對中學數學美育教學的幾點認識

柴育柏

摘 要： 美育也是一種情感教育，而情感也是不能強制的，要靠美的自力魄力喚起，數學自力的魄力集中反映在：簡單，統一，對稱，奇異等審美原則。數學教學中，美育的途徑主要是：從審美原則入手，即教師應把數學中審美原則盡可能體現到數學教學和教法中，在教授數學知識的同時，按數學方法論的思想挖掘其背后的思想和美學價值，培養學生的美感和審美思維。

關鍵詞： 中學數學教學 美育 數學美

一

數學是研究客觀世界空間形式和數學關系的一門科學。數學具有美的特征表現在內容的抽象性、邏輯的嚴謹性、應用的廣泛性三大特點。數學是一種發人深省的理論美，既有自然美，又有藝術美。自然美主要是以具體的形象，藝術美則主要是以理想的形象，通過人們的感官，使人的情感得以激發、撫慰或共鳴，使人的思想得以陶醉、凈化或升華。正如許多科學家所言，數學是一門藝術。

將數學視為一門藝術，甚至把數學家稱之為藝術家，目前并不為大多數人所認識和理解。美國數學家A·波萊爾于80年代在一次題為《數學——藝術與科學》的講演中指出：“一方面，數學是門科學，因為他的主要目的是為自然科學和技術科學服務的，這個主要目的說的實際上正是數學的起源，常常稱為問題的源泉。另一方面，數學也是一門藝術，因為它主要是思維的創造靠才智取得進展，很多進展出自人類的腦海深處，而且只有美學標準才是最終的鑒定者。”[1]

數學理論的發現與偉大藝術作品的問世一樣，都是人類智力過程的結果，即發明與創造既是數學與藝術的共同基礎，又是數學家與藝術家所共同追求的目標。I·末勒說：“偉大的畫家，作家和音樂家以獨一無二的方式看待他們周圍的世界一樣，偉大的科學家也是這樣做的，特別是在創造的時刻，這些款項的屏障往往就消失了。”

法國著名的數學家彭加勒有句名言：“發明就是選擇。”事實上，任何領域的發明和創造都以思想組合的方式進行的。正如詩人保羅-瓦策里在《法國新聞論》中所總結的：“任何發明過程都是包括兩個方面，其一是進行思想的組合；其實選擇忽然識別那些我們所期待的組合，那些能夠給我們傳遞信息的組合。”數學和藝術有許多的統一性：在創造時刻上的統一性、數學理論與藝術作品在創造力上的統一性、數學理論與藝術作品在審美標準上的統一性。鑒于這么多的統一性，數學同樣有藝術一樣的美。

我們先了解一下什么叫“美”？美是心借物的形象表現情趣，是合規律性與合目的性的統一，美又是自由的形勢，完好、和諧、鮮明。真與善、規律性與目的性的統一，是美的本質與根源。科學家從自己的科學研究實踐中已經深刻認識到科學美、數學美的存在與作用。比如，作為一個偉大的科學家，彭加萊對科學美與數學美有強烈的感受：“一個名副其實的科學家，尤其是數學家，他在他的工作中體驗到和藝術一樣的印象，他的樂趣和藝術家的樂趣具有相同的性質，是同樣偉大的東西。”[2]這種“偉大的東西”就是與藝術美相提并論的科學美（數學美）。

實際上數學的美，也是數學知識中潛藏著的一種數學思想——美學思想。徐利冶教授認為：“數學的含義是豐富的，如數學概念的簡單性，統一性，結構系統的協調性。”在數學教育中，數學老師合理的語言，規范的板書，精辟的數理分析，想象的講解，嚴密的推理，無疑是數學教學中美育的體現。

美育是一種情感教育，而情感是不能強制的，要靠美的自力魄力喚起，數學自力魄力集中反映在：簡單，統一，對稱，奇異等審美原則，因此，數學教育中，美育的途徑主要是：從審美原則入手，即教師“應把數學中審美原則盡可能體現到數學教學和教法中”，在教授數學知識的同時，按數學方法論的思想挖掘其背后的美學思想，美學價值，以及培養學生的美感和審美思維。因為只有具備數學美的審美能力，學生才能體會到數學的魅力。不但在于形式上的“優美”，而且在于以嚴密的邏輯性展現了自然運動的真實圖景。數學美的這種強烈感染力，無疑將激起學生的學習動機，這正是教學成功的關鍵。以美啟真，能培養學生的數學創造性思維能力。

哲學家說過，沒的就是真的，而數學就是這樣一門“既美又真”的科學。數學美曾使人陶醉，執著地追求；又使人們在尋求數學中得到思維的結果，其中不少是中學生，如參加數學奧林匹克競賽的優秀分子。

但數學美在何處呢？數學美主要包括數學概念的簡單性、統一性，結構的協調性、對稱性，數學命題和數學模型的概括性、典型性和普遍性，數學還包含奇異性。“我這里所說的美，不是給我們感官以印象的美，也不是質地美和表現美。并非小看上述那種美，完全不是，而是這種美與科學美無關。我的意思是那種比較深奧的美，這種美在各部分的和諧秩序，并且純粹的理智能夠把握它，正是這種美使物體，也可以說使結構具有讓我們感官滿意的彩虹般的外表，沒有這種支持，這些倏忽即逝的夢幻之美其結果就不是完美的，因為它是模糊的、總是短暫的。相反，理性美可以充分達到其身。”[3]人們對數學的和諧美、簡單美、奇異美的追求，在很大程度上促進了數學的發展。例如射影集合的對偶原理，數學中自然對數的引進都是基于對美的追求，二進制的建立是對簡單美的追求；集合論的悖論是對奇異美的追求；而公理化方法是數學抽象美的高層次顯示。再舉個實際的例子：1772年，柏林天文臺太長、德國天文學家波德總結前人的經驗，整理發表了一個“波德定律”，為人們提供計算太陽與諸行星之間的距離的經驗法則。設地球與太陽之間的距離是10，則太陽到各行星的距離分別是：

上面的表格最下一列，若在12與48之間添上24，不計算首項0，其余項是一公比為2的等比數列。1781年，天王星被發現，它與太陽的距離為192按上面的規律為96×2+4=196，它與192甚為接近）。從數列的和諧性上看，人們懷疑在距離為28的位置上應有一顆小行星。天文學家忙碌了20年，1801年1月1日，意大利天文學家皮亞齊偶然在這個位置發現了一顆行星，且被命名為谷神星。這個例子說明自然界的規律性的美學特點，也可從中看出追求美學特點在探索自然規律中的作用。數學家曾指出：“我認為數學家無論是選擇題材還是判斷成功的標準，是非常自足的、美學的、不受（或幾乎不受）經驗的影響。”[1]

數學家阿達瑪明確地表示：“若要問及研究工作的未來是否能產生卓有成效的結果，嚴格地說，我們對此真是一無所知，但審美感是可以告訴我們的，除了美感以外，就看不出有任何東西能幫助我們去做預見了。”[2]這正是對數學審美創造的深刻體驗和精辟概括。馬克思認為，社會進步就是人類對美的追求的結晶。數學對自身發展所具有的創造性的審美價值，要求我們在教育過程中必須注意誘導、培養學生感受數學美的能力，這是數學教育的一個重要目標。正如英國數學家、哲學家羅素所說：“數學，如果正確的看它，不但擁有真理，而且也具有至上的美，正像雕刻的美，是一種冷而嚴厲的美。能夠達到嚴格的只有偉大的藝術才能顯示那種的境地。”[4]

二

科學之所以給人以美的感受和力量，就在于秩序、和諧、對稱、結構、奇異，這些都是使人們產生美感的客觀基礎，而數學恰恰集中了美的這些特點，并以純粹的形式表現出來。數學理性美表現為和諧美、簡單美、奇異美。不僅僅是這些，我認為數學的美還包含三個方面。

（一）數子形式結構的簡單性和應用的廣泛性

數學形式的簡單性和應用的廣泛性是由數學學科的特點決定的。簡單性是美的特點，從變化多端的自然現象中抽象出的數學概念，只能用簡單的數學形式表述出來，反之它有能解釋更多的現象。這就是數學美的體現。例如，自然數；“6”，可以表示6艘船，6支鋼筆，6只雞……空間中存在無窮多個三角形，形之多令人難以想象，但三角形的面積公式S=ah/2（S為三角形的面積，a為底，h為底邊上的高）適用于任何三角形。為此它又可推理出多邊形的面積公式，形式非常簡單，且應用廣泛。又譬如數學中的直線、圓、雙曲線、拋物線等解析幾何，本身是客觀事物的抽象，形可以用方程表述，達到數形結合。通過研究曲線方程討論曲線的性質。極坐標又將曲線統一起來。

如果教師在教學過程中能結合數學的發展史，形象地講述過程，就會使學生產生數學美的藝術享受。

隨著科技日新月異，數學影響并促進其他學科的發展。不僅物理、化學、生物學、信息學、天文學等自然科學要應用到數學，而且心理學、教育學、經濟學、文學等社會科學也要應用到數學。教師在教學過程中要根據學生的發展需要和實際情況，講解一些應用數學知識解決實際問題的例子。促使學生體會到數學應用的廣泛性，增強對“數學是科學大門的鑰匙”的認識，提高學習興趣，提高課堂教學質量。

（二）學具有對稱性和諧性

所謂和諧美，就是指部分與部分，部分與整體之間的和諧一致；對稱就是整體各部分之間的相稱與相適應。和諧也就是協調。對稱是形式美的要求，它給予人們一種圓滿勻稱的美感。數學歸根到底來自生產實踐，來自現實世界，因為自然本身是對稱的，和諧的，有規律的，反映到數學學科上表現為對稱美和和諧美。

數學幾何中的中心對稱，鏡像對稱都能給人一種舒適美的感覺；代數中多次方程虛根的成對出現，線段方程組矩體表示和克萊姆法則均呈現著對稱性，又如函數的圖像關于直線y=x對稱，等等。

數學題目本身的和諧性往往提供了很好的解題思路，同時追求數學的和諧性是達到解決問題的捷徑。比如：在三角形ABC中，求證：a+b+c/2abc=cosA/a+cosB/b+cosC/c.式子的左邊是邊的關系，右邊是角與邊的關系，兩邊不協調，如果將兩邊統一起來，都用邊的關系表示，會有什么結果呢？看它的推理： ，左邊=右邊。

例如：在對數運算中“換底公式”： 可將任意的對數化為同底的對數之比，使其協調一致，體現了一種內在的和諧美。實系數一元二次方程ax+bx+c=0的判別式△=b-4ac，當△﹥0時，方程有兩個不相等的實根；當△=0時，方程有兩個相等的實根；當△﹤0時，方程無實數根，體現了內在的和諧統一。

（三）數學體力的嚴謹性

數學邏輯的嚴謹性既是數學的特點，又是數學追求的目標。數學既反映現實世界，又服務于人的實際需要。它的初始概念和原始建立是以經驗為基礎的，經歷長期歷史時期的必然性結果。數學定理又是從概念出發，經過推理證實的，它的結論和證明是作為人們在實踐中所研究的各種現象聯系反映而產生的。數學是一個形式化的系統，這個系統中，數學概念，定理，等等，對元素通過符號邏輯語言表達為語句，而這些語句存在邏輯關系。正因為如此，數學有它的嚴密邏輯性和應用廣泛性。

古代數學家趙爽在證明勾股定理時，就利用拼成正方形的圖形加以證明。如圖，a，b，c為直角三角形的三條邊，∠C=90°，若記小正方形面積為S，大正方形的面積為S，那么

美的事物能使人們心情愉悅，反過來促使人們發現美的事物的存在，數學教學應該充分體現這一點。

愛美之心，人皆有之。愛美是人的天性，處于青少年時期的中小學生尤為突出。教師應該根據青少年愛美的特性進行審美觀教育。美育是教育學的一個分支，它的主要任務是通過培養學生的感知美、鑒賞美和進行正確評價的能力，逐漸使學生對生活、藝術、科學等各領域的美具有一定接受能力、理解能力和創造能力，從而培養學生高尚的審美情操，促進學生全面發展。

參考文獻：

[1]A·波萊爾80年代的一次題為《數學—藝術與科學》的演講.

[2]李醒民.彭加勒科學方法論的特色.哲學研究，1984（5），彭加勒即彭加萊.

[3][法國]彭加勒.哲學的價值.北京：光明日報出版，1988：357.

[4]馮·諾伊曼.“數學家”.數學史譯文集，第181-182頁.上海科學技術出版社，1981.

[5]阿達瑪.數學領域中的發明心理學.南京：江蘇教育出版社，1989：97.

[6][英國]羅素.我的哲學的發展.北京：商務印書館，1982：193.