在的聯(lián)系，函數(shù)性質(zhì)的研究依賴于不等式及方程的有關(guān)知識(shí)，因此，處理不等式問題，可借助于函數(shù)與方程思想加以研究。借助于函數(shù)與方程思想證明不等式，方法靈活多樣，以二次函數(shù)為例，函數(shù)y=f（x）的圖像與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程f（x）=0的解，函數(shù)圖像位于x軸上方的部分對應(yīng)的橫坐標(biāo)的取值就是不等式f（x）>0的解，它們之間的這種關(guān)系使得在解決實(shí)際問題時(shí)，可進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化、化歸。

3、利用函數(shù)與方程思想解決數(shù)列問題。數(shù)列本身就是特殊的函數(shù)，所以一些研究函數(shù)的方法，同樣適合于研究數(shù)列，但是要注意數(shù)列本身的特殊性。它可以看作是自變量依次取正整數(shù)，圖像為一群孤立點(diǎn)的函數(shù)。所以在解有關(guān)數(shù)列的問題時(shí)，應(yīng)注重將其與函數(shù)有關(guān)的知識(shí)結(jié)合在一起，注重函數(shù)與方程思想方法的運(yùn)用與滲透。

4、利用函數(shù)與方程思想解決三角函數(shù)問題。在三角學(xué)習(xí)中，我們要善于根據(jù)問題的特征，合理地展開聯(lián)想，巧妙地實(shí)施轉(zhuǎn)化，增強(qiáng)運(yùn)用函數(shù)與方程思想解題的意識(shí)，使解題的水平得到大幅度的提高?！皵?shù)學(xué)的精神和本質(zhì)在于它的思想和方法”，三角函數(shù)是一類特殊的函數(shù)，高考主要在三角函數(shù)的圖像、性質(zhì)以及結(jié)合三角變換求三角函數(shù)值等方面進(jìn)行考查。判斷函數(shù)單調(diào)性的問題，可以結(jié)合導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行解答。

5、利用函數(shù)與方程思想解決解析幾何與立體幾何最值問題。解析幾何、立體幾何及實(shí)際應(yīng)用等問題中的最值問題，一般利用函數(shù)思想來解決，思路是先選擇恰當(dāng)?shù)淖兞拷⒛繕?biāo)函數(shù)，再用函數(shù)的知識(shí)來解決。在解析幾何中，經(jīng)常利用待定系數(shù)法求直線或圓錐曲線的方程，通過建立a、b、c的方程來求圓錐曲線的離心率問題。直線和二次曲線的位置關(guān)系問題，需要通過解二元方程組才能解決，涉及到二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論。

綜上，函數(shù)與方程思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的數(shù)學(xué)思想之一，函數(shù)與方程思想一直貫穿在中學(xué)整個(gè)教學(xué)過程中，是中學(xué)數(shù)學(xué)中最基本、最重要的數(shù)學(xué)思想，應(yīng)用涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，是考查創(chuàng)新實(shí)踐能力的良好載體。歷年的高考試題中，每年都有一些設(shè)問新穎的函數(shù)與方程題目，而且占有相當(dāng)?shù)谋戎?，一些常見的解題規(guī)律和方法在這里得到比較充分的體現(xiàn)。我們應(yīng)結(jié)合中學(xué)教學(xué)的實(shí)際多種途徑培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)與方程思想，達(dá)到提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力的目的。

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