2013年高考導數問題賞析及2014年高考導數命題展望

文/黃道宏

摘 要：近幾年的高考對導數考查形式多樣，考查力度有加大的趨勢，主要以導數運算、導數的幾何意義、導數的應用為主.在解答題中經常作為壓軸題出現，以函數為載體，以導數為工具，主要考查導數綜合應用，往往與函數、方程、不等式、數列、解析幾何等聯系在一起.

關鍵詞：導數；單調性；極值和最值；恒成立問題

一、2013年導數典型題型及解法賞析

1.利用導數求切線斜率

例1.（2013年廣東卷理12）若曲線y=kx+lnx在點（1，k）處的切線平行于x軸，則k .

【解析】求導得y′=k+■，依題意k+1=0，所以k=-1.

點評：本小題主要考查了導數的幾何意義，即曲線在某一點處切線的斜率就是該點對應的導數值.

2.利用導數解決與函數單調性有關的問題

例2.（2013年全國卷課標Ⅰ文20）已知函數f（x）=ex（ax+b）-x2-4x，曲線y=f（x）在點（0，f（0））處，切線方程為y=4x+4.討論f（x）的單調性.

【解析】f ′（x）=ex（ax++a+b）-2x-4，由已知得f（0）=4，f ′（0）=4，故b=4，a+b=8

從而a=b=4，f（x）=4ex（x+1）-x2-4x，

f ′（x）=4ex（x+2）-2x-4=4（x+2）（ex-■）.

令f ′（x）=0得，x=-ln2或x=-2.

從而當x∈（-∞，-2）∪（-ln2，-∞）時，f ′（x）＞0；當x∈（-2，-ln2）時，f ′（x）＜0.

故f（x）在（-∞，-2），（-ln2，-∞）單調遞增，在（-2，-ln2）單調遞減.

點評：可導函數f（x）在（a，b）上是單增（或單減）函數的充要條件是：對于任意x∈（a，b），都有f ′（x）≥0（或f ′（x）≤0），且f ′（x）在（a，b）的任意子區間上都不恒為零．在高中階段主要出現的是有一個或多個（有限個）使f ′（x）=0的點x的情況．本小題主要考查了學生應用導數研究函數單調性的方法以及分類討論及轉化與化歸的數學思想．

3.利用導數證明不等式

利用導數證明不等式，就是利用不等式與函數之間的聯系，將不等式的部分或者全部投射到函數上.直接或等價變形后，結合不等式的結構特征，構造相應的函數.通過導數運算判斷出函數的單調性或利用導數運算來求出函數的最值，將不等式的證明轉化成函數問題．

例3.（2013年遼寧卷理21）已知f（x）=（1+x）e-2x，g（x）=ax+■+1+2x cosx．當x∈［0，1］時.

求證：1-x≤f（x）≤■．

【解析】要證x∈［0，1］時，（1+x）e-2x≥1-x，只需證明（1+x）e-x≥（1+x）ex

設h（x）=（1+x）e-x-（1-x）e-x，則h′（x）=x（ex-e-x），當x∈［0，1］時，h′（x）＞0.

因此h（x）在［0，1］上是增函數，故h（x）≥h（0）=0

所以f（x）≥1-x，x∈［0，1］.

要證x∈［0，1］時，（1+x）e-2x≤■，只需證ex≥x+1．

設k（x）=ex-x-1，則k′（x）=ex-1，當x∈［0，1］時，k′（x）≥0.

因此k（x）在［0，1］上是增函數，故k（x）≥k（0）=0

所以f（x）≤■，x∈［0，1］．

綜上，1-x≤f（x）≤■．

點評：導數法證明不等式，先作差，再構造函數，通過導數研究函數的單調性，求出最值即可解決問題．

二、2014年高考導數命題展望

1.考查形式

選擇題、填空題、解答題等各種題型都會考查，選擇題、填空題一般難度不大，解答題有一定難度.

2.2014年高考可能涉及導數綜合題

以導數為數學工具考查．定積分是新課標教材新增的內容，由于定積分在實際問題中非常廣泛，預測2014年高考呈現以下幾個特點：

（1）注意基本概念、基本性質、基本公式的考查及簡單的應用；高考中本講的題目一般為選擇題、填空題，考查定積分的基本概念及簡單運算，屬于中低檔題.

（2）定積分的應用主要是計算面積，諸如計算曲邊梯形的面積、變速直線運動等實際問題要很好地轉化為數學模型.

編輯 韓 曉