“一題三改”深化學生對于“恒成立”及“有解”問題的理解

辛欣

【摘要】“有解”和”恒成立”問題是高中數學教學的重難點。很多學生在遇到“有解”和“恒成立”問題的時候一頭霧水，不知道該從何下手，在進行信息內化以及化歸及轉化的過程中產生了麻煩。筆者通過四道習題的對比，揭示解決這類問題的一般思路。通過對比找到幾種題型的共同點和差異性，從而歸納出解決這類問題的一般思路。

【關鍵詞】有解恒成立不等式化歸轉化

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）06-0138-01

一、例題及解答

（2013年江蘇無錫二模第17題改編）已知函數f(x)=|2x-3|和g(x)=-x2+c（c為常數）。設函數F(x)滿足對x∈R，都有F（x）=F（-x），且當x∈[0,3]時，F(x)=f(x),若存在x1x2∈[-1,3]，使得|F（x1）-g（x2）|＜1成立，求實數c的取值范圍。

解：因為F（x）=F（-x），故F(x)為偶函數，圖像關于y軸對稱。

當x=-1時，y=1.所以F（x）的值域為[0,3]。根據題意，只要F(x)的最小值與g(x)的最大值之差小于1，且g（x）的最小值與F(x)的最大值之差小于1即可，所以，

0-g（0）＜1g（3）-3＜1即0-c＜1c-9-3＜1

解得-1

二、反思與評價

本題考查了函數的奇偶性、值域，以及“有解問題”求解參數范圍的不等式解法，其中后者是本題的核心考點。要想成功地解決本題，關鍵在于把“有解”的信息“翻譯”成數學語言——不等式，之后再求出參數的范圍。也就是說，化歸和轉化的數學思想，以及將陌生信息內化的過程。

在教學過程中，很多學生在“翻譯”的過程中產生了思維障礙，導致無法解出題目。他們不知道題目這種敘述方式想說明什么，無法找出題目敘述的等價條件。針對這種現象，我認為是很多教師在教學過程中沒有正確地引導學生明白幾類問題的本質。學生看到一長串的晦澀的數學語言會恐慌，不知道從何下手，從而影響思維和發揮。因此，我在下面的敘述中，將本題改編成為另外三種不同的習題，在對比中找到通性通法和每種問題的不同之處，這樣可以更好地幫助學生理解，提高學生的解題能力。

三、題目的改編

變式1.（之前同原題）若存在x1∈[-1,3]，使得|F（x1）-g（x1）|＜1成立，求實數c的取值范圍

分析：變式1與原題的區別在于，原題的x1，x2是兩個可以不同的數，因此函數值的范圍是整個區間內的值域。而此題兩個函數對應的自變量是相同的，兩個函數值對應同一個x。也就是說，變式1的限定要比原題嚴格一些。

解：當g(x)恒小于F(x)時，構造新函數G（x）=F（x）-g（x）

因為F（x）為分段函數，當-1≤x<0時，G(x)=2x+3-（-x2+c）=x2+2x+3-c；

當0≤x<1.5時，G(x)=-2x+3-（-x2+c）=x2-2x+3-c；

當1.5≤x≤3時，G(x)=2x-3-（-x2+c）=x2+2x-3-c；

繪制出G（x）的圖像后（可借助二次函數圖像或者導數），可知其最小值是2-c，最大值是12-c。

根據題意，只要最小值小于1且最大值大于-1即可,所以1

變式2.（之前同原題）對于所有的x1∈[-1,3]，都有|F（x）-g（x）|<1成立，求實數c的取值范圍。

分析：此題是對于所有的x，屬于恒成立問題，要求比前兩個題更嚴。

在變式1.求出值的基礎上，因為恒成立，所以最大值小于1，最小值大于-1。所以c<3且c>11,無解，所以這種情況根本不存在。

變式3.（之前同原題）對于所有的x1，x2∈[-1,3]，都有|F（x1）-g（x2）|<1成立，求實數c的取值范圍。

解：此題要求在整個定義域內滿足條件。所以F（x）的最大值與g（x）的最小值的差小于1，且F（x）的最小值與g（x）的最大值的差大于-1即3-(c-9)<1且0-c>-1 解得c<1且c>11。不合題意，舍去。

四、小結

從上面的例子可以看出，隨著條件要求越來越嚴格，符合條件的c也被限制的越來越嚴格。解決此類問題的關鍵在于判斷問題類型，從兩個角度考慮，一是幾個自變量，二是存在還是恒成立問題。對于關于x的題（單自變量），可以構造新函數，之后考察其導數畫草圖求出最大和最小值，之后列出相應的不等式。對于關于x1，x2這樣的題（雙自變量），應該考察整個區間內的值域，之后進行比較，列方程。而且注意恒成立是對于區間所有x都得滿足限制，而有解問題只需要存在一個滿足此條件的x即可。因為對于恒成立問題，只有保證不等號小的那邊的最大值仍然小于另一邊的最小值，才能使得恒成立的條件成立；而對于有解問題則較為寬松，只要不等號小的一邊最小值小于另一邊的最大值即可。所以列出的不等式不同。