中考存在性試題的思維探究

李秀明

存在性探究題是指在一定的條件下，判斷某種數學對象是否存在的問題，它有結論存在和結論不存在兩種情形.解答這類問題，一般先假設所探究的對象已知存在，然后建立適當的數學模型（如函數、方程、不等式等），運用一定的數學思想方法（如數形結合、分類討論等），通過計算或推理，如果探究出與條件相符號的結果，則說明假設成立，并由此得出問題的結論；否則就不存在.

一、存在直線與拋物線只有一個點

例1：已知點A（-1，-1）在拋物線y=（k2-1）x2-2（k-2）x+1是上.（1）求拋物線的對稱軸；（2）若B點與A點關于拋物線的對稱軸，問是否存在與拋物線只交于一點B的直線？如果存在，求符合條件的直線；如果不存在說明理由.

思路點撥：①用待定系數法求拋物線的解析式；②根據拋物線的對稱軸公式求對稱軸，或用配方法求對稱軸；③由對稱軸的性質求出點A關于x=-■的軸對稱點B的坐標；④求點的坐標轉化為求過點B直線的解析式與拋物線的解析式組成方程組的解，但別忘了過B點平行于y軸的那條直線.

二、存在直線與直線平行（或垂直）

例2：（2009上海中考）如圖，已知在正方形ABCD中，AB=2，P是邊BC上的任意一點，E是邊BC延長線上點，連結AP.過點P作PF⊥AP，與∠DCE的平分線CF相交于點F.連結AF，與邊CD相交于點G，連結PG.（1）求證：AP=FP；（2）⊙P、⊙G的半徑分別是PB、GD，試判斷⊙P與⊙G兩圓的位置關系，并說明理由；（3）當BP取何值時，PG∥CF.

思路點撥：①先證△ABP∽△PNF，再證△ABP≌△PNF； ②作輔助線，證△APM≌△APG；③由平行線的性質及等腰直角三角形的性質，由（2）的數量關系PG=BP+GD，建立方程求解.

三、存在直線與圓相切

例3：（惠州市中考試題）已知：如圖（圖略），拋物線y=-■x2-■x+■的圖像與x軸分別交于A、B兩點，與y軸交于C點，⊙M經過原點O及A，C，點D是劣弧OA上一動點（D點與A，O不重合）.（1）求⊙M的面積；（2）連接CD交AO于點F，延長CD至G，使FG=2，試探究當點D運動到何處時，直線GA與⊙M相切，并請說明理由.

思路點撥：①求圓的面積關鍵是求圓的半徑；②由直線與圓相切的知識，猜想點D是弧AO的中點，由點D是弧AO的中點證明直線GA與⊙M相切.

四、存在特殊三角形（等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、等腰直角三角形）

例4：（2009重慶市中考）已知：如圖，在平面直角坐標系xoy中，矩形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA=2，OC=3，過原點O作∠AOC的平分線交AB于點D，連結DC，過點D作DE⊥DC，交OA于點E.（1）求過點E、D、C的拋物線的解析式；（2）將∠EDC繞點D按順時針方向旋轉后，角的一邊與y軸的正半軸交于點F，另一邊與線段OC交于點G.如果DF與（1）中的拋物線交于另一點M，點M的橫坐標為■，那么EF=20G是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；（3）對于（2）中的點G，在位于第一象限內的該拋物線上是否存在點Q，使得直線GQ與AB的交點P與點C、G構成的△PCG是等腰三角形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

思路點撥：①用待定系數法求拋物線的解析式，這個解析式在第（2）、（3）題的計算中要用到；②過點M作MN⊥AB，根據對應線段成比例可以求FA的長；③將∠EDC繞點D旋轉的過程中，△DCG與△DEF保持全等；④第（3）題反客為主，分三種情況討論△PCG為等腰三角形，根據點P的位置確定點Q的位置，再計算點Q 的坐標.

五、存在特殊四邊形（平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形）

例5：（2011廣東中考）如圖，拋物線y=-■x2+■x+1與y軸交于A點，過點A的直線與拋物線交于另一點B，過點B作BC⊥x軸，垂足為點C（3，0）.（1）求直線AB的函數關系式；（2）動點P在線段OC上原點O出發以每秒一個單位的速度向C移動，過點P作PN⊥x軸，交直線AB于點M，交拋物線于點N.設點P移動的時間為t秒，MN的長度為s個單位.求s與t的函數關系式，并寫出t的取值范圍；（3）設在（2）的條件下（不考慮點P與點O、點C重合的情況），連接CM、BN，當t為何值時，四邊形BCMN為平行四邊形？問對于所求的t值，平行四邊形BCMN是否為菱形？請說明理由.

評析：本題是代數與幾何的綜合運用，解題時應多角度、多線索深入分析，靈活運用數形結合的思想、數學建模的思想、分析討論的思想、轉化的思想、待定系數法等多種數學思想與方法.

六、存在三角形相似

例6：（2011深圳市中考）如圖①，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點為C（1，4），交x軸于A，B兩點，交y軸于點D，其中點B的坐標為（3，0）.（1）求拋物線的解析式；（2）如圖②（圖略），過點A的直線與拋物線交于點E，交y軸于點F，其中點E的橫坐標為2，若直線PQ為拋物線的對稱軸，點G為直線PQ上的一動點，則x軸上是否存在一點H，使D、G、H、F四點所圍成的四邊形周長最小.若不存在，請說明理由；（3）如圖③（圖略），在拋物線上是否存在一點T，過點T作x軸的垂線，垂足為點M，過點M作MN∥BD，交線段AD于點N，連接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出點T的坐標；若不存在，請說明理由.

評價：本題考查學生二次函數與四邊形、相似三角形等幾何知識的綜合運用能力.

七、存在相等距離（或相等面積、等周長、定值）

例7：（2009上海市中考）二次函數y=-■x2+bx+c的圖像經過點A（4，0）、B（-4，-4），且與y軸交于點C.（1）試求此二次函數的解析式；（2）試證明：∠BAO=∠CAO（其中O是原點）；（3）若P是線段AB上的一個動點（不與A、B重合），過P作y軸的平行線，分別交此二次函數圖像及x軸Q、H兩點，試問：是否存在這樣的點P，使PH=2QH？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.endprint

思路點撥：①用待定系數法求二次函數的解析式；②數形結合，求∠BAO與∠CAO的正切值，可以判定∠BAO=∠CAO；③分類討論PH=2QH，根據點Q的位置分兩種情況；④利用典型題目的結論，把PH=2QH時點，Q的位置轉化為OD、OC的中點問題.

八、存在最大值（或最小值）

例8： （2011陜西中考）如圖①，在矩形ABCD中，將矩形折疊，使點B落在邊AD（含端點）上，落點記為E，這時折痕與邊BC或邊CD（含端點）交于點F.然后再展開平鋪，則以B，E，F為頂點的△BEF稱為矩形ABCD的“折痕三角形”. （1）由“折痕三角形”的定義可知，矩形ABCDD的任意一個“折痕△BEF”一定是一個 三角形；（2）如圖②（圖略），在矩形ABCD中，AB=2，BC=4.當它的“折痕△BEF”的頂點E位于邊AD的中點時，畫出這個“折痕△BEF”，并求出點F的坐標；（3）如圖③（圖略），在矩形ABCD中，AB=2，BC=4.該矩形是否存在面積最大的“折痕△BEF”？若存在，說明理由，并求出此時點E的坐標；若不存在，為什么？

評析：本題考查學生的閱讀理解及圖形的操作能力，首先閱讀題意，理解最基本的概念“折痕三角形”，然后利用此概念解決有關問題，此過程中畫出滿足題意的圖形是解決問題的關鍵，然后根據圖形，分析出數量關系從而解決問題.

九、“不存在”的問題

例9：（2009上海中考）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=kx+b分別與x軸負半軸交于點A，與y軸正半軸交于點B，⊙P經過點A、點B（圓心P在x軸負半軸上），已知AB=10，AP=■.（1）求點P到AB的距離；求直線y=kx+b的解析式；（3）在⊙P上是否存在點Q，使以A、P、B、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在點Q，使A、P、B、Q對頂點的四邊形是菱形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，并說明理由.

思路點撥：①求點P到AB的距離要用到垂徑定理和勾股定理；②求直線的解析式的前提是求點A、B的坐標，求點A、B的坐標的關鍵是解直角三角形AOB；③以AB為對角線或者分類討論菱形的存在性，當AB為對角線時，兩條對角線不互相平分；當AB為邊時，兩鄰邊不相等.

存在性題型的考察，是對學生對所學數學知識的全面綜合的檢測，它考察的是學生的分析問題、解決問題的能力，考察學生對所學知識的靈活運用，考察的是學生的學科綜合素質.因此，我們的日常的教學中，除了做好雙基的教學工作外，還應注意抓好學生的數學意識和數學基本思想以及數學基本能力的培養.

責任編輯 羅峰endprint

思路點撥：①用待定系數法求二次函數的解析式；②數形結合，求∠BAO與∠CAO的正切值，可以判定∠BAO=∠CAO；③分類討論PH=2QH，根據點Q的位置分兩種情況；④利用典型題目的結論，把PH=2QH時點，Q的位置轉化為OD、OC的中點問題.

八、存在最大值（或最小值）

例8： （2011陜西中考）如圖①，在矩形ABCD中，將矩形折疊，使點B落在邊AD（含端點）上，落點記為E，這時折痕與邊BC或邊CD（含端點）交于點F.然后再展開平鋪，則以B，E，F為頂點的△BEF稱為矩形ABCD的“折痕三角形”. （1）由“折痕三角形”的定義可知，矩形ABCDD的任意一個“折痕△BEF”一定是一個 三角形；（2）如圖②（圖略），在矩形ABCD中，AB=2，BC=4.當它的“折痕△BEF”的頂點E位于邊AD的中點時，畫出這個“折痕△BEF”，并求出點F的坐標；（3）如圖③（圖略），在矩形ABCD中，AB=2，BC=4.該矩形是否存在面積最大的“折痕△BEF”？若存在，說明理由，并求出此時點E的坐標；若不存在，為什么？

評析：本題考查學生的閱讀理解及圖形的操作能力，首先閱讀題意，理解最基本的概念“折痕三角形”，然后利用此概念解決有關問題，此過程中畫出滿足題意的圖形是解決問題的關鍵，然后根據圖形，分析出數量關系從而解決問題.

九、“不存在”的問題

例9：（2009上海中考）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=kx+b分別與x軸負半軸交于點A，與y軸正半軸交于點B，⊙P經過點A、點B（圓心P在x軸負半軸上），已知AB=10，AP=■.（1）求點P到AB的距離；求直線y=kx+b的解析式；（3）在⊙P上是否存在點Q，使以A、P、B、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在點Q，使A、P、B、Q對頂點的四邊形是菱形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，并說明理由.

思路點撥：①求點P到AB的距離要用到垂徑定理和勾股定理；②求直線的解析式的前提是求點A、B的坐標，求點A、B的坐標的關鍵是解直角三角形AOB；③以AB為對角線或者分類討論菱形的存在性，當AB為對角線時，兩條對角線不互相平分；當AB為邊時，兩鄰邊不相等.

存在性題型的考察，是對學生對所學數學知識的全面綜合的檢測，它考察的是學生的分析問題、解決問題的能力，考察學生對所學知識的靈活運用，考察的是學生的學科綜合素質.因此，我們的日常的教學中，除了做好雙基的教學工作外，還應注意抓好學生的數學意識和數學基本思想以及數學基本能力的培養.

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思路點撥：①用待定系數法求二次函數的解析式；②數形結合，求∠BAO與∠CAO的正切值，可以判定∠BAO=∠CAO；③分類討論PH=2QH，根據點Q的位置分兩種情況；④利用典型題目的結論，把PH=2QH時點，Q的位置轉化為OD、OC的中點問題.

八、存在最大值（或最小值）

例8： （2011陜西中考）如圖①，在矩形ABCD中，將矩形折疊，使點B落在邊AD（含端點）上，落點記為E，這時折痕與邊BC或邊CD（含端點）交于點F.然后再展開平鋪，則以B，E，F為頂點的△BEF稱為矩形ABCD的“折痕三角形”. （1）由“折痕三角形”的定義可知，矩形ABCDD的任意一個“折痕△BEF”一定是一個 三角形；（2）如圖②（圖略），在矩形ABCD中，AB=2，BC=4.當它的“折痕△BEF”的頂點E位于邊AD的中點時，畫出這個“折痕△BEF”，并求出點F的坐標；（3）如圖③（圖略），在矩形ABCD中，AB=2，BC=4.該矩形是否存在面積最大的“折痕△BEF”？若存在，說明理由，并求出此時點E的坐標；若不存在，為什么？

評析：本題考查學生的閱讀理解及圖形的操作能力，首先閱讀題意，理解最基本的概念“折痕三角形”，然后利用此概念解決有關問題，此過程中畫出滿足題意的圖形是解決問題的關鍵，然后根據圖形，分析出數量關系從而解決問題.

九、“不存在”的問題

例9：（2009上海中考）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=kx+b分別與x軸負半軸交于點A，與y軸正半軸交于點B，⊙P經過點A、點B（圓心P在x軸負半軸上），已知AB=10，AP=■.（1）求點P到AB的距離；求直線y=kx+b的解析式；（3）在⊙P上是否存在點Q，使以A、P、B、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在點Q，使A、P、B、Q對頂點的四邊形是菱形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，并說明理由.

思路點撥：①求點P到AB的距離要用到垂徑定理和勾股定理；②求直線的解析式的前提是求點A、B的坐標，求點A、B的坐標的關鍵是解直角三角形AOB；③以AB為對角線或者分類討論菱形的存在性，當AB為對角線時，兩條對角線不互相平分；當AB為邊時，兩鄰邊不相等.

存在性題型的考察，是對學生對所學數學知識的全面綜合的檢測，它考察的是學生的分析問題、解決問題的能力，考察學生對所學知識的靈活運用，考察的是學生的學科綜合素質.因此，我們的日常的教學中，除了做好雙基的教學工作外，還應注意抓好學生的數學意識和數學基本思想以及數學基本能力的培養.

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