數學教學知識測試工具簡介及其相關應用

邵珍紅，曹一鳴

（北京師范大學 數學科學學院，北京 100875）

數學教學知識測試工具簡介及其相關應用

邵珍紅，曹一鳴

（北京師范大學 數學科學學院，北京 100875）

密西根大學LMT項目組基于舒爾曼PCK的概念，通過收集教師在教學中所用到的數學知識，開發了一套測試數學教學知識的測試工具，覆蓋K—8年級基本的數學教學內容，并對美國4—8年級數學教師進行了大規模隨機抽樣試測，發現此測試工具具有較好的效度和信度．MKT測試工具的開發不僅能在實踐層面上去測量教師個體或群體的數學教學知識水平，而且還能研究教師的這類知識對于學生學業成就及教師教學質量的影響，后續研究表明教師的數學教學知識對于學生學業成就預測是顯著的．在測試題目的編寫過程中還探索了數學教學知識的內涵及其成分．

數學教學知識；MKT；測試工具

教師知識是影響教師教學的重要因素之一，對學生學習的影響是顯著的[1~2]，自舒爾曼提出教學內容知識（PCK）的概念后，研究者們從兩個方面對教師知識進行研究，一方面是影響教學的教師知識的分類的理論發展，另一方面通過發展測試工具去研究教師知識．在數學學科領域，數學教育界的研究者沿著PCK的定義從實踐層面的數學教學知識的測量到數學教學知識的理論的發展，以及教師的數學教學知識與課堂教學其它因素之間的關系等．對教師知識的研究也引起了中國學者的注意，研究者對各個年級層面的新手教師、職前教師、優秀教師等從教學內容知識、數學教學內容知識的內涵、構成、特征、發展途徑等方面進行了研究，以及對教學、教師專業發展及教師培訓的啟示等[3~9]．密西根大學的研究團隊不僅從理論的方面對數學教學知識（Mathematical Knowledge for Teaching，簡記成：MKT）的框架進行研究，而且還設計出MKT的測試工具去測量教師的數學教學知識，根據測試工具在大量樣本試測的心理統計學結果去驗證和修正MKT的理論模型．

文章從數學教學知識的內涵，數學教學知識測試工具的研制與開發，數學教學知識測試題的特征及數學教學知識的主要研究成果等幾個方面介紹數學教學知識測試工具及其相關研究．

1 數學教學知識

密西根大學的Deborah Ball教授及其團隊也在舒爾曼的研究的基礎上，關注教師日常的工作所需要的數學知識，收集教師錄像、課堂錄音、手稿、學生課上練習、家庭作業、學生測試及教師的教學計劃、筆記、反思等材料，對教師要做“數學教學”這項工作所需的數學知識進行研究．教師必須非常熟悉所教的學科內容知識，但同時，對于教學來說，教師僅僅熟悉所教的學科的內容知識還不夠；另外教師還必須從別的途徑去了解數學，使教師有益于了解學生工作的數學意義以及選取有利于學生理解的合適的教學方法，所以僅了解高等數學并不能滿足教學的要求，還需要對教師的數學教學知識進行研究和測量．她們認為數學教學知識由兩部分組成：學科知識（Subject matter knowledge）及教學內容知識（見圖1）．學科知識包含一般內容知識（common content knowledge，簡記為：CCK）和特殊內容知識（specialized content knowledge，簡記為：SCK）及水平化知識．教學內容知識包含關于內容和學生的知識（knowledge of content and student，簡記為：KCS），關于內容和教學的知識（knowledge of content and teaching，簡記為：KCT）及關于教材的知識．一般內容知識指受過良好教育的成人所具有的數學知識；特殊內容知識指教學所特需的數學知識；當教師選擇一個例子或者布置一個任務時，要預測學生是否有興趣或者有動力參與，要知道什么樣的學生能參與以及這些任務對于他們的難易程度等這些知識都屬于關于內容和學生的知識范疇；教學設計中如何選擇例子讓學生能夠更深入地理解知識等這些知識屬于關于內容和教學的知識范疇．在Ball教授的數學教學知識的模型中，還有兩塊知識有待后續研究，一個是關于教材的知識，另一個是水平知識．總之，數學教學知識只針對數學學科，對數學教師為了教數學所需的數學知識從教師日常教學實踐的角度研發測試工具，再通過大樣本測量數據的統計分析結果和教學實踐相結合，對數學教學知識的結構特征及其概念進行理論研究．數學教學知識的含義是為了教數學所需要的數學知識，出發點是教學而不是教師本身[10]．

圖1 數學教學知識

2 數學教學知識的測試工具的研制與開發

教師的數學教學知識往往通過數學課堂得以體現，教師知識與其課堂實踐有時候是脫節的，教師知道多少并不等于他能用多少，所以從問卷調查和深度訪談或者觀察教師們所使用課程材料等角度，并不能真實地反映教師在數學教學過程中所需的數學知識．教師的數學教學知識必須從教師的教學實踐中提取出來．MKT測試工具是密西根大學團隊在Ball教授的帶領下，從教師的日常工作入手，關注開展數學教學工作所需要的知識，在2001年開始編寫．最初主要針對小學數學教師的數學教學知識編寫，后來發展到中學數學教師的MKT的測試工具的開發．那么如何編寫題目去捕捉數學教學知識呢？密西根團隊首先明確，測試題目主要針對教師在教學中用到的數學知識，而非教師所教的內容；其次挑選項目圍繞所有教師在教數學的時候有可能面對的問題；最后確定從3個方面綜合組織項目：數學內容（如數的概念、代數、幾何、概率統計等）、教數學課的一般任務（如組織學生的討論、評價學生的工作、評價課程材料等）、教學中的數學任務（如利用定義、運算的表征、各個表征策略之間的連接等）．編寫測試題目的專家包含教師教育工作者、教學領導、數學家、課程編寫人員、數學教育方面的研究人員及心理測量方面的專家等．每兩年所有的編寫人員參加一個“項目編寫夏令營”，集中討論編寫．

項目組最初編制的110個題目，內容方面包括數的概念、運算、模式、函數和代數、幾何5個方面，教數學課的一般任務和教學中的數學任務與這些內容區域相交叉．這些項目共組成3套試卷對加利福尼亞州近一千五百名教師進行了試測[5]，利用項目反映理論、因子分析等統計學的方法，對這套測試問卷的信度和效度進行了檢測．從2005年開始，LMT項目組加入中學數學4—8年級的數/運算和代數部分，對全美國抽樣試測．研究者先從國家教育統計中心數據庫用分層抽樣方法在不同的區域選取公立小學和中學，然后再對選取的公立學校及教師進行隨機抽樣．每套測試題的試測樣本是400—500名4—8年級的數學教師，為了保證測試的效度，每個參加試測的教師得到50美元的報酬．到目前為止，密西根團隊已經擁有數與運算（K—6，6—8年級），模式、函數與代數（K—6，6—8年級），幾何（3—8年級）等的MKT的測試工具；他們還設計了4—8年級的特殊模塊的MKT測試工具：有理數、比例推理、幾何、概率統計[11]．

3 數學教學知識測試題目特征

（2）測試題目內容覆蓋廣泛，包含數的概念、運算、模式、函數和代數、幾何等，幾乎涵蓋了K—8年級數學的主要內容．在測試過程中，并不針對特定教師抽出該教師所教年級對應的數學內容進行測試．而且測試題目主要測試數學教學知識的4部分：一般內容知識、特殊內容知識、關于學生和內容的知識及關于內容和教學的知識．比如下面的兩個例子，一道題目是測試特殊內容知識，另一道題目測試關于內容和教學的知識．

（3）測試工具的研制與開發經由教育、教學、數學等各方面的專家一起合作發開，且每一套試卷均通過對至少400位4—8年級的數學教師的試測，有很好的信度和效度[12]．

（4）當前學術論文使用的測試題目及教師水平資格考試題目不僅測試教師的高等數學知識，而且還測試一般教學法知識．但數學教學知識的測試題目并不是簡單地將一般教學法知識、課程知識、數學知識、教育理論知識等分別進行測量，而是將測試題目從數學內容（如數的概念、代數、幾何等）、教數學課的一般任務（如組織學生的討論、評價學生的工作、評價課程材料等）、教學中的數學任務（如利用定義、運算的表征、各個表征策略之間的連接等）3個方面整合而成，測試教師為了教學的數學知識．

例如：2008年LMT項目公開的第2題[13]：

想象一下你的班級正在學習兩位數的乘法，在學生的作業中，出現以下的結果：

數學教學知識測試題目有以下的特征：

（1）測試題目是單項選擇題，選項一般有3—6個．

你怎么判斷這些學生使用的方法可以用于任何兩位整數相乘？（請對每個問題分別選擇有效、無效或不確定）

此題目是一道由3個小題組成的單項選擇題，題目設計的數學內容是兩位數的乘法．但此項目并不是直接考試教師如何去計算一個兩位數的乘法，而是融合了教師教學過程中學生易出現的問題來考察教師的數學教學知識．在平時的教學過程中，教師會面對各種各樣的學生的結果，他們必須弄清楚學生都做了什么，學生的想法在數學上是不是正確的，而且學生的這種方法能不能運用到一般的問題上．普通的數學知識或者一般的教學法知識不能回答這樣的問題．這個項目基于教師在兩位數乘法教學過程中可能遇到的問題，教師不僅要回答學生的每種方法在數學思維是不是正確，而且還需要判斷這3種方法對于一般的兩位數的乘法是否適用．可以看出這是數學教學中一個非常經典的教學法案例，而且這個例子表明數學教師所具備的一般的數學內容知識不足以去解決兩位數乘法問題怎么去教的問題．因此知道怎么去問和怎么去回答這樣的數學上的問題對于數學教師在教學上的判斷是必要的．

再例如2008年LMT項目公開的第24題[13]：

王老師的課堂正在做一個關于如何計算三角形未知內角度數的作業，其中一個學生一直利用直角三角形的性質，將未知內角放入直角三角形中，從90減去已知的角度得出未知的角度．例如：

王老師認為這個學生在解決更一般三角形中未知角的個數方面可能會出現困難，以下哪個問題可以最大程度地幫助學生澄清這個問題（單選題）

a) “當你90 + 62 + 28時得到什么?”

b) “為什么從90中減去62可以得到未知內角的度數？”

c) “你怎樣找一個等腰三角形的未知角的度數？”

d) “你怎么知道這是一個正確的三角形？”

e) “如果這個角是17°而不是62°會怎么樣？”

此項目設計三角形內角和的知識，涉及到教師選擇什么樣的教學方式能夠讓學生理解數學知識．這道題測量教師幾何方向的關于內容和教學的知識，本題給出的答案是b，答案b的提問能夠引導學生在求解三角形中未知角度數的時候用到三角形的內角和為180°這個關鍵數學知識．

總之，MKT測試工具主要測試教師在教學中需要用到的數學知識，而不是教師教了什么．

4 數學教學知識的主要研究成果

自從密西根大學團隊提出數學教學知識的概念，研究者主要從4個方面對數學教學知識的發展進行介紹．

（1）密西根大學團隊從研究小學教師在日常教學中所需要的數學知識的質性分析入手編制數學教學知識測試題目，并在題目編制的過程中輔助運用大尺度測量的心理統計學知識探索數學教學知識的內涵及其成分[10,12,14]，到目前為止，密西根大學團隊擁有了K—8年級的MKT的測試工具．其他學者也對數學教學知識結構模型是否能運用到大學及高中數學教師身上做了研究[15]．

（2）Hill教授還研究了教師的數學教學知識水平與學生學業成就及教師特征之間的關系進行了研究，結果顯示教師的數學教學知識水平在統計意義上對于學生成績的預測是顯著的[16]，但影響學生成績的因素不僅僅是教師的數學教學知識，而且還有教師的教學方式[17]，課堂教學中使用的任務認知水平[18]等；教師的教學經驗也跟教師的數學教學知識水平有一定的相關關系[19]．

（3）教師的課堂教學與教師MKT之間的關系也引起了很大的興趣．Hill及其團隊對參加MKT測試的數學教師的課堂錄像進行編碼分析，發現教師的MKT與課堂的教學質量之間有顯著關系[20]．學者Morris等從職前教師角度分析教師的MKT與課堂教學計劃及實施的關系[21]；還有學者采用個案分析的研究方法說明教師的MKT與課堂教學之間的關系[22]；還有部分學者將MKT模型結構運用到具體的數學領域如“證明”[22]、“可導”[23]、“分數”[24]等．

（4）MKT測試工具也被在別的國家廣泛運用．雖然MKT的測試工具是由美國研究者基于美國數學教師開發研制，但數學教師的數學教學知識是每個國家的研究者所關心的問題，愛爾蘭、挪威、印度尼西亞、加納、韓國紛紛引入MKT測試工具，研究本國教師的為了教學的數學知識[25~29]．

5 討 論

研究者對于數學教學知識的研究起點是PCK的提出，舒爾曼認識到教學需要一種特殊的學科內容知識，值得研究者們對具體學科做深入的調查研究．Ball教授及其團隊對于數學教學知識的貢獻來源于教師的教學實踐，而且明確了教師的數學教學知識的成分，并開發了測量教師數學教學知識的測試工具．數學教學知識測試工具開發的目的不僅從理論上探索數學教學知識的內涵及其成分[4，7]，而且在實踐層面去測量教師數學教學知識的水平，了解教師數學教學知識現狀，而且還希望能測量這類知識對于學生學業成就的影響及對教師教學質量的影響．后續的研究表明教師的MKT對于學生學業成就預測是顯著的，而且和教師的教學質量呈現正相關[6]．這意味著提高教師的數學教學知識水平不僅能提高教師的教學質量而且還能提高學生的學習成績．這一有效且可信的測試工具大樣本測量得出的結論對于教育政策制定者提供決策依據．所以數學教學知識是一個值得繼續深入研究的課題．

（1）如何研發測量中國教師的數學教學知識的測試工具．中國和美國的基礎教育從課程的理念、課程的目標、課程的內容等方面都不盡相同，課堂教學是帶有文化色彩的活動[30]，所以中美兩國教師的日常教學實踐也有所不同．現有MKT的測試工具及其相關研究結果基于美國教師的日常教學實踐，研制開發出測試美國教師個體或群體的測試工具．那么如何借鑒美國的數學教學知識的測試工具的研發過程，去研制和開發中國數學教師的數學教學知識的有效且可信的測試工具呢？從而推斷中國教師的數學教學知識水平．

（2）教師數學教學知識水平對教師教學、學生學業成就的影響．美國研究表明教師的數學教學知識是影響課堂教學質量的因素之一，它與課堂教學質量有顯著的正相關關系，而且教師的數學教學知識對學生學業成績的預測是顯著的．那么對于中國數學教師的數學教學知識水平對教師教學與學生學業成就是怎么樣的影響呢？教師的數學教學知識的各組成部分對教師教學又分別有什么樣的影響，影響程度如何？教師的數學教學知識的各組成部分對學生的學業成就的影響又如何？

（3）對數學教師的專業發展提供針對性的培訓．根據數學教學知識的測試工具，測試在職教師或職前教師的數學教學知識，可以清楚獲得教師個體或群體的數學教學知識的水平分布圖，依據教師群體的數學教學知識的總體分布情況，進行有針對性的培訓，提高在職教師或者職前教師的數學教學知識水平，促進教師的專業發展．

（4）中國教師和別國教師的數學教學知識水平是否有區別．已有幾個國家依據自己國家的文化、課程內容等方面的差異，翻譯引進密西根大學所開發的數學教學知識測試工具測試本國教師的數學教學知識水平，中國亦可翻譯引進有效且可信的相同的測試工具對中國教師的數學教學知識水平進行測試，比較中國教師和別的國家教師的數學教學知識水平的區別，這些區別對中國的數學教學的質量是否有影響，對中國學生的學業成就的影響又是什么？

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Mathematical Knowledge for Teaching (MKT) Instrument and Its Applications

SHAO Zhen-hong, CAO Yi-ming
(Beijing Normal University, Mathematical Science School, Beijing 100875, China)

Learning Mathematics for Teaching (LMT) developed an instrument to measure teachers’ Mathematical Knowledge for Teaching ability based on the contribution of Shulman’s Pedagogical content knowledge. They collected data what teachers need for teaching mathematics, and piloted the survey with the U.S. mathematics teachers teaching 4-8 grades. The research group also explores the nature of MKT through the development of the instrument, and the relationships among MKT, teaching practice and students’ achievements. Other countries adopted and translated MKT instrument to measure their teachers’ mathematical knowledge for teaching.

mathematical knowledge for teaching; MKT; instrument

G420

：A

：1004–9894（2014）02–0040–05

[責任編校：周學智]

2013–11–20

2012年國家自然科學基金項目——用于多級評分認知診斷的統計模型研究（11171029）；美國National Science Foundation —— Cross-National Comparison of School and District Supports for High-Quality Mathematics Instruction in the U.S. and China（DRL-1321828）

邵珍紅（1980—），女，河南濮陽人，博士生，主要從事數學教育及數學測量與評價研究．