整合類型，以通用模式突破應(yīng)用題難點(diǎn)

黃新慶

初中階段的新教材中，實(shí)際應(yīng)用問題指的是方程（組）、不等式（組）或者函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用問題，本文探討和研究的范圍只包括一次的方程、函數(shù)和一元一次不等式或不等式組、反比例函數(shù)等知識的實(shí)際應(yīng)用問題，不包括二次方程、二次函數(shù)。

通過本文的探討和研究，希望能達(dá)到以下兩個(gè)目標(biāo)：一、為教師和學(xué)生提供一種切實(shí)可行的，無論是教還是學(xué)，都易于上手操作的解題模式；二、整合各種方程和函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題，把它們統(tǒng)一到同一種通用的分析模式之下，大大地減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。切實(shí)可行的，易于上手操科作的解題模式究竟是什么樣的呢？簡而言之，在這樣的一個(gè)模式的指引下，學(xué)生讀完題目后，就應(yīng)該知道首先能做什么，怎么做；接下來又應(yīng)該做什么，怎么做。就是把整個(gè)解題的過程分解成較為固定的，容易上手操作的細(xì)小步驟，讓大多數(shù)學(xué)生有可能按照這個(gè)指引，把整道題慢慢地“蠶食”掉。這樣的一個(gè)目標(biāo)是很有針對性的，因?yàn)樵趯?shí)際的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生讀完題目后就顯得有點(diǎn)手足無措，但當(dāng)教師引導(dǎo)他們完成了最初的幾步后，他們一般就能自己把剩下的步驟完成，所以學(xué)生需要的不是高度概括的總結(jié)，而是可行的操作指引。

例題是教材向?qū)W生輸送知識的窗口，學(xué)生應(yīng)該能通過例題理解和掌握相關(guān)知識的使用技巧，觸類旁通從而達(dá)到舉一反三的效果。毫無疑問，無論新舊教材里所選的例題都是相當(dāng)?shù)湫偷摹５趯?shí)際使用中發(fā)現(xiàn)，不管是解答前的分析，還是解答過程本身，每一道例題基本上是相對獨(dú)立的，上一道題的分析解答對下一道題并沒有產(chǎn)生什么借鑒作用，在這一點(diǎn)上，例題并沒有起到讓學(xué)生觸類旁通的作用。

在實(shí)際教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題的題目面貌各異，但實(shí)質(zhì)幾乎都是一樣的。譬如，下面這兩道一元一次方程和反比例函數(shù)的應(yīng)用問題：

一元一次方程：把一些圖書分給某班同學(xué)閱讀，如果每人分3本，則剩余20本；如果每人分4本，則還缺25本。這個(gè)班有多少學(xué)生？

反比例函數(shù)：碼頭工人以每天30噸的速度往一艘輪船上裝載貨物，裝載完畢恰好用了8天時(shí)間。（1）輪船到達(dá)地后開始卸貨，卸貨速度v（單位：噸/天）與卸貨時(shí)間t（單位：天）之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系？（2）由于遇到緊急情況，船上的貨物必須在不超過5天內(nèi)卸載完畢，那么平均每天至少多少噸貨物？

從兩個(gè)方面來進(jìn)行比較我們就可以看出它們的類似之處：

（一）從每個(gè)問題的的結(jié)構(gòu)上來看，它們都敘述了兩種情況。（見表1）

（二）從每種情況所涉及到數(shù)量來看，它們都用到了三個(gè)數(shù)量，而且這個(gè)三個(gè)數(shù)量中一般有一個(gè)是已知的，有一個(gè)是題目要求解的，可以設(shè)為未知數(shù)，第三個(gè)則可以前兩個(gè)來表示。（見表2）

再仔細(xì)比較一下，就可以發(fā)現(xiàn)三個(gè)數(shù)量的敘述格式幾乎都是一致的：每個(gè)單位是多少，有幾個(gè)單位，共有多少。

接下來我們只需要把這三個(gè)問題中的相等或不等關(guān)系找出來就可列出方程（組）或不等式（組），從而解決問題了。判斷一個(gè)問題中的相等或不等關(guān)系可以通過尋找題目中的特征詞句來得到基本解決。分類歸納后我們可以得到這樣的一個(gè)常見的特征詞句表。（見表3）

只要我們在題目中找到表示類似意思的詞句，就可以大體上確定相等或不等關(guān)系，從而確定應(yīng)該用方程（組）或是用不等式（組）來解決了。

綜上所述，我們可以得到一個(gè)通用的分析模式：第一步，通讀題目后，找出題目中所敘述的兩種情況（當(dāng)然也會有只出現(xiàn)一種情況的情形，但那樣的問題一般都很簡單，所以不把它列入探討的范圍）。第二步，按照基本一致的格式“每個(gè)單位是多少，有幾個(gè)單位，共有多少”寫出每種情況所涉及到的三個(gè)數(shù)量，三個(gè)數(shù)量中一般有一個(gè)是已知的，有一個(gè)是題目要求解的，可以設(shè)為未知數(shù)，第三個(gè)則可以前兩個(gè)來表示。第三步，根據(jù)題意或特征詞句找出相等或不等關(guān)系，再根據(jù)相等或不等關(guān)系確定方程（組）或不等式（組）。

在綜合復(fù)習(xí)階段，這種通用模式的優(yōu)勢更加明顯。因?yàn)樵趩卧獙W(xué)習(xí)時(shí)，基本不會存在要區(qū)分一個(gè)問題用方程（組）還是不等式（組）的問題。但綜合復(fù)習(xí)，特別是在考試的時(shí)候?qū)W生就很可能面對這樣的一個(gè)問題了。掌握了通用模式后，這個(gè)問題基本就不存在了。

我們來看這樣的一道題：把一些書分給幾個(gè)學(xué)生，如果每人分3本，那么剩余8本；如果每人分5本，那么最后一人就分不到3本。這些書有多少本？學(xué)生有多少人？

在學(xué)習(xí)一元一次方程時(shí)也有一個(gè)高度相似的問題：把一些圖書分給某班同學(xué)閱讀，如果每人分3本，則剩余20本；如果每人分4本，則還缺25本。這個(gè)班有多少學(xué)生？

歷年總有不少學(xué)生把這兩道題搞混了，經(jīng)常列方程組來解決這個(gè)問題。但在通用的分析模式下，就很少出現(xiàn)這種情況了，因?yàn)橹灰床烤桶嗟刈鐾攴治鲞^程，最后只能得到不等式組。

由于這個(gè)模式的分析過程對思維能力的要求不高，而且模式比較固定，所以對于一個(gè)學(xué)有余力的學(xué)生來說，這樣的一個(gè)模式可能是沒有什么必要的，但對于一個(gè)學(xué)習(xí)能力不太強(qiáng)的學(xué)生來說，可能就是一個(gè)重塑學(xué)習(xí)信心的驚喜。當(dāng)然，有利必有弊，這是千古不變的真理，關(guān)鍵是如何在使用中不斷地改進(jìn)，不斷地完善它。

責(zé)任編輯 徐國堅(jiān)endprint

初中階段的新教材中，實(shí)際應(yīng)用問題指的是方程（組）、不等式（組）或者函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用問題，本文探討和研究的范圍只包括一次的方程、函數(shù)和一元一次不等式或不等式組、反比例函數(shù)等知識的實(shí)際應(yīng)用問題，不包括二次方程、二次函數(shù)。

通過本文的探討和研究，希望能達(dá)到以下兩個(gè)目標(biāo)：一、為教師和學(xué)生提供一種切實(shí)可行的，無論是教還是學(xué)，都易于上手操作的解題模式；二、整合各種方程和函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題，把它們統(tǒng)一到同一種通用的分析模式之下，大大地減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。切實(shí)可行的，易于上手操科作的解題模式究竟是什么樣的呢？簡而言之，在這樣的一個(gè)模式的指引下，學(xué)生讀完題目后，就應(yīng)該知道首先能做什么，怎么做；接下來又應(yīng)該做什么，怎么做。就是把整個(gè)解題的過程分解成較為固定的，容易上手操作的細(xì)小步驟，讓大多數(shù)學(xué)生有可能按照這個(gè)指引，把整道題慢慢地“蠶食”掉。這樣的一個(gè)目標(biāo)是很有針對性的，因?yàn)樵趯?shí)際的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生讀完題目后就顯得有點(diǎn)手足無措，但當(dāng)教師引導(dǎo)他們完成了最初的幾步后，他們一般就能自己把剩下的步驟完成，所以學(xué)生需要的不是高度概括的總結(jié)，而是可行的操作指引。

例題是教材向?qū)W生輸送知識的窗口，學(xué)生應(yīng)該能通過例題理解和掌握相關(guān)知識的使用技巧，觸類旁通從而達(dá)到舉一反三的效果。毫無疑問，無論新舊教材里所選的例題都是相當(dāng)?shù)湫偷摹５趯?shí)際使用中發(fā)現(xiàn)，不管是解答前的分析，還是解答過程本身，每一道例題基本上是相對獨(dú)立的，上一道題的分析解答對下一道題并沒有產(chǎn)生什么借鑒作用，在這一點(diǎn)上，例題并沒有起到讓學(xué)生觸類旁通的作用。

在實(shí)際教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題的題目面貌各異，但實(shí)質(zhì)幾乎都是一樣的。譬如，下面這兩道一元一次方程和反比例函數(shù)的應(yīng)用問題：

一元一次方程：把一些圖書分給某班同學(xué)閱讀，如果每人分3本，則剩余20本；如果每人分4本，則還缺25本。這個(gè)班有多少學(xué)生？

反比例函數(shù)：碼頭工人以每天30噸的速度往一艘輪船上裝載貨物，裝載完畢恰好用了8天時(shí)間。（1）輪船到達(dá)地后開始卸貨，卸貨速度v（單位：噸/天）與卸貨時(shí)間t（單位：天）之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系？（2）由于遇到緊急情況，船上的貨物必須在不超過5天內(nèi)卸載完畢，那么平均每天至少多少噸貨物？

從兩個(gè)方面來進(jìn)行比較我們就可以看出它們的類似之處：

（一）從每個(gè)問題的的結(jié)構(gòu)上來看，它們都敘述了兩種情況。（見表1）

（二）從每種情況所涉及到數(shù)量來看，它們都用到了三個(gè)數(shù)量，而且這個(gè)三個(gè)數(shù)量中一般有一個(gè)是已知的，有一個(gè)是題目要求解的，可以設(shè)為未知數(shù)，第三個(gè)則可以前兩個(gè)來表示。（見表2）

再仔細(xì)比較一下，就可以發(fā)現(xiàn)三個(gè)數(shù)量的敘述格式幾乎都是一致的：每個(gè)單位是多少，有幾個(gè)單位，共有多少。

接下來我們只需要把這三個(gè)問題中的相等或不等關(guān)系找出來就可列出方程（組）或不等式（組），從而解決問題了。判斷一個(gè)問題中的相等或不等關(guān)系可以通過尋找題目中的特征詞句來得到基本解決。分類歸納后我們可以得到這樣的一個(gè)常見的特征詞句表。（見表3）

只要我們在題目中找到表示類似意思的詞句，就可以大體上確定相等或不等關(guān)系，從而確定應(yīng)該用方程（組）或是用不等式（組）來解決了。

綜上所述，我們可以得到一個(gè)通用的分析模式：第一步，通讀題目后，找出題目中所敘述的兩種情況（當(dāng)然也會有只出現(xiàn)一種情況的情形，但那樣的問題一般都很簡單，所以不把它列入探討的范圍）。第二步，按照基本一致的格式“每個(gè)單位是多少，有幾個(gè)單位，共有多少”寫出每種情況所涉及到的三個(gè)數(shù)量，三個(gè)數(shù)量中一般有一個(gè)是已知的，有一個(gè)是題目要求解的，可以設(shè)為未知數(shù)，第三個(gè)則可以前兩個(gè)來表示。第三步，根據(jù)題意或特征詞句找出相等或不等關(guān)系，再根據(jù)相等或不等關(guān)系確定方程（組）或不等式（組）。

在綜合復(fù)習(xí)階段，這種通用模式的優(yōu)勢更加明顯。因?yàn)樵趩卧獙W(xué)習(xí)時(shí)，基本不會存在要區(qū)分一個(gè)問題用方程（組）還是不等式（組）的問題。但綜合復(fù)習(xí)，特別是在考試的時(shí)候?qū)W生就很可能面對這樣的一個(gè)問題了。掌握了通用模式后，這個(gè)問題基本就不存在了。

我們來看這樣的一道題：把一些書分給幾個(gè)學(xué)生，如果每人分3本，那么剩余8本；如果每人分5本，那么最后一人就分不到3本。這些書有多少本？學(xué)生有多少人？

在學(xué)習(xí)一元一次方程時(shí)也有一個(gè)高度相似的問題：把一些圖書分給某班同學(xué)閱讀，如果每人分3本，則剩余20本；如果每人分4本，則還缺25本。這個(gè)班有多少學(xué)生？

歷年總有不少學(xué)生把這兩道題搞混了，經(jīng)常列方程組來解決這個(gè)問題。但在通用的分析模式下，就很少出現(xiàn)這種情況了，因?yàn)橹灰床烤桶嗟刈鐾攴治鲞^程，最后只能得到不等式組。

由于這個(gè)模式的分析過程對思維能力的要求不高，而且模式比較固定，所以對于一個(gè)學(xué)有余力的學(xué)生來說，這樣的一個(gè)模式可能是沒有什么必要的，但對于一個(gè)學(xué)習(xí)能力不太強(qiáng)的學(xué)生來說，可能就是一個(gè)重塑學(xué)習(xí)信心的驚喜。當(dāng)然，有利必有弊，這是千古不變的真理，關(guān)鍵是如何在使用中不斷地改進(jìn)，不斷地完善它。

責(zé)任編輯 徐國堅(jiān)endprint

初中階段的新教材中，實(shí)際應(yīng)用問題指的是方程（組）、不等式（組）或者函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用問題，本文探討和研究的范圍只包括一次的方程、函數(shù)和一元一次不等式或不等式組、反比例函數(shù)等知識的實(shí)際應(yīng)用問題，不包括二次方程、二次函數(shù)。

通過本文的探討和研究，希望能達(dá)到以下兩個(gè)目標(biāo)：一、為教師和學(xué)生提供一種切實(shí)可行的，無論是教還是學(xué)，都易于上手操作的解題模式；二、整合各種方程和函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題，把它們統(tǒng)一到同一種通用的分析模式之下，大大地減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。切實(shí)可行的，易于上手操科作的解題模式究竟是什么樣的呢？簡而言之，在這樣的一個(gè)模式的指引下，學(xué)生讀完題目后，就應(yīng)該知道首先能做什么，怎么做；接下來又應(yīng)該做什么，怎么做。就是把整個(gè)解題的過程分解成較為固定的，容易上手操作的細(xì)小步驟，讓大多數(shù)學(xué)生有可能按照這個(gè)指引，把整道題慢慢地“蠶食”掉。這樣的一個(gè)目標(biāo)是很有針對性的，因?yàn)樵趯?shí)際的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生讀完題目后就顯得有點(diǎn)手足無措，但當(dāng)教師引導(dǎo)他們完成了最初的幾步后，他們一般就能自己把剩下的步驟完成，所以學(xué)生需要的不是高度概括的總結(jié)，而是可行的操作指引。

例題是教材向?qū)W生輸送知識的窗口，學(xué)生應(yīng)該能通過例題理解和掌握相關(guān)知識的使用技巧，觸類旁通從而達(dá)到舉一反三的效果。毫無疑問，無論新舊教材里所選的例題都是相當(dāng)?shù)湫偷摹５趯?shí)際使用中發(fā)現(xiàn)，不管是解答前的分析，還是解答過程本身，每一道例題基本上是相對獨(dú)立的，上一道題的分析解答對下一道題并沒有產(chǎn)生什么借鑒作用，在這一點(diǎn)上，例題并沒有起到讓學(xué)生觸類旁通的作用。

在實(shí)際教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題的題目面貌各異，但實(shí)質(zhì)幾乎都是一樣的。譬如，下面這兩道一元一次方程和反比例函數(shù)的應(yīng)用問題：

一元一次方程：把一些圖書分給某班同學(xué)閱讀，如果每人分3本，則剩余20本；如果每人分4本，則還缺25本。這個(gè)班有多少學(xué)生？

反比例函數(shù)：碼頭工人以每天30噸的速度往一艘輪船上裝載貨物，裝載完畢恰好用了8天時(shí)間。（1）輪船到達(dá)地后開始卸貨，卸貨速度v（單位：噸/天）與卸貨時(shí)間t（單位：天）之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系？（2）由于遇到緊急情況，船上的貨物必須在不超過5天內(nèi)卸載完畢，那么平均每天至少多少噸貨物？

從兩個(gè)方面來進(jìn)行比較我們就可以看出它們的類似之處：

（一）從每個(gè)問題的的結(jié)構(gòu)上來看，它們都敘述了兩種情況。（見表1）

（二）從每種情況所涉及到數(shù)量來看，它們都用到了三個(gè)數(shù)量，而且這個(gè)三個(gè)數(shù)量中一般有一個(gè)是已知的，有一個(gè)是題目要求解的，可以設(shè)為未知數(shù)，第三個(gè)則可以前兩個(gè)來表示。（見表2）

再仔細(xì)比較一下，就可以發(fā)現(xiàn)三個(gè)數(shù)量的敘述格式幾乎都是一致的：每個(gè)單位是多少，有幾個(gè)單位，共有多少。

接下來我們只需要把這三個(gè)問題中的相等或不等關(guān)系找出來就可列出方程（組）或不等式（組），從而解決問題了。判斷一個(gè)問題中的相等或不等關(guān)系可以通過尋找題目中的特征詞句來得到基本解決。分類歸納后我們可以得到這樣的一個(gè)常見的特征詞句表。（見表3）

只要我們在題目中找到表示類似意思的詞句，就可以大體上確定相等或不等關(guān)系，從而確定應(yīng)該用方程（組）或是用不等式（組）來解決了。

綜上所述，我們可以得到一個(gè)通用的分析模式：第一步，通讀題目后，找出題目中所敘述的兩種情況（當(dāng)然也會有只出現(xiàn)一種情況的情形，但那樣的問題一般都很簡單，所以不把它列入探討的范圍）。第二步，按照基本一致的格式“每個(gè)單位是多少，有幾個(gè)單位，共有多少”寫出每種情況所涉及到的三個(gè)數(shù)量，三個(gè)數(shù)量中一般有一個(gè)是已知的，有一個(gè)是題目要求解的，可以設(shè)為未知數(shù)，第三個(gè)則可以前兩個(gè)來表示。第三步，根據(jù)題意或特征詞句找出相等或不等關(guān)系，再根據(jù)相等或不等關(guān)系確定方程（組）或不等式（組）。

在綜合復(fù)習(xí)階段，這種通用模式的優(yōu)勢更加明顯。因?yàn)樵趩卧獙W(xué)習(xí)時(shí)，基本不會存在要區(qū)分一個(gè)問題用方程（組）還是不等式（組）的問題。但綜合復(fù)習(xí)，特別是在考試的時(shí)候?qū)W生就很可能面對這樣的一個(gè)問題了。掌握了通用模式后，這個(gè)問題基本就不存在了。

我們來看這樣的一道題：把一些書分給幾個(gè)學(xué)生，如果每人分3本，那么剩余8本；如果每人分5本，那么最后一人就分不到3本。這些書有多少本？學(xué)生有多少人？

在學(xué)習(xí)一元一次方程時(shí)也有一個(gè)高度相似的問題：把一些圖書分給某班同學(xué)閱讀，如果每人分3本，則剩余20本；如果每人分4本，則還缺25本。這個(gè)班有多少學(xué)生？

歷年總有不少學(xué)生把這兩道題搞混了，經(jīng)常列方程組來解決這個(gè)問題。但在通用的分析模式下，就很少出現(xiàn)這種情況了，因?yàn)橹灰床烤桶嗟刈鐾攴治鲞^程，最后只能得到不等式組。

由于這個(gè)模式的分析過程對思維能力的要求不高，而且模式比較固定，所以對于一個(gè)學(xué)有余力的學(xué)生來說，這樣的一個(gè)模式可能是沒有什么必要的，但對于一個(gè)學(xué)習(xí)能力不太強(qiáng)的學(xué)生來說，可能就是一個(gè)重塑學(xué)習(xí)信心的驚喜。當(dāng)然，有利必有弊，這是千古不變的真理，關(guān)鍵是如何在使用中不斷地改進(jìn)，不斷地完善它。

責(zé)任編輯 徐國堅(jiān)endprint