三角恒等變換的解題方法
2014-07-08 23:24:38郭會才
考試周刊 2014年37期
郭會才
摘 要： 三角變換是三角運算的靈魂與核心，包括角的變換、函數名稱的變換、三角函數式結構的變換.其中角的變換是最基本的變換.三角函數的化簡、計算、證明的基本思路是：一角二名三次數四結構.首先，觀察角與角之間的差異，注意角的一些常用變式，角的變換是三角函數變換的核心；其次，看函數名稱之間的差異，通常切化弦；最后，觀察三角函數式的整體結構特征，整體變形采用公式.
關鍵詞： 角變換 名稱變換 結構特征變換
一、角的變換
已知角與特殊角的變換、已知角與目標角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換.常見的有：
例1：已知sin（ +α）= ，cos（ -β）= ，且0<α< <β< ，求cos（α+β）.
解：∵0<α< <β< ，∴ < +α<π，- < -β<0.
又sin（ +α）= ，cos（ -β）= ，
∴cos（ +α）=- ，sin（ -β）=- .
∴cos（α+β）=sin[ +α+β]=sin[（ +α）-（ -β）]=sin（ +α）cos（ -β）-cos（ +α）sin（ -β）= × -（- ）×（- ）=- .
小結：給值求值問題，即由給出的某些函數關系式（或某些角的三角函數值），求另外一些角的三角函數值，關鍵在于“變式”或“變角”，使“目標角”換成“已知角”.注意公式的正用、逆用、變形用，有時需運用拆角、拼角等技巧.
例2：已知sin（2α+β）=3sinβ，求證：tan（α+β）=2tanα.
證明：sin（2α+β）=3sinβ？圯sin[（α+β）+α]=3sin[（α+β）-α]sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα=3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα？圯2sin（α+β）cosα=4cos（α+β）sinα？圯tan（α+β）=2tanα.
小結：三角函數式的化簡就是通過恒等變換化繁為簡.其中切化弦、異名化同名、異角化同角等方法均為轉化與化歸思想的運用；三角恒等式的證明就是消除等式兩邊的差異，有目的地化繁為簡，左右歸一或變更論證，也屬轉化與化歸思想的應用.
二、名稱的變換
例3：已知tanα=2，求下列代數式的值.
（1）
解：原式= =
小結：關于sinα、cosα的齊次式，可以通過分子、分母同除以cosα或cos2α轉化為關于tanα的式子后再求值.
（2） sin2α+ sinαcosα+ cos2α
解：原式=
= = =
小結：注意表達式中不含分母，可以視分母為1，靈活地進行“1”的代換，由1=sin2α+cos2α代換后，再同除以cos2α，構造出關于tanα的代數式.
三、結構特征的變換
例4：求值：
解：原式= =tan（60°+15°）=tan75°
=tan（30°+45°）= = =2+ .
小結：注意常值代換.如tan =1，tan = ，tan = 等.
要特別注意tan（ +α）= ，tan（ -α）= .
小結：熟記公式的結構，公式T（α+β），T（α-β）是變形較多的兩個公式，公式中有tanαtanβ，tanα+tanβ（或tanα-tanβ），tan（α+β）（或tan（α-β））三者知二可表示或求出第三個.tanα±tanβ=tan（α±β）（1？芎tanαtanβ），
學習三角恒等變換，千萬不能只顧死記硬背公式，而忽視對思想方法的理解，要學會借助前面幾個有限的公式推導后繼公式，立足于在公式推導過程中記憶公式和運用公式.endprint
摘 要： 三角變換是三角運算的靈魂與核心，包括角的變換、函數名稱的變換、三角函數式結構的變換.其中角的變換是最基本的變換.三角函數的化簡、計算、證明的基本思路是：一角二名三次數四結構.首先，觀察角與角之間的差異，注意角的一些常用變式，角的變換是三角函數變換的核心；其次，看函數名稱之間的差異，通常切化弦；最后，觀察三角函數式的整體結構特征，整體變形采用公式.
關鍵詞： 角變換 名稱變換 結構特征變換
一、角的變換
已知角與特殊角的變換、已知角與目標角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換.常見的有：
例1：已知sin（ +α）= ，cos（ -β）= ，且0<α< <β< ，求cos（α+β）.
解：∵0<α< <β< ，∴ < +α<π，- < -β<0.
又sin（ +α）= ，cos（ -β）= ，
∴cos（ +α）=- ，sin（ -β）=- .
∴cos（α+β）=sin[ +α+β]=sin[（ +α）-（ -β）]=sin（ +α）cos（ -β）-cos（ +α）sin（ -β）= × -（- ）×（- ）=- .
小結：給值求值問題，即由給出的某些函數關系式（或某些角的三角函數值），求另外一些角的三角函數值，關鍵在于“變式”或“變角”，使“目標角”換成“已知角”.注意公式的正用、逆用、變形用，有時需運用拆角、拼角等技巧.
例2：已知sin（2α+β）=3sinβ，求證：tan（α+β）=2tanα.
證明：sin（2α+β）=3sinβ？圯sin[（α+β）+α]=3sin[（α+β）-α]sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα=3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα？圯2sin（α+β）cosα=4cos（α+β）sinα？圯tan（α+β）=2tanα.
小結：三角函數式的化簡就是通過恒等變換化繁為簡.其中切化弦、異名化同名、異角化同角等方法均為轉化與化歸思想的運用；三角恒等式的證明就是消除等式兩邊的差異，有目的地化繁為簡，左右歸一或變更論證，也屬轉化與化歸思想的應用.
二、名稱的變換
例3：已知tanα=2，求下列代數式的值.
（1）
解：原式= =
小結：關于sinα、cosα的齊次式，可以通過分子、分母同除以cosα或cos2α轉化為關于tanα的式子后再求值.
（2） sin2α+ sinαcosα+ cos2α
解：原式=
= = =
小結：注意表達式中不含分母，可以視分母為1，靈活地進行“1”的代換，由1=sin2α+cos2α代換后，再同除以cos2α，構造出關于tanα的代數式.
三、結構特征的變換
例4：求值：
解：原式= =tan（60°+15°）=tan75°
=tan（30°+45°）= = =2+ .
小結：注意常值代換.如tan =1，tan = ，tan = 等.
要特別注意tan（ +α）= ，tan（ -α）= .
小結：熟記公式的結構，公式T（α+β），T（α-β）是變形較多的兩個公式，公式中有tanαtanβ，tanα+tanβ（或tanα-tanβ），tan（α+β）（或tan（α-β））三者知二可表示或求出第三個.tanα±tanβ=tan（α±β）（1？芎tanαtanβ），
學習三角恒等變換，千萬不能只顧死記硬背公式，而忽視對思想方法的理解，要學會借助前面幾個有限的公式推導后繼公式，立足于在公式推導過程中記憶公式和運用公式.endprint
摘 要： 三角變換是三角運算的靈魂與核心，包括角的變換、函數名稱的變換、三角函數式結構的變換.其中角的變換是最基本的變換.三角函數的化簡、計算、證明的基本思路是：一角二名三次數四結構.首先，觀察角與角之間的差異，注意角的一些常用變式，角的變換是三角函數變換的核心；其次，看函數名稱之間的差異，通常切化弦；最后，觀察三角函數式的整體結構特征，整體變形采用公式.
關鍵詞： 角變換 名稱變換 結構特征變換
一、角的變換
已知角與特殊角的變換、已知角與目標角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換.常見的有：
例1：已知sin（ +α）= ，cos（ -β）= ，且0<α< <β< ，求cos（α+β）.
解：∵0<α< <β< ，∴ < +α<π，- < -β<0.
又sin（ +α）= ，cos（ -β）= ，
∴cos（ +α）=- ，sin（ -β）=- .
∴cos（α+β）=sin[ +α+β]=sin[（ +α）-（ -β）]=sin（ +α）cos（ -β）-cos（ +α）sin（ -β）= × -（- ）×（- ）=- .
小結：給值求值問題，即由給出的某些函數關系式（或某些角的三角函數值），求另外一些角的三角函數值，關鍵在于“變式”或“變角”，使“目標角”換成“已知角”.注意公式的正用、逆用、變形用，有時需運用拆角、拼角等技巧.
例2：已知sin（2α+β）=3sinβ，求證：tan（α+β）=2tanα.
證明：sin（2α+β）=3sinβ？圯sin[（α+β）+α]=3sin[（α+β）-α]sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα=3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα？圯2sin（α+β）cosα=4cos（α+β）sinα？圯tan（α+β）=2tanα.
小結：三角函數式的化簡就是通過恒等變換化繁為簡.其中切化弦、異名化同名、異角化同角等方法均為轉化與化歸思想的運用；三角恒等式的證明就是消除等式兩邊的差異，有目的地化繁為簡，左右歸一或變更論證，也屬轉化與化歸思想的應用.
二、名稱的變換
例3：已知tanα=2，求下列代數式的值.
（1）
解：原式= =
小結：關于sinα、cosα的齊次式，可以通過分子、分母同除以cosα或cos2α轉化為關于tanα的式子后再求值.
（2） sin2α+ sinαcosα+ cos2α
解：原式=
= = =
小結：注意表達式中不含分母，可以視分母為1，靈活地進行“1”的代換，由1=sin2α+cos2α代換后，再同除以cos2α，構造出關于tanα的代數式.
三、結構特征的變換
例4：求值：
解：原式= =tan（60°+15°）=tan75°
=tan（30°+45°）= = =2+ .
小結：注意常值代換.如tan =1，tan = ，tan = 等.
要特別注意tan（ +α）= ，tan（ -α）= .
小結：熟記公式的結構，公式T（α+β），T（α-β）是變形較多的兩個公式，公式中有tanαtanβ，tanα+tanβ（或tanα-tanβ），tan（α+β）（或tan（α-β））三者知二可表示或求出第三個.tanα±tanβ=tan（α±β）（1？芎tanαtanβ），
學習三角恒等變換，千萬不能只顧死記硬背公式，而忽視對思想方法的理解，要學會借助前面幾個有限的公式推導后繼公式，立足于在公式推導過程中記憶公式和運用公式.endprint
