高中數(shù)學(xué)考試中的數(shù)列問(wèn)題解題技巧分析

孫小星

引言：數(shù)列包含了需要重要的數(shù)學(xué)思想，在考試中對(duì)于數(shù)列知識(shí)的考察比較全面，在高考中具有逐漸加強(qiáng)的趨勢(shì)。在考試中不僅考察數(shù)列極限、數(shù)學(xué)歸納法等基本的基礎(chǔ)知識(shí)，而且常常和解析幾何等知識(shí)結(jié)合起來(lái)，考查學(xué)生綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力。

一、遞推數(shù)列的解題技巧

數(shù)列作為高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中的重要內(nèi)容，具有起點(diǎn)低、難度大、技巧性強(qiáng)而且直觀性不強(qiáng)的特點(diǎn)，常常是考試和競(jìng)賽中的熱點(diǎn)內(nèi)容。在數(shù)列問(wèn)題中求通項(xiàng)公式是其中的核心內(nèi)容，雖然等差數(shù)列和等比數(shù)列是學(xué)生常見的通項(xiàng)式形式，但是在實(shí)際的考試試題中數(shù)列的通項(xiàng)公式往往比較復(fù)雜。同時(shí)在解決數(shù)列問(wèn)題時(shí)，常常需要先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后才能進(jìn)一步的解決其它數(shù)學(xué)問(wèn)題。

例1設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，而且Sn=-bn+1- ，b是一個(gè)和n沒有關(guān)系的常數(shù)，而且b≠1，請(qǐng)用n和b表示出an的表達(dá)式。

解： ；

整理可以得到a1= ；

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=-b（an- an-1）+ ；

整理得 。

從而可以推得

通過(guò)不斷的遞推可以得到an=

從而可以得到

二、數(shù)列和不等式結(jié)合問(wèn)題解題技巧

在數(shù)學(xué)試題中數(shù)列和不等式常常結(jié)合起來(lái)作為壓軸題目出現(xiàn)，在數(shù)學(xué)試題中的比重比較大，因此應(yīng)當(dāng)重視數(shù)列和不等式的綜合解題策略。同時(shí)在求解數(shù)列中的最值問(wèn)題時(shí)，常常需要和不等式結(jié)合起來(lái)進(jìn)行解決，通過(guò)建立相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)來(lái)得到最值，將數(shù)列問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的問(wèn)題，或者利用題目中的條件來(lái)確定不等式中的最值。

例2假設(shè)a>0，b>0，其中是3a、3b的等比中項(xiàng)，那么 的最小值為多少？

分析：根據(jù)等比中項(xiàng)的關(guān)系可以建立a，b之間的關(guān)系式，然后按照不等式求最值的方法求解即可。

解：由于3a·3b=3，所以可以得到a+b=1，

而且只有當(dāng) 時(shí)，a=b才能成立。在本題目中不僅考察了指數(shù)函數(shù)和數(shù)列的知識(shí)，而且也考察了不等式求最值的知識(shí)，對(duì)于學(xué)生的變通能力具有比較高的要求。

數(shù)列和不等式證明的綜合題目也是考試中常見的考察項(xiàng)目，在解決這類問(wèn)題時(shí)常常利用比較的方法。特別是差值比較法是其中常見的方法，分析法和綜合法也是其中常見的方法，此外還有放縮方法，通過(guò)適當(dāng)?shù)脑黾踊蛘邷p少項(xiàng)數(shù)，擴(kuò)大或者縮小分母的方法可以達(dá)到解題的目的。

例3已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn=2n2+2n，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和為Tn=2-bn。

（1）求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)cn=an·bn，試證明：當(dāng)且僅當(dāng)n≥3時(shí)，有cn+1

分析 由于可以求出an和bn的關(guān)系式，在求出之后可以得到cn的表達(dá)式，通過(guò)做商法來(lái)比較大小。

解：（1）由于a1=S1=4，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=（2n2+2n-[2（n-1）2+2（n-1）]=4n，可以得到an=4n。

當(dāng)n≥2時(shí)，bn=Tn-Tn-1=（2-bn）-（2- bn-1），可以得到2bn=bn-1所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1，公比為1/2的等比數(shù)列，從而可以得到 。

（2）由（1）可以得到

可以得到

；

由于 <1，從而可以得到

則n2-2n-1>0，即

n>1+ ，那么有n≥3。

又由于n≥3時(shí)， <1成立，所以 <1時(shí)，原式cn>0成立。

三、結(jié)語(yǔ)

數(shù)列不僅是高中數(shù)學(xué)重要的基礎(chǔ)知識(shí)，而且其中還蘊(yùn)涵了豐富的數(shù)學(xué)思想和方法，并且和其它的數(shù)學(xué)知識(shí)例如函數(shù)、方程、不等式等都具有比較密切的關(guān)系，而且還和微積分知識(shí)有著比較緊密的關(guān)系。同時(shí)隨著信息技術(shù)的發(fā)展，數(shù)列作為數(shù)學(xué)中的基本知識(shí)得到了廣泛的應(yīng)用，而且也在經(jīng)濟(jì)、工科等方面的研究中占有重要的地位。數(shù)列知識(shí)是對(duì)遞歸序列的提升和系統(tǒng)化，它同時(shí)也推動(dòng)了中學(xué)數(shù)學(xué)建模的發(fā)展，對(duì)于幫助提高學(xué)生分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力都具有重要的促進(jìn)作用。但是由于數(shù)列題型的變化比較復(fù)雜，在解題的過(guò)程中不僅要掌握好相關(guān)的數(shù)列知識(shí)，而且還應(yīng)當(dāng)掌握其它的數(shù)學(xué)知識(shí)，這樣才能使有效的解決數(shù)列問(wèn)題。

參考文獻(xiàn)

[1] 徐伯銜.例談數(shù)列中不等關(guān)系的解題思想[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2009（11）：317-318.

[2] 萬(wàn)麗娜，咸遠(yuǎn)峰.遞推數(shù)列通項(xiàng)的九個(gè)模型[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），2010（5）：168-169.

引言：數(shù)列包含了需要重要的數(shù)學(xué)思想，在考試中對(duì)于數(shù)列知識(shí)的考察比較全面，在高考中具有逐漸加強(qiáng)的趨勢(shì)。在考試中不僅考察數(shù)列極限、數(shù)學(xué)歸納法等基本的基礎(chǔ)知識(shí)，而且常常和解析幾何等知識(shí)結(jié)合起來(lái)，考查學(xué)生綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力。

一、遞推數(shù)列的解題技巧

數(shù)列作為高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中的重要內(nèi)容，具有起點(diǎn)低、難度大、技巧性強(qiáng)而且直觀性不強(qiáng)的特點(diǎn)，常常是考試和競(jìng)賽中的熱點(diǎn)內(nèi)容。在數(shù)列問(wèn)題中求通項(xiàng)公式是其中的核心內(nèi)容，雖然等差數(shù)列和等比數(shù)列是學(xué)生常見的通項(xiàng)式形式，但是在實(shí)際的考試試題中數(shù)列的通項(xiàng)公式往往比較復(fù)雜。同時(shí)在解決數(shù)列問(wèn)題時(shí)，常常需要先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后才能進(jìn)一步的解決其它數(shù)學(xué)問(wèn)題。

例1設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，而且Sn=-bn+1- ，b是一個(gè)和n沒有關(guān)系的常數(shù)，而且b≠1，請(qǐng)用n和b表示出an的表達(dá)式。

解： ；

整理可以得到a1= ；

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=-b（an- an-1）+ ；

整理得 。

從而可以推得

通過(guò)不斷的遞推可以得到an=

從而可以得到

二、數(shù)列和不等式結(jié)合問(wèn)題解題技巧

在數(shù)學(xué)試題中數(shù)列和不等式常常結(jié)合起來(lái)作為壓軸題目出現(xiàn)，在數(shù)學(xué)試題中的比重比較大，因此應(yīng)當(dāng)重視數(shù)列和不等式的綜合解題策略。同時(shí)在求解數(shù)列中的最值問(wèn)題時(shí)，常常需要和不等式結(jié)合起來(lái)進(jìn)行解決，通過(guò)建立相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)來(lái)得到最值，將數(shù)列問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的問(wèn)題，或者利用題目中的條件來(lái)確定不等式中的最值。

例2假設(shè)a>0，b>0，其中是3a、3b的等比中項(xiàng)，那么 的最小值為多少？

分析：根據(jù)等比中項(xiàng)的關(guān)系可以建立a，b之間的關(guān)系式，然后按照不等式求最值的方法求解即可。

解：由于3a·3b=3，所以可以得到a+b=1，

而且只有當(dāng) 時(shí)，a=b才能成立。在本題目中不僅考察了指數(shù)函數(shù)和數(shù)列的知識(shí)，而且也考察了不等式求最值的知識(shí)，對(duì)于學(xué)生的變通能力具有比較高的要求。

數(shù)列和不等式證明的綜合題目也是考試中常見的考察項(xiàng)目，在解決這類問(wèn)題時(shí)常常利用比較的方法。特別是差值比較法是其中常見的方法，分析法和綜合法也是其中常見的方法，此外還有放縮方法，通過(guò)適當(dāng)?shù)脑黾踊蛘邷p少項(xiàng)數(shù)，擴(kuò)大或者縮小分母的方法可以達(dá)到解題的目的。

例3已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn=2n2+2n，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和為Tn=2-bn。

（1）求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)cn=an·bn，試證明：當(dāng)且僅當(dāng)n≥3時(shí)，有cn+1

分析 由于可以求出an和bn的關(guān)系式，在求出之后可以得到cn的表達(dá)式，通過(guò)做商法來(lái)比較大小。

解：（1）由于a1=S1=4，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=（2n2+2n-[2（n-1）2+2（n-1）]=4n，可以得到an=4n。

當(dāng)n≥2時(shí)，bn=Tn-Tn-1=（2-bn）-（2- bn-1），可以得到2bn=bn-1所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1，公比為1/2的等比數(shù)列，從而可以得到 。

（2）由（1）可以得到

可以得到

；

由于 <1，從而可以得到

則n2-2n-1>0，即

n>1+ ，那么有n≥3。

又由于n≥3時(shí)， <1成立，所以 <1時(shí)，原式cn>0成立。

三、結(jié)語(yǔ)

數(shù)列不僅是高中數(shù)學(xué)重要的基礎(chǔ)知識(shí)，而且其中還蘊(yùn)涵了豐富的數(shù)學(xué)思想和方法，并且和其它的數(shù)學(xué)知識(shí)例如函數(shù)、方程、不等式等都具有比較密切的關(guān)系，而且還和微積分知識(shí)有著比較緊密的關(guān)系。同時(shí)隨著信息技術(shù)的發(fā)展，數(shù)列作為數(shù)學(xué)中的基本知識(shí)得到了廣泛的應(yīng)用，而且也在經(jīng)濟(jì)、工科等方面的研究中占有重要的地位。數(shù)列知識(shí)是對(duì)遞歸序列的提升和系統(tǒng)化，它同時(shí)也推動(dòng)了中學(xué)數(shù)學(xué)建模的發(fā)展，對(duì)于幫助提高學(xué)生分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力都具有重要的促進(jìn)作用。但是由于數(shù)列題型的變化比較復(fù)雜，在解題的過(guò)程中不僅要掌握好相關(guān)的數(shù)列知識(shí)，而且還應(yīng)當(dāng)掌握其它的數(shù)學(xué)知識(shí)，這樣才能使有效的解決數(shù)列問(wèn)題。

參考文獻(xiàn)

[1] 徐伯銜.例談數(shù)列中不等關(guān)系的解題思想[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2009（11）：317-318.

[2] 萬(wàn)麗娜，咸遠(yuǎn)峰.遞推數(shù)列通項(xiàng)的九個(gè)模型[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），2010（5）：168-169.

引言：數(shù)列包含了需要重要的數(shù)學(xué)思想，在考試中對(duì)于數(shù)列知識(shí)的考察比較全面，在高考中具有逐漸加強(qiáng)的趨勢(shì)。在考試中不僅考察數(shù)列極限、數(shù)學(xué)歸納法等基本的基礎(chǔ)知識(shí)，而且常常和解析幾何等知識(shí)結(jié)合起來(lái)，考查學(xué)生綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力。

一、遞推數(shù)列的解題技巧

數(shù)列作為高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中的重要內(nèi)容，具有起點(diǎn)低、難度大、技巧性強(qiáng)而且直觀性不強(qiáng)的特點(diǎn)，常常是考試和競(jìng)賽中的熱點(diǎn)內(nèi)容。在數(shù)列問(wèn)題中求通項(xiàng)公式是其中的核心內(nèi)容，雖然等差數(shù)列和等比數(shù)列是學(xué)生常見的通項(xiàng)式形式，但是在實(shí)際的考試試題中數(shù)列的通項(xiàng)公式往往比較復(fù)雜。同時(shí)在解決數(shù)列問(wèn)題時(shí)，常常需要先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后才能進(jìn)一步的解決其它數(shù)學(xué)問(wèn)題。

例1設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，而且Sn=-bn+1- ，b是一個(gè)和n沒有關(guān)系的常數(shù)，而且b≠1，請(qǐng)用n和b表示出an的表達(dá)式。

解： ；

整理可以得到a1= ；

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=-b（an- an-1）+ ；

整理得 。

從而可以推得

通過(guò)不斷的遞推可以得到an=

從而可以得到

二、數(shù)列和不等式結(jié)合問(wèn)題解題技巧

在數(shù)學(xué)試題中數(shù)列和不等式常常結(jié)合起來(lái)作為壓軸題目出現(xiàn)，在數(shù)學(xué)試題中的比重比較大，因此應(yīng)當(dāng)重視數(shù)列和不等式的綜合解題策略。同時(shí)在求解數(shù)列中的最值問(wèn)題時(shí)，常常需要和不等式結(jié)合起來(lái)進(jìn)行解決，通過(guò)建立相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)來(lái)得到最值，將數(shù)列問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的問(wèn)題，或者利用題目中的條件來(lái)確定不等式中的最值。

例2假設(shè)a>0，b>0，其中是3a、3b的等比中項(xiàng)，那么 的最小值為多少？

分析：根據(jù)等比中項(xiàng)的關(guān)系可以建立a，b之間的關(guān)系式，然后按照不等式求最值的方法求解即可。

解：由于3a·3b=3，所以可以得到a+b=1，

而且只有當(dāng) 時(shí)，a=b才能成立。在本題目中不僅考察了指數(shù)函數(shù)和數(shù)列的知識(shí)，而且也考察了不等式求最值的知識(shí)，對(duì)于學(xué)生的變通能力具有比較高的要求。

數(shù)列和不等式證明的綜合題目也是考試中常見的考察項(xiàng)目，在解決這類問(wèn)題時(shí)常常利用比較的方法。特別是差值比較法是其中常見的方法，分析法和綜合法也是其中常見的方法，此外還有放縮方法，通過(guò)適當(dāng)?shù)脑黾踊蛘邷p少項(xiàng)數(shù)，擴(kuò)大或者縮小分母的方法可以達(dá)到解題的目的。

例3已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn=2n2+2n，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和為Tn=2-bn。

（1）求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)cn=an·bn，試證明：當(dāng)且僅當(dāng)n≥3時(shí)，有cn+1

分析 由于可以求出an和bn的關(guān)系式，在求出之后可以得到cn的表達(dá)式，通過(guò)做商法來(lái)比較大小。

解：（1）由于a1=S1=4，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=（2n2+2n-[2（n-1）2+2（n-1）]=4n，可以得到an=4n。

當(dāng)n≥2時(shí)，bn=Tn-Tn-1=（2-bn）-（2- bn-1），可以得到2bn=bn-1所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1，公比為1/2的等比數(shù)列，從而可以得到 。

（2）由（1）可以得到

可以得到

；

由于 <1，從而可以得到

則n2-2n-1>0，即

n>1+ ，那么有n≥3。

又由于n≥3時(shí)， <1成立，所以 <1時(shí)，原式cn>0成立。

三、結(jié)語(yǔ)

數(shù)列不僅是高中數(shù)學(xué)重要的基礎(chǔ)知識(shí)，而且其中還蘊(yùn)涵了豐富的數(shù)學(xué)思想和方法，并且和其它的數(shù)學(xué)知識(shí)例如函數(shù)、方程、不等式等都具有比較密切的關(guān)系，而且還和微積分知識(shí)有著比較緊密的關(guān)系。同時(shí)隨著信息技術(shù)的發(fā)展，數(shù)列作為數(shù)學(xué)中的基本知識(shí)得到了廣泛的應(yīng)用，而且也在經(jīng)濟(jì)、工科等方面的研究中占有重要的地位。數(shù)列知識(shí)是對(duì)遞歸序列的提升和系統(tǒng)化，它同時(shí)也推動(dòng)了中學(xué)數(shù)學(xué)建模的發(fā)展，對(duì)于幫助提高學(xué)生分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力都具有重要的促進(jìn)作用。但是由于數(shù)列題型的變化比較復(fù)雜，在解題的過(guò)程中不僅要掌握好相關(guān)的數(shù)列知識(shí)，而且還應(yīng)當(dāng)掌握其它的數(shù)學(xué)知識(shí)，這樣才能使有效的解決數(shù)列問(wèn)題。

參考文獻(xiàn)

[1] 徐伯銜.例談數(shù)列中不等關(guān)系的解題思想[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2009（11）：317-318.

[2] 萬(wàn)麗娜，咸遠(yuǎn)峰.遞推數(shù)列通項(xiàng)的九個(gè)模型[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），2010（5）：168-169.