2013年高考導(dǎo)數(shù)問題賞析及2014年高考導(dǎo)數(shù)命題展望

文/黃道宏

摘 要：近幾年的高考對(duì)導(dǎo)數(shù)考查形式多樣，考查力度有加大的趨勢(shì)，主要以導(dǎo)數(shù)運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用為主.在解答題中經(jīng)常作為壓軸題出現(xiàn)，以函數(shù)為載體，以導(dǎo)數(shù)為工具，主要考查導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用，往往與函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列、解析幾何等聯(lián)系在一起.

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)；單調(diào)性；極值和最值；恒成立問題

一、2013年導(dǎo)數(shù)典型題型及解法賞析

1.利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率

例1.（2013年廣東卷理12）若曲線y=kx+lnx在點(diǎn)（1，k）處的切線平行于x軸，則k .

【解析】求導(dǎo)得y′=k+■，依題意k+1=0，所以k=-1.

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即曲線在某一點(diǎn)處切線的斜率就是該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值.

2.利用導(dǎo)數(shù)解決與函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的問題

例2.（2013年全國(guó)卷課標(biāo)Ⅰ文20）已知函數(shù)f（x）=ex（ax+b）-x2-4x，曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處，切線方程為y=4x+4.討論f（x）的單調(diào)性.

【解析】f ′（x）=ex（ax++a+b）-2x-4，由已知得f（0）=4，f ′（0）=4，故b=4，a+b=8

從而a=b=4，f（x）=4ex（x+1）-x2-4x，

f ′（x）=4ex（x+2）-2x-4=4（x+2）（ex-■）.

令f ′（x）=0得，x=-ln2或x=-2.

從而當(dāng)x∈（-∞，-2）∪（-ln2，-∞）時(shí)，f ′（x）＞0；當(dāng)x∈（-2，-ln2）時(shí)，f ′（x）＜0.

故f（x）在（-∞，-2），（-ln2，-∞）單調(diào)遞增，在（-2，-ln2）單調(diào)遞減.

點(diǎn)評(píng)：可導(dǎo)函數(shù)f（x）在（a，b）上是單增（或單減）函數(shù)的充要條件是：對(duì)于任意x∈（a，b），都有f ′（x）≥0（或f ′（x）≤0），且f ′（x）在（a，b）的任意子區(qū)間上都不恒為零．在高中階段主要出現(xiàn)的是有一個(gè)或多個(gè)（有限個(gè)）使f ′（x）=0的點(diǎn)x的情況．本小題主要考查了學(xué)生應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的方法以及分類討論及轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想．

3.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，就是利用不等式與函數(shù)之間的聯(lián)系，將不等式的部分或者全部投射到函數(shù)上.直接或等價(jià)變形后，結(jié)合不等式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù).通過導(dǎo)數(shù)運(yùn)算判斷出函數(shù)的單調(diào)性或利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算來求出函數(shù)的最值，將不等式的證明轉(zhuǎn)化成函數(shù)問題．

例3.（2013年遼寧卷理21）已知f（x）=（1+x）e-2x，g（x）=ax+■+1+2x cosx．當(dāng)x∈［0，1］時(shí).

求證：1-x≤f（x）≤■．

【解析】要證x∈［0，1］時(shí)，（1+x）e-2x≥1-x，只需證明（1+x）e-x≥（1+x）ex

設(shè)h（x）=（1+x）e-x-（1-x）e-x，則h′（x）=x（ex-e-x），當(dāng)x∈［0，1］時(shí)，h′（x）＞0.

因此h（x）在［0，1］上是增函數(shù)，故h（x）≥h（0）=0

所以f（x）≥1-x，x∈［0，1］.

要證x∈［0，1］時(shí)，（1+x）e-2x≤■，只需證ex≥x+1．

設(shè)k（x）=ex-x-1，則k′（x）=ex-1，當(dāng)x∈［0，1］時(shí)，k′（x）≥0.

因此k（x）在［0，1］上是增函數(shù)，故k（x）≥k（0）=0

所以f（x）≤■，x∈［0，1］．

綜上，1-x≤f（x）≤■．

點(diǎn)評(píng)：導(dǎo)數(shù)法證明不等式，先作差，再構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值即可解決問題．

二、2014年高考導(dǎo)數(shù)命題展望

1.考查形式

選擇題、填空題、解答題等各種題型都會(huì)考查，選擇題、填空題一般難度不大，解答題有一定難度.

2.2014年高考可能涉及導(dǎo)數(shù)綜合題

以導(dǎo)數(shù)為數(shù)學(xué)工具考查．定積分是新課標(biāo)教材新增的內(nèi)容，由于定積分在實(shí)際問題中非常廣泛，預(yù)測(cè)2014年高考呈現(xiàn)以下幾個(gè)特點(diǎn)：

（1）注意基本概念、基本性質(zhì)、基本公式的考查及簡(jiǎn)單的應(yīng)用；高考中本講的題目一般為選擇題、填空題，考查定積分的基本概念及簡(jiǎn)單運(yùn)算，屬于中低檔題.

（2）定積分的應(yīng)用主要是計(jì)算面積，諸如計(jì)算曲邊梯形的面積、變速直線運(yùn)動(dòng)等實(shí)際問題要很好地轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型.

編輯 韓 曉