關于高中數學教材中應用問題的思考

郭海萍

現行的高中數學教材把培養學生應用數學的意識貫穿在教材編寫的始末，在教材設計方面做了深層次的考慮，編入了很多聯系實際的數學問題.本文就人教A版普通高中課程標準實驗教科書《數學》的必修1至必修5中所涉及的數學應用問題展開思考.

1.應用問題的分布概況

（1）在引言、例習題中的分布情況

教材中每一章的序言及每一節的開始，都編排了一些實際問題引出該章節的知識內容，突出了數學知識的實際背景.在例題、習題中編入了許多貼近學生生活實際或與其他學科相關的應用問題.

（2）安排了21個“閱讀與思考”和6次“探究與發現”活動

①有關歷史故事方面.如必修1《集合和函數概念》中的“函數概念的發展歷程”，《基本初等函數》中的“對數的發明”，《函數的應用》中的“中外歷史上的方程求解”；必修3《概率》中的“天氣變化的認識過程”、“概率與密碼”；必修5《解三角形》中的“海倫和秦九韶”等都涉及數學概念的實際背景.

②有關數學應用方面.如必修2《空間幾何體》中的“畫法幾何與蒙日”，《直線與方程》中的“魔術師的地毯”；必修3《算法初步》中“割圓術”，《統計》中的“廣告中數據的可靠性”、“如何得到敏感性問題的誠實反應”、“生產過程中的質量控制圖”；必修5《數列》中“購房中的數學”等都體現了數學的重要應用.

③擴充知識方面.如必修2《空間幾何體》中的“祖暅原理與幾何體的體積”；必修5《解三角形》中的“解三角形的進一步討論”，《數列》中的“斐波那契數列”、“九連環”等拓寬了學生的知識面.

（3）安排了5次實習作業

《集合和函數概念》中有關“函數概念發展的歷史”的實習作業，讓學生了解函數形成和發展的歷史；《函數的應用》中“牛頓冷卻模型”的實習作業，讓學生體會函數模型的應用價值；通過完成《統計》中的抽樣調查、收集數據并整理分析的相關作業，使學生體會運用數學知識和方法發現身邊事物發展的一些規律；《解三角形》中要求做一個有關測量的實習作業，讓學生真正把握測量物體高度和長度的方法，體會數學在生活中的應用.

由此可見，人教A版教材的必修系列較好地體現了數學應用的理念，通過一些歷史材料和現實背景闡述了數學的實際應用，形式多樣，背景充實，把數學編得有血有肉，有助于提高學生學習數學的興趣.

2.存在的問題

通過教學實踐及對教材的再認識，發現教材中的應用問題存在如下不足：

（1）有些應用問題不夠貼近“實際”

例如必修2《直線與圓的位置關系》的導入問題：“一艘輪船在沿直線返港的途中，接到臺風預報：臺風中心位于輪船正西70km處，影響的范圍是半徑為30km長的圓形區域，港口位于臺風中心正北40km處，若這艘輪船不改變航線繼續行駛，那么它是否會受到臺風的影響？”教材視臺風中心固定不動，顯然，這與實際不符，會讓學生產生誤會和疑惑.

（2）有些背景材料應用意義不大

例如在必修3《概率》中雖然編入了許多現實社會中常見的中獎概率、密碼設置等問題，但大多數是摸球、排數字、抽取產品等問題，這些材料的應用意義不大，很難讓學生感受到概率對于生活的用處之大，有可能挫傷學生的學習情感，影響學生學習能動性的發揮.我們應該多關注一些貼近生活的例子，使學生對數學產生親和力，例如運用頻率和地理知識了解“降水量幾年一遇”問題，運用概率和生物知識分析“子女是哪一種血型”問題，等等.

（3）真正體現建模過程的應用題偏少

雖然《函數模型的應用實例》和《三角函數模型的簡單應用》中的一些例題有體現建立函數模型解決實際問題的基本過程，也展現信息技術的應用過程，但教材中真正體現建模過程的應用題還是偏少。許多應用題的條件不多不少，沒有多余的干擾信息，目標指向明確，最后的答案也是唯一的，沒有真正體現從實際問題抽象到數學問題的數學化過程，這就剝奪了學生發現問題、創造性地解決問題的機會.教師在教學過程中必須開發“好”的應用問題，作為應用教學的素材.

此外，由于很多教師認為高中數學課時緊張，因此把為數不多的實習作業和研究性學習“壓縮”了，甚至“砍掉”了，更不用說要開展“數學建模”活動了.

3.構建恰當的數學應用教學素材

實施數學應用教學要以應用問題為載體，那么什么樣的問題才是適合中學生的“好”問題呢？筆者認為應具備以下特點：①適合中學生的數學知識水平，要用到數學知識、思想和方法解決，且“可讀性”好，不需補充大量其他知識就可入手；②有生活、生產、社會、科技等實際背景，有利于學生了解一般社會知識與科學知識；③能體現出數學建模求解過程；④有較強的趣味性、典型性，使學生逐漸形成科學解題的思想方法；⑤能發揮計算機（器）在求解中的作用等.事實上，數學應用問題很難同時具備上述這些特點，但這些特點為我們收集、整理、加工、構建“好”的問題提供了參考標準.

除了從教材中挖掘數學應用素材外，還可以通過以下方式尋得“好”問題.一是從生活實際中提煉出問題.日常生活是數學應用問題的源泉之一，我們應當鼓勵學生從現實生活中尋找與數學有關的，又能用數學知識解決的實際問題，讓學生經歷一個完整的發現問題、提出問題和解決問題的過程；二是從中學數學教育方面的書籍、報刊上整理.通過查找有關中學數學應用方面的優秀書籍和中學數學雜志，以及網絡搜索的方式等，都能收集到適合于中學生的數學應用素材；三是從中學生數學知識應用競賽題中引用.各屆中學生數學知識應用競賽中有很多好問題，可以適度加以變式引用.

4.教學建議

在數學教學中，教師必須結合課程內容將數學的應用不斷地融入日常教學活動中，方可取得滿意的效果.

（1）數學具有高度抽象性，對基本概念的理解，要注重引導學生經歷從具體實例中抽象出數學概念的過程，然后在應用中逐漸理解概念的本質.在高中數學課程中，有許多重要的數學概念，如函數、數列、算法、統計、概率、向量、線性規劃、圓錐曲線、導數等都有豐富的實際背景，在教學中要注重通過實際背景理解這些概念，使抽象的數學概念變得具體生動，有助于學生進一步理解和應用.endprint

（2）加強數學應用，就應當站在構建數學模型的高度認識和實施數學應用教學，側重于培養學生能從實際問題中提出并用數學語言表述問題的能力，初步構建數學模型的能力，對數學問題進行變換化歸并解決的能力，對數學結果進行檢驗、評價和闡釋的能力等，在數學應用教學中要對以上各種能力的培養分步落實.

現以函數模型應用為例展開教學構想.

對于函數模型的應用，在學生能夠用函數刻畫現實生活問題的基礎上，我們將函數應用分兩個層次，第一層次是進行數學模型的套用，在高中階段，指數函數、對數函數、一次函數、二次函數、冪函數、三角函數等都是重要的函數模型，很多實際問題都是這些模型的直接應用.

例1：某星級旅館有300個標準房，經過一段時間的經營，經理得到一些定價和住房率（平均每天情況）的數據如下：

欲使每天的營業額最高，那么應如何定價？

分析：根據已知數據，可假設該旅館客房的定價最高為160元，并且在各價位之間，房價與住房率二者存在線性關系.

現將實際問題化為數學問題：設旅館一天的客房總營業額為y，與房價160元相比所降低的房價為20x元，因此當房價為（160-20x）元時，住房率為（55+10x）%，則

y=300×（160-20x）×（55+10x）%

解數學問題：由于（55+10x）%≤1，可得0≤x≤4.5.

問題轉化為：求當0≤x≤4.5時，y的最大值.

y=300（-2x +5x+88），根據圖像知y在x=1.25時取得最大值，此時房價定價為160-25=135（元），相應的住房率為67.5%，總營業額最大為27337.5元.

還原到實際中：欲使每天的營業額最高，該客房應定價為135元，當然，在實際中為了便于管理，定價140元也是合理的.

例2：請您設計一個帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側棱長為3m的正六棱錐.試問當帳篷的頂點O到底面中心O 的距離為多少時，帳篷的體積最大？

這是生活中的優化問題，通過解答能讓學生感受到數學在解決實際問題中的重要作用.

函數應用的第二層次是進行簡單的數學建模，可以讓學生思考如下問題：

例3：下表所示的是某地區不同身高的未成年男性的體重平均值：

若體重超過相同身高男性體重平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦，那么這個地區的一名身高為175cm，體重為78kg的中學男生的體重是偏胖還是偏瘦？

在教學過程中，此例應讓學生借助計算機作出散點圖，進行數據擬合，讓學生經歷分析數據、構造函數模型（嘗試尋找合適的函數進行描述問題中兩個變量的關系）、檢驗模型等過程，從而培養學生的數據處理能力.

當然，數學模型的應用不能只局限于課堂上，而應該適當向課外延伸，如布置學生收集函數模型應用問題，并做分析與思考，寫心得體會，教師組織學生開展交流活動，這樣的作業可收到出人意料的效果.

參考文獻：

[1]廖金祥.談高中數學新課程教學應用問題的背景設計[J].福建教育學院學報，2008，12

[2]彭春春.對高中數學新教材中數學應用問題的幾點思考[J].中學數學雜志，2008，7.endprint

（2）加強數學應用，就應當站在構建數學模型的高度認識和實施數學應用教學，側重于培養學生能從實際問題中提出并用數學語言表述問題的能力，初步構建數學模型的能力，對數學問題進行變換化歸并解決的能力，對數學結果進行檢驗、評價和闡釋的能力等，在數學應用教學中要對以上各種能力的培養分步落實.

現以函數模型應用為例展開教學構想.

對于函數模型的應用，在學生能夠用函數刻畫現實生活問題的基礎上，我們將函數應用分兩個層次，第一層次是進行數學模型的套用，在高中階段，指數函數、對數函數、一次函數、二次函數、冪函數、三角函數等都是重要的函數模型，很多實際問題都是這些模型的直接應用.

例1：某星級旅館有300個標準房，經過一段時間的經營，經理得到一些定價和住房率（平均每天情況）的數據如下：

欲使每天的營業額最高，那么應如何定價？

分析：根據已知數據，可假設該旅館客房的定價最高為160元，并且在各價位之間，房價與住房率二者存在線性關系.

現將實際問題化為數學問題：設旅館一天的客房總營業額為y，與房價160元相比所降低的房價為20x元，因此當房價為（160-20x）元時，住房率為（55+10x）%，則

y=300×（160-20x）×（55+10x）%

解數學問題：由于（55+10x）%≤1，可得0≤x≤4.5.

問題轉化為：求當0≤x≤4.5時，y的最大值.

y=300（-2x +5x+88），根據圖像知y在x=1.25時取得最大值，此時房價定價為160-25=135（元），相應的住房率為67.5%，總營業額最大為27337.5元.

還原到實際中：欲使每天的營業額最高，該客房應定價為135元，當然，在實際中為了便于管理，定價140元也是合理的.

例2：請您設計一個帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側棱長為3m的正六棱錐.試問當帳篷的頂點O到底面中心O 的距離為多少時，帳篷的體積最大？

這是生活中的優化問題，通過解答能讓學生感受到數學在解決實際問題中的重要作用.

函數應用的第二層次是進行簡單的數學建模，可以讓學生思考如下問題：

例3：下表所示的是某地區不同身高的未成年男性的體重平均值：

若體重超過相同身高男性體重平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦，那么這個地區的一名身高為175cm，體重為78kg的中學男生的體重是偏胖還是偏瘦？

在教學過程中，此例應讓學生借助計算機作出散點圖，進行數據擬合，讓學生經歷分析數據、構造函數模型（嘗試尋找合適的函數進行描述問題中兩個變量的關系）、檢驗模型等過程，從而培養學生的數據處理能力.

當然，數學模型的應用不能只局限于課堂上，而應該適當向課外延伸，如布置學生收集函數模型應用問題，并做分析與思考，寫心得體會，教師組織學生開展交流活動，這樣的作業可收到出人意料的效果.

參考文獻：

[1]廖金祥.談高中數學新課程教學應用問題的背景設計[J].福建教育學院學報，2008，12

[2]彭春春.對高中數學新教材中數學應用問題的幾點思考[J].中學數學雜志，2008，7.endprint

（2）加強數學應用，就應當站在構建數學模型的高度認識和實施數學應用教學，側重于培養學生能從實際問題中提出并用數學語言表述問題的能力，初步構建數學模型的能力，對數學問題進行變換化歸并解決的能力，對數學結果進行檢驗、評價和闡釋的能力等，在數學應用教學中要對以上各種能力的培養分步落實.

現以函數模型應用為例展開教學構想.

對于函數模型的應用，在學生能夠用函數刻畫現實生活問題的基礎上，我們將函數應用分兩個層次，第一層次是進行數學模型的套用，在高中階段，指數函數、對數函數、一次函數、二次函數、冪函數、三角函數等都是重要的函數模型，很多實際問題都是這些模型的直接應用.

例1：某星級旅館有300個標準房，經過一段時間的經營，經理得到一些定價和住房率（平均每天情況）的數據如下：

欲使每天的營業額最高，那么應如何定價？

分析：根據已知數據，可假設該旅館客房的定價最高為160元，并且在各價位之間，房價與住房率二者存在線性關系.

現將實際問題化為數學問題：設旅館一天的客房總營業額為y，與房價160元相比所降低的房價為20x元，因此當房價為（160-20x）元時，住房率為（55+10x）%，則

y=300×（160-20x）×（55+10x）%

解數學問題：由于（55+10x）%≤1，可得0≤x≤4.5.

問題轉化為：求當0≤x≤4.5時，y的最大值.

y=300（-2x +5x+88），根據圖像知y在x=1.25時取得最大值，此時房價定價為160-25=135（元），相應的住房率為67.5%，總營業額最大為27337.5元.

還原到實際中：欲使每天的營業額最高，該客房應定價為135元，當然，在實際中為了便于管理，定價140元也是合理的.

例2：請您設計一個帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側棱長為3m的正六棱錐.試問當帳篷的頂點O到底面中心O 的距離為多少時，帳篷的體積最大？

這是生活中的優化問題，通過解答能讓學生感受到數學在解決實際問題中的重要作用.

函數應用的第二層次是進行簡單的數學建模，可以讓學生思考如下問題：

例3：下表所示的是某地區不同身高的未成年男性的體重平均值：

若體重超過相同身高男性體重平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦，那么這個地區的一名身高為175cm，體重為78kg的中學男生的體重是偏胖還是偏瘦？

在教學過程中，此例應讓學生借助計算機作出散點圖，進行數據擬合，讓學生經歷分析數據、構造函數模型（嘗試尋找合適的函數進行描述問題中兩個變量的關系）、檢驗模型等過程，從而培養學生的數據處理能力.

當然，數學模型的應用不能只局限于課堂上，而應該適當向課外延伸，如布置學生收集函數模型應用問題，并做分析與思考，寫心得體會，教師組織學生開展交流活動，這樣的作業可收到出人意料的效果.

參考文獻：

[1]廖金祥.談高中數學新課程教學應用問題的背景設計[J].福建教育學院學報，2008，12

[2]彭春春.對高中數學新教材中數學應用問題的幾點思考[J].中學數學雜志，2008，7.endprint