“一題三改”深化學(xué)生對(duì)于“恒成立”及“有解”問(wèn)題的理解

辛欣

【摘要】“有解”和”恒成立”問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重難點(diǎn)。很多學(xué)生在遇到“有解”和“恒成立”問(wèn)題的時(shí)候一頭霧水，不知道該從何下手，在進(jìn)行信息內(nèi)化以及化歸及轉(zhuǎn)化的過(guò)程中產(chǎn)生了麻煩。筆者通過(guò)四道習(xí)題的對(duì)比，揭示解決這類問(wèn)題的一般思路。通過(guò)對(duì)比找到幾種題型的共同點(diǎn)和差異性，從而歸納出解決這類問(wèn)題的一般思路。

【關(guān)鍵詞】有解恒成立不等式化歸轉(zhuǎn)化

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2014）06-0138-01

一、例題及解答

（2013年江蘇無(wú)錫二模第17題改編）已知函數(shù)f(x)=|2x-3|和g(x)=-x2+c（c為常數(shù)）。設(shè)函數(shù)F(x)滿足對(duì)x∈R，都有F（x）=F（-x），且當(dāng)x∈[0,3]時(shí)，F(xiàn)(x)=f(x),若存在x1x2∈[-1,3]，使得|F（x1）-g（x2）|＜1成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍。

解：因?yàn)镕（x）=F（-x），故F(x)為偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對(duì)稱。

當(dāng)x=-1時(shí)，y=1.所以F（x）的值域?yàn)閇0,3]。根據(jù)題意，只要F(x)的最小值與g(x)的最大值之差小于1，且g（x）的最小值與F(x)的最大值之差小于1即可，所以，

0-g（0）＜1g（3）-3＜1即0-c＜1c-9-3＜1

解得-1

二、反思與評(píng)價(jià)

本題考查了函數(shù)的奇偶性、值域，以及“有解問(wèn)題”求解參數(shù)范圍的不等式解法，其中后者是本題的核心考點(diǎn)。要想成功地解決本題，關(guān)鍵在于把“有解”的信息“翻譯”成數(shù)學(xué)語(yǔ)言——不等式，之后再求出參數(shù)的范圍。也就是說(shuō)，化歸和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，以及將陌生信息內(nèi)化的過(guò)程。

在教學(xué)過(guò)程中，很多學(xué)生在“翻譯”的過(guò)程中產(chǎn)生了思維障礙，導(dǎo)致無(wú)法解出題目。他們不知道題目這種敘述方式想說(shuō)明什么，無(wú)法找出題目敘述的等價(jià)條件。針對(duì)這種現(xiàn)象，我認(rèn)為是很多教師在教學(xué)過(guò)程中沒(méi)有正確地引導(dǎo)學(xué)生明白幾類問(wèn)題的本質(zhì)。學(xué)生看到一長(zhǎng)串的晦澀的數(shù)學(xué)語(yǔ)言會(huì)恐慌，不知道從何下手，從而影響思維和發(fā)揮。因此，我在下面的敘述中，將本題改編成為另外三種不同的習(xí)題，在對(duì)比中找到通性通法和每種問(wèn)題的不同之處，這樣可以更好地幫助學(xué)生理解，提高學(xué)生的解題能力。

三、題目的改編

變式1.（之前同原題）若存在x1∈[-1,3]，使得|F（x1）-g（x1）|＜1成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍

分析：變式1與原題的區(qū)別在于，原題的x1，x2是兩個(gè)可以不同的數(shù)，因此函數(shù)值的范圍是整個(gè)區(qū)間內(nèi)的值域。而此題兩個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)的自變量是相同的，兩個(gè)函數(shù)值對(duì)應(yīng)同一個(gè)x。也就是說(shuō)，變式1的限定要比原題嚴(yán)格一些。

解：當(dāng)g(x)恒小于F(x)時(shí)，構(gòu)造新函數(shù)G（x）=F（x）-g（x）

因?yàn)镕（x）為分段函數(shù)，當(dāng)-1≤x<0時(shí)，G(x)=2x+3-（-x2+c）=x2+2x+3-c；

當(dāng)0≤x<1.5時(shí)，G(x)=-2x+3-（-x2+c）=x2-2x+3-c；

當(dāng)1.5≤x≤3時(shí)，G(x)=2x-3-（-x2+c）=x2+2x-3-c；

繪制出G（x）的圖像后（可借助二次函數(shù)圖像或者導(dǎo)數(shù)），可知其最小值是2-c，最大值是12-c。

根據(jù)題意，只要最小值小于1且最大值大于-1即可,所以1

變式2.（之前同原題）對(duì)于所有的x1∈[-1,3]，都有|F（x）-g（x）|<1成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍。

分析：此題是對(duì)于所有的x，屬于恒成立問(wèn)題，要求比前兩個(gè)題更嚴(yán)。

在變式1.求出值的基礎(chǔ)上，因?yàn)楹愠闪ⅲ宰畲笾敌∮?，最小值大于-1。所以c<3且c>11,無(wú)解，所以這種情況根本不存在。

變式3.（之前同原題）對(duì)于所有的x1，x2∈[-1,3]，都有|F（x1）-g（x2）|<1成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍。

解：此題要求在整個(gè)定義域內(nèi)滿足條件。所以F（x）的最大值與g（x）的最小值的差小于1，且F（x）的最小值與g（x）的最大值的差大于-1即3-(c-9)<1且0-c>-1 解得c<1且c>11。不合題意，舍去。

四、小結(jié)

從上面的例子可以看出，隨著條件要求越來(lái)越嚴(yán)格，符合條件的c也被限制的越來(lái)越嚴(yán)格。解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵在于判斷問(wèn)題類型，從兩個(gè)角度考慮，一是幾個(gè)自變量，二是存在還是恒成立問(wèn)題。對(duì)于關(guān)于x的題（單自變量），可以構(gòu)造新函數(shù)，之后考察其導(dǎo)數(shù)畫草圖求出最大和最小值，之后列出相應(yīng)的不等式。對(duì)于關(guān)于x1，x2這樣的題（雙自變量），應(yīng)該考察整個(gè)區(qū)間內(nèi)的值域，之后進(jìn)行比較，列方程。而且注意恒成立是對(duì)于區(qū)間所有x都得滿足限制，而有解問(wèn)題只需要存在一個(gè)滿足此條件的x即可。因?yàn)閷?duì)于恒成立問(wèn)題，只有保證不等號(hào)小的那邊的最大值仍然小于另一邊的最小值，才能使得恒成立的條件成立；而對(duì)于有解問(wèn)題則較為寬松，只要不等號(hào)小的一邊最小值小于另一邊的最大值即可。所以列出的不等式不同。