構建數學模型,巧解四邊形折疊問題

文/黃廣川

將矩形按不同要求進行折疊，就會產生豐富多彩的幾何問題，而這些問題中往往融入了豐富的對稱思想，綜合了三角形、四邊形的諸多知識，千變萬化，趣味性強，考查了學生的探究能力、空間想象能力、抽象思維能力及邏輯推理能力。因此越來越受到各省中考命題者的青睞。在解決這類問題中，運用的知識點比較多，綜合性強，如軸對稱性、全等思想、相似思想、勾股定理等，是培養學生識圖能力，靈活運用數學知識解決問題能力的一條非常有效的途徑。然而通過合理的歸納總結利用現有的數學模型能解決大部分此類問題。這就包括勾股定理和等腰三角形。

模型一：勾股定理

勾股定理是指在直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，它有一個基本的應用就是已知一邊和另外兩邊的關系求邊。

如圖1，已知AC=5，AB比BC大1。我們可以根據勾股定理得到方程（x+1）2=x2+52，解得x=12，求得三角形的未知邊。

■

模型二：平分+平行中必然得到等腰三角形

如圖2，AB∥CD，CE平分∠ACD，就可以得到三角形ACE是等腰三角形。

∵AB∥CD ∴∠2=∠3

∵CE平分∠ACD∴∠1=∠2

∴∠1=∠3

∴△ACE是等腰三角形。

下面通過具體的例子來體會這兩種模型在折疊問題中的巧妙應用吧。

例1.（2012深圳）如圖3，將矩形ABCD沿直線EF折疊，使點C與點A重合，折痕交AD于點E、交BC于點F，連接AF、CE.

（1）求證：四邊形AFCE為菱形；

分析：由平分+平行必然得到等腰三角形，我們可以輕松得到

△AFE是等腰三角形，AF=AE，又因為折疊對應線段相等，所以AF=CF，AE=CE，所以可以由四邊相等得到四邊形AFCE為菱形。

證明：∵折疊

∴AF=CF，AE=CE，∠AFE=∠CFE

又∵AD∥BC

∴∠AEF=∠CFE

∴∠AFE=∠AEF

∴AF=AE

∴AF=AE=CF=CE

∴四邊形AFCE為菱形。

例2.（2012湖北黃石）如圖4所示，矩形紙片ABCD中，AB=6cm，BC=8 cm，現將沿EF對折，使得點C與點A重合，則AF長為（ ）

A.■cm B.■cm

C.■cm D.8cm

分析：因為折疊對應線段相等，所以，可以得到AF+D′F=8，根據勾股定理的應用，已知一邊AD′，和另外兩邊的關系AF+D′F=8求邊。

解：設AF=x cm，則DF=D′F=（8-x） cm，

∵矩形紙片ABCD中，AB=6 cm，BC=8 cm，現將其沿EF對折，使得點C與點A重合，∴DF=D′F，在Rt△AD′F中，∵AF2=AD′2+D′F2即x2=62+（8-x）2解得：■cm。

例3.（寶安二模）如圖5，在矩形ABCD中，AB=3，BC=9，把矩形ABCD沿對角線BD折疊，使點C與點F重合，BF交AD與點M，過點C做CE⊥BF于點E，交AD于點G，則MG的長是 。

分析：利用平分+平行模型可以得到△BMD是等腰三角形，故BM=DM；再根據勾股定理利用已知一邊和另兩邊的關系求得邊AM，由△AMB~△DCG利用邊的比例關系求得DG，可得MG=AD-AM-DG

解：設AM長為x．

在Rt△ABM中，AB2+x2=BM2，BM=MD=9-x

則32+x2=（9-x）2，

解得x=4，

BM=MD=9-x=5，

∵△ABM∽△EGM，△EGM∽△DGC，

∴△ABM∽△DGC，

∴AM∶DC=AB∶DG，即4∶3=3∶DG

解得GD=■，所以MG=MD-GD=5-■=■

故答案為：■

作為一名數學老師，不僅要傳授給學生數學知識，更重要的是要傳授給學生數學思想、數學意識、數學方法，把知識轉換為能力，因此，希望通過本文的小小啟示提高學生觀察、歸納、整理數學知識的能力、分析問題、解決問題的能力，培養學生空間想象能力、抽象思維能力及邏輯推理能力。

編輯 謝尾合

endprint

將矩形按不同要求進行折疊，就會產生豐富多彩的幾何問題，而這些問題中往往融入了豐富的對稱思想，綜合了三角形、四邊形的諸多知識，千變萬化，趣味性強，考查了學生的探究能力、空間想象能力、抽象思維能力及邏輯推理能力。因此越來越受到各省中考命題者的青睞。在解決這類問題中，運用的知識點比較多，綜合性強，如軸對稱性、全等思想、相似思想、勾股定理等，是培養學生識圖能力，靈活運用數學知識解決問題能力的一條非常有效的途徑。然而通過合理的歸納總結利用現有的數學模型能解決大部分此類問題。這就包括勾股定理和等腰三角形。

模型一：勾股定理

勾股定理是指在直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，它有一個基本的應用就是已知一邊和另外兩邊的關系求邊。

如圖1，已知AC=5，AB比BC大1。我們可以根據勾股定理得到方程（x+1）2=x2+52，解得x=12，求得三角形的未知邊。

■

模型二：平分+平行中必然得到等腰三角形

如圖2，AB∥CD，CE平分∠ACD，就可以得到三角形ACE是等腰三角形。

∵AB∥CD ∴∠2=∠3

∵CE平分∠ACD∴∠1=∠2

∴∠1=∠3

∴△ACE是等腰三角形。

下面通過具體的例子來體會這兩種模型在折疊問題中的巧妙應用吧。

例1.（2012深圳）如圖3，將矩形ABCD沿直線EF折疊，使點C與點A重合，折痕交AD于點E、交BC于點F，連接AF、CE.

（1）求證：四邊形AFCE為菱形；

分析：由平分+平行必然得到等腰三角形，我們可以輕松得到

△AFE是等腰三角形，AF=AE，又因為折疊對應線段相等，所以AF=CF，AE=CE，所以可以由四邊相等得到四邊形AFCE為菱形。

證明：∵折疊

∴AF=CF，AE=CE，∠AFE=∠CFE

又∵AD∥BC

∴∠AEF=∠CFE

∴∠AFE=∠AEF

∴AF=AE

∴AF=AE=CF=CE

∴四邊形AFCE為菱形。

例2.（2012湖北黃石）如圖4所示，矩形紙片ABCD中，AB=6cm，BC=8 cm，現將沿EF對折，使得點C與點A重合，則AF長為（ ）

A.■cm B.■cm

C.■cm D.8cm

分析：因為折疊對應線段相等，所以，可以得到AF+D′F=8，根據勾股定理的應用，已知一邊AD′，和另外兩邊的關系AF+D′F=8求邊。

解：設AF=x cm，則DF=D′F=（8-x） cm，

∵矩形紙片ABCD中，AB=6 cm，BC=8 cm，現將其沿EF對折，使得點C與點A重合，∴DF=D′F，在Rt△AD′F中，∵AF2=AD′2+D′F2即x2=62+（8-x）2解得：■cm。

例3.（寶安二模）如圖5，在矩形ABCD中，AB=3，BC=9，把矩形ABCD沿對角線BD折疊，使點C與點F重合，BF交AD與點M，過點C做CE⊥BF于點E，交AD于點G，則MG的長是 。

分析：利用平分+平行模型可以得到△BMD是等腰三角形，故BM=DM；再根據勾股定理利用已知一邊和另兩邊的關系求得邊AM，由△AMB~△DCG利用邊的比例關系求得DG，可得MG=AD-AM-DG

解：設AM長為x．

在Rt△ABM中，AB2+x2=BM2，BM=MD=9-x

則32+x2=（9-x）2，

解得x=4，

BM=MD=9-x=5，

∵△ABM∽△EGM，△EGM∽△DGC，

∴△ABM∽△DGC，

∴AM∶DC=AB∶DG，即4∶3=3∶DG

解得GD=■，所以MG=MD-GD=5-■=■

故答案為：■

作為一名數學老師，不僅要傳授給學生數學知識，更重要的是要傳授給學生數學思想、數學意識、數學方法，把知識轉換為能力，因此，希望通過本文的小小啟示提高學生觀察、歸納、整理數學知識的能力、分析問題、解決問題的能力，培養學生空間想象能力、抽象思維能力及邏輯推理能力。

編輯 謝尾合

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將矩形按不同要求進行折疊，就會產生豐富多彩的幾何問題，而這些問題中往往融入了豐富的對稱思想，綜合了三角形、四邊形的諸多知識，千變萬化，趣味性強，考查了學生的探究能力、空間想象能力、抽象思維能力及邏輯推理能力。因此越來越受到各省中考命題者的青睞。在解決這類問題中，運用的知識點比較多，綜合性強，如軸對稱性、全等思想、相似思想、勾股定理等，是培養學生識圖能力，靈活運用數學知識解決問題能力的一條非常有效的途徑。然而通過合理的歸納總結利用現有的數學模型能解決大部分此類問題。這就包括勾股定理和等腰三角形。

模型一：勾股定理

勾股定理是指在直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，它有一個基本的應用就是已知一邊和另外兩邊的關系求邊。

如圖1，已知AC=5，AB比BC大1。我們可以根據勾股定理得到方程（x+1）2=x2+52，解得x=12，求得三角形的未知邊。

■

模型二：平分+平行中必然得到等腰三角形

如圖2，AB∥CD，CE平分∠ACD，就可以得到三角形ACE是等腰三角形。

∵AB∥CD ∴∠2=∠3

∵CE平分∠ACD∴∠1=∠2

∴∠1=∠3

∴△ACE是等腰三角形。

下面通過具體的例子來體會這兩種模型在折疊問題中的巧妙應用吧。

例1.（2012深圳）如圖3，將矩形ABCD沿直線EF折疊，使點C與點A重合，折痕交AD于點E、交BC于點F，連接AF、CE.

（1）求證：四邊形AFCE為菱形；

分析：由平分+平行必然得到等腰三角形，我們可以輕松得到

△AFE是等腰三角形，AF=AE，又因為折疊對應線段相等，所以AF=CF，AE=CE，所以可以由四邊相等得到四邊形AFCE為菱形。

證明：∵折疊

∴AF=CF，AE=CE，∠AFE=∠CFE

又∵AD∥BC

∴∠AEF=∠CFE

∴∠AFE=∠AEF

∴AF=AE

∴AF=AE=CF=CE

∴四邊形AFCE為菱形。

例2.（2012湖北黃石）如圖4所示，矩形紙片ABCD中，AB=6cm，BC=8 cm，現將沿EF對折，使得點C與點A重合，則AF長為（ ）

A.■cm B.■cm

C.■cm D.8cm

分析：因為折疊對應線段相等，所以，可以得到AF+D′F=8，根據勾股定理的應用，已知一邊AD′，和另外兩邊的關系AF+D′F=8求邊。

解：設AF=x cm，則DF=D′F=（8-x） cm，

∵矩形紙片ABCD中，AB=6 cm，BC=8 cm，現將其沿EF對折，使得點C與點A重合，∴DF=D′F，在Rt△AD′F中，∵AF2=AD′2+D′F2即x2=62+（8-x）2解得：■cm。

例3.（寶安二模）如圖5，在矩形ABCD中，AB=3，BC=9，把矩形ABCD沿對角線BD折疊，使點C與點F重合，BF交AD與點M，過點C做CE⊥BF于點E，交AD于點G，則MG的長是 。

分析：利用平分+平行模型可以得到△BMD是等腰三角形，故BM=DM；再根據勾股定理利用已知一邊和另兩邊的關系求得邊AM，由△AMB~△DCG利用邊的比例關系求得DG，可得MG=AD-AM-DG

解：設AM長為x．

在Rt△ABM中，AB2+x2=BM2，BM=MD=9-x

則32+x2=（9-x）2，

解得x=4，

BM=MD=9-x=5，

∵△ABM∽△EGM，△EGM∽△DGC，

∴△ABM∽△DGC，

∴AM∶DC=AB∶DG，即4∶3=3∶DG

解得GD=■，所以MG=MD-GD=5-■=■

故答案為：■

作為一名數學老師，不僅要傳授給學生數學知識，更重要的是要傳授給學生數學思想、數學意識、數學方法，把知識轉換為能力，因此，希望通過本文的小小啟示提高學生觀察、歸納、整理數學知識的能力、分析問題、解決問題的能力，培養學生空間想象能力、抽象思維能力及邏輯推理能力。

編輯 謝尾合

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