抽象函數(shù)常見題型解法

文/王新榮

不給出具體解析式，只給出函數(shù)的特殊條件或特征的函數(shù)即為抽象函數(shù)。一般形式為y=f（x），或許還附有定義域、值域等，如，y=f（x），（x>0，y>0）。由于這類問題可以全面考查學(xué)生對函數(shù)概念和性質(zhì)的理解，同時(shí)抽象函數(shù)問題又將函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性和圖象集于一身，所以在各地高考試題中不斷出現(xiàn)；學(xué)生在解決這類問題時(shí)，往往會(huì)感到無從下手，正確率低，本文就這類問題的解法歸類如下：

題型一：求抽象函數(shù)的定義域

例1.已知函數(shù)f（x－1）的定義域?yàn)椋?，3］，求f［log■（3-x）的定義域。

解析：自變量x的取值范圍即為函數(shù)的定義域，因此函數(shù)f（x－1）中x－1∈［－1，2］，所以log■（3-x）∈［－1，2］，所求定義域?yàn)椋?，■］

一般情況下，函數(shù)y=f（x）定義域?yàn)椋踑，b］，則函數(shù)y=f（g（x））的定義域?yàn)椴坏仁絘≤g（x）≤b的解集；函數(shù)y=f（g（x））的定義域［a，b］，則函數(shù)y=f（x）定義域?yàn)間（x）（x∈［a，b］）的值域。

題型二：求抽象函數(shù)值

例2.已知函數(shù)f（x）滿足：當(dāng)x＞4時(shí)，f（x）=（■）x，當(dāng)x＜4時(shí)，f（x）=f（x+1），求f（2+log23）的值。

解析：首先判斷2+log23∈［3，4］，再根據(jù)當(dāng)x＜4時(shí)，f（x）=f（x+1）得f（2+log23）=f（3+log23），所以f（2+log23）=（■）■=■。

題型三：求抽象函數(shù)的解析式

例３．已知f（x）為奇函數(shù)，g（x）為偶函數(shù)，且f（x）＋g（x）=■，求f（x）和g（x）。

解析：用－x代換x得：f（－x）＋g（－x）=■，由于已知f（x）為奇函數(shù)，g（x）為偶函數(shù)，所以－f（x）＋g（x）=■，與已知條件解方程組即可得f（x）和g（x）解析式．

題型四：判斷或證明抽象函數(shù)的奇偶性

例４．已知函數(shù)f（x）（x∈R，x≠0）對任意不等于0的實(shí)數(shù)x1，x2都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），試判斷函數(shù)f（x）的奇偶性。

解析：此類題型多采用賦值法，先令x1=x2=0，求得f（0）=0，再令x1=-x2可判斷函數(shù)f（x）為奇函數(shù)。

抽象函數(shù)滿足f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），則抽象函數(shù)為正比例函數(shù)y=kx的形式。

題型五：抽象函數(shù)的軸對稱和中心對稱

例５．函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)可導(dǎo)，若f（x）=f（2－x），且當(dāng)x∈（-∞，1）時(shí)，（x－1）f ′（x）<0，則f（0），f（3），f（■）的大小為 。

解析：由f（x）=f（2－x）知f（x）關(guān)于直線x=1對稱，由（x－1）

f ′（x）<0知當(dāng)x∈（－∞，1）時(shí)f（x）為增函數(shù)，則f（3）＜f（0）＜f（■）

若函數(shù)y=f（x）關(guān)于直線x=a對稱，則有f（a＋x）=f（a－x），f（x）=

f（2a－x）成立，反之也成立。

例６．函數(shù)f（x）=（x+a）3，對任意x有f（2＋x）=－f（2－x），求f（－3）+f（3）的值。

解析：由f（2+x）=－f（2－x）知f（x）關(guān)于點(diǎn)（2，0）對稱，函數(shù)f（x）=（x+a）3可看作是函數(shù)f（x）=x3向左平移a個(gè)單位而得到的，所以a=－2，結(jié)果為－124

若函數(shù)y=f（x）關(guān)于點(diǎn)（a，0）對稱，則有f（a+x）=－f（a－x），f（x）=－f（2a－x）成立，反之也成立。

題型六：抽象函數(shù)的周期性

例７．設(shè)f（x）是Ｒ上的奇函數(shù)，f（x）=－f（2＋x），當(dāng)x∈［０，１］時(shí)f（x）=x，則f（7.5）= 。

解析：由f（x）=－f（2+x）知f（x）的周期為４，所以f（7.5）＝f（－０.5）＝－f（0.5）＝－０.5

若函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（x+a），則周期Ｔ＝a；若函數(shù)f（x）滿足f（x）=－f（x+a），則周期Ｔ＝２a；若函數(shù)f（x）滿足f（x）=■，則周期Ｔ＝２a；若函數(shù)f（x）滿足f（x）=－■，則周期Ｔ＝２a。

例８．若已知y=f（x）（x∈Ｒ）的圖象關(guān)于兩條直線x=a和x=b（a

簡證：由于函數(shù)圖象關(guān)于兩條直線x=a和x=b（a

函數(shù)f（x）關(guān)于點(diǎn)（a，0），（b，0）都對稱，則f（x）的周期為２（b－a）；函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=a和點(diǎn)（b，0）都對稱，則f（x）的周期為４（b－a）。

題型七：抽象函數(shù)的單調(diào)性

例９．已知函數(shù)f（x）（x∈R，x≠0）對任意不等于0的實(shí)數(shù)x1，x2都有f（x1x2）=f（x1）+f（x2），且x>1時(shí)有f（x）>0，f（2）=1，求證：f（x）在（０，＋∞）上是增函數(shù).

解析：設(shè)x1＞x2＞０，f（x1）－f（x2）＝f（x2■）－f（x2）＝f（x2）＋f（■）－f（x2）＝f（■），∵■＞１∴f（x1）－f（x2）＝f（■）＞０，∴f（x）在（０，＋∞）上是增函數(shù)

抽象函數(shù)滿足f（x1x2）=f（x1）+f（x2），則抽象函數(shù)為對數(shù)函數(shù)y=logax的形式。

例10．已知函數(shù)f（x）（x∈R）有f（x1＋x2）=f（x1）f（x2），且f（x）為單調(diào)增函數(shù)，f（■）=2，解不等式f（x）f（x－3）≥４

解析：由f（x1＋x2）=f（x1）f（x2）和f（■）=２得f（１）=４，∴f（x＋x－3）≥f（1），解集為［２，＋∞）

抽象函數(shù)滿足f（x1＋x2）=f（x1）f（x2），則抽象函數(shù)為指數(shù)函數(shù)y=ax的形式。

抽象函數(shù)形式：

冪函數(shù)：f（xy）=f（x）f（y）

正比例函數(shù)：f（x+y）=f（x）+f（y）

對數(shù)函數(shù)：f（x）+f（y）=f（xy）

三角函數(shù)：f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y） f（x）=cosx

指數(shù)函數(shù)：f（x+y）=f（x）f（y）

周期為n的周期函數(shù)：f（x）=f（x+n）

編輯 謝尾合

不給出具體解析式，只給出函數(shù)的特殊條件或特征的函數(shù)即為抽象函數(shù)。一般形式為y=f（x），或許還附有定義域、值域等，如，y=f（x），（x>0，y>0）。由于這類問題可以全面考查學(xué)生對函數(shù)概念和性質(zhì)的理解，同時(shí)抽象函數(shù)問題又將函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性和圖象集于一身，所以在各地高考試題中不斷出現(xiàn)；學(xué)生在解決這類問題時(shí)，往往會(huì)感到無從下手，正確率低，本文就這類問題的解法歸類如下：

題型一：求抽象函數(shù)的定義域

例1.已知函數(shù)f（x－1）的定義域?yàn)椋?，3］，求f［log■（3-x）的定義域。

解析：自變量x的取值范圍即為函數(shù)的定義域，因此函數(shù)f（x－1）中x－1∈［－1，2］，所以log■（3-x）∈［－1，2］，所求定義域?yàn)椋?，■］

一般情況下，函數(shù)y=f（x）定義域?yàn)椋踑，b］，則函數(shù)y=f（g（x））的定義域?yàn)椴坏仁絘≤g（x）≤b的解集；函數(shù)y=f（g（x））的定義域［a，b］，則函數(shù)y=f（x）定義域?yàn)間（x）（x∈［a，b］）的值域。

題型二：求抽象函數(shù)值

例2.已知函數(shù)f（x）滿足：當(dāng)x＞4時(shí)，f（x）=（■）x，當(dāng)x＜4時(shí)，f（x）=f（x+1），求f（2+log23）的值。

解析：首先判斷2+log23∈［3，4］，再根據(jù)當(dāng)x＜4時(shí)，f（x）=f（x+1）得f（2+log23）=f（3+log23），所以f（2+log23）=（■）■=■。

題型三：求抽象函數(shù)的解析式

例３．已知f（x）為奇函數(shù)，g（x）為偶函數(shù)，且f（x）＋g（x）=■，求f（x）和g（x）。

解析：用－x代換x得：f（－x）＋g（－x）=■，由于已知f（x）為奇函數(shù)，g（x）為偶函數(shù)，所以－f（x）＋g（x）=■，與已知條件解方程組即可得f（x）和g（x）解析式．

題型四：判斷或證明抽象函數(shù)的奇偶性

例４．已知函數(shù)f（x）（x∈R，x≠0）對任意不等于0的實(shí)數(shù)x1，x2都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），試判斷函數(shù)f（x）的奇偶性。

解析：此類題型多采用賦值法，先令x1=x2=0，求得f（0）=0，再令x1=-x2可判斷函數(shù)f（x）為奇函數(shù)。

抽象函數(shù)滿足f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），則抽象函數(shù)為正比例函數(shù)y=kx的形式。

題型五：抽象函數(shù)的軸對稱和中心對稱

例５．函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)可導(dǎo)，若f（x）=f（2－x），且當(dāng)x∈（-∞，1）時(shí)，（x－1）f ′（x）<0，則f（0），f（3），f（■）的大小為 。

解析：由f（x）=f（2－x）知f（x）關(guān)于直線x=1對稱，由（x－1）

f ′（x）<0知當(dāng)x∈（－∞，1）時(shí)f（x）為增函數(shù)，則f（3）＜f（0）＜f（■）

若函數(shù)y=f（x）關(guān)于直線x=a對稱，則有f（a＋x）=f（a－x），f（x）=

f（2a－x）成立，反之也成立。

例６．函數(shù)f（x）=（x+a）3，對任意x有f（2＋x）=－f（2－x），求f（－3）+f（3）的值。

解析：由f（2+x）=－f（2－x）知f（x）關(guān)于點(diǎn)（2，0）對稱，函數(shù)f（x）=（x+a）3可看作是函數(shù)f（x）=x3向左平移a個(gè)單位而得到的，所以a=－2，結(jié)果為－124

若函數(shù)y=f（x）關(guān)于點(diǎn)（a，0）對稱，則有f（a+x）=－f（a－x），f（x）=－f（2a－x）成立，反之也成立。

題型六：抽象函數(shù)的周期性

例７．設(shè)f（x）是Ｒ上的奇函數(shù)，f（x）=－f（2＋x），當(dāng)x∈［０，１］時(shí)f（x）=x，則f（7.5）= 。

解析：由f（x）=－f（2+x）知f（x）的周期為４，所以f（7.5）＝f（－０.5）＝－f（0.5）＝－０.5

若函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（x+a），則周期Ｔ＝a；若函數(shù)f（x）滿足f（x）=－f（x+a），則周期Ｔ＝２a；若函數(shù)f（x）滿足f（x）=■，則周期Ｔ＝２a；若函數(shù)f（x）滿足f（x）=－■，則周期Ｔ＝２a。

例８．若已知y=f（x）（x∈Ｒ）的圖象關(guān)于兩條直線x=a和x=b（a

簡證：由于函數(shù)圖象關(guān)于兩條直線x=a和x=b（a

函數(shù)f（x）關(guān)于點(diǎn)（a，0），（b，0）都對稱，則f（x）的周期為２（b－a）；函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=a和點(diǎn)（b，0）都對稱，則f（x）的周期為４（b－a）。

題型七：抽象函數(shù)的單調(diào)性

例９．已知函數(shù)f（x）（x∈R，x≠0）對任意不等于0的實(shí)數(shù)x1，x2都有f（x1x2）=f（x1）+f（x2），且x>1時(shí)有f（x）>0，f（2）=1，求證：f（x）在（０，＋∞）上是增函數(shù).

解析：設(shè)x1＞x2＞０，f（x1）－f（x2）＝f（x2■）－f（x2）＝f（x2）＋f（■）－f（x2）＝f（■），∵■＞１∴f（x1）－f（x2）＝f（■）＞０，∴f（x）在（０，＋∞）上是增函數(shù)

抽象函數(shù)滿足f（x1x2）=f（x1）+f（x2），則抽象函數(shù)為對數(shù)函數(shù)y=logax的形式。

例10．已知函數(shù)f（x）（x∈R）有f（x1＋x2）=f（x1）f（x2），且f（x）為單調(diào)增函數(shù)，f（■）=2，解不等式f（x）f（x－3）≥４

解析：由f（x1＋x2）=f（x1）f（x2）和f（■）=２得f（１）=４，∴f（x＋x－3）≥f（1），解集為［２，＋∞）

抽象函數(shù)滿足f（x1＋x2）=f（x1）f（x2），則抽象函數(shù)為指數(shù)函數(shù)y=ax的形式。

抽象函數(shù)形式：

冪函數(shù)：f（xy）=f（x）f（y）

正比例函數(shù)：f（x+y）=f（x）+f（y）

對數(shù)函數(shù)：f（x）+f（y）=f（xy）

三角函數(shù)：f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y） f（x）=cosx

指數(shù)函數(shù)：f（x+y）=f（x）f（y）

周期為n的周期函數(shù)：f（x）=f（x+n）

編輯 謝尾合

不給出具體解析式，只給出函數(shù)的特殊條件或特征的函數(shù)即為抽象函數(shù)。一般形式為y=f（x），或許還附有定義域、值域等，如，y=f（x），（x>0，y>0）。由于這類問題可以全面考查學(xué)生對函數(shù)概念和性質(zhì)的理解，同時(shí)抽象函數(shù)問題又將函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性和圖象集于一身，所以在各地高考試題中不斷出現(xiàn)；學(xué)生在解決這類問題時(shí)，往往會(huì)感到無從下手，正確率低，本文就這類問題的解法歸類如下：

題型一：求抽象函數(shù)的定義域

例1.已知函數(shù)f（x－1）的定義域?yàn)椋?，3］，求f［log■（3-x）的定義域。

解析：自變量x的取值范圍即為函數(shù)的定義域，因此函數(shù)f（x－1）中x－1∈［－1，2］，所以log■（3-x）∈［－1，2］，所求定義域?yàn)椋?，■］

一般情況下，函數(shù)y=f（x）定義域?yàn)椋踑，b］，則函數(shù)y=f（g（x））的定義域?yàn)椴坏仁絘≤g（x）≤b的解集；函數(shù)y=f（g（x））的定義域［a，b］，則函數(shù)y=f（x）定義域?yàn)間（x）（x∈［a，b］）的值域。

題型二：求抽象函數(shù)值

例2.已知函數(shù)f（x）滿足：當(dāng)x＞4時(shí)，f（x）=（■）x，當(dāng)x＜4時(shí)，f（x）=f（x+1），求f（2+log23）的值。

解析：首先判斷2+log23∈［3，4］，再根據(jù)當(dāng)x＜4時(shí)，f（x）=f（x+1）得f（2+log23）=f（3+log23），所以f（2+log23）=（■）■=■。

題型三：求抽象函數(shù)的解析式

例３．已知f（x）為奇函數(shù)，g（x）為偶函數(shù)，且f（x）＋g（x）=■，求f（x）和g（x）。

解析：用－x代換x得：f（－x）＋g（－x）=■，由于已知f（x）為奇函數(shù)，g（x）為偶函數(shù)，所以－f（x）＋g（x）=■，與已知條件解方程組即可得f（x）和g（x）解析式．

題型四：判斷或證明抽象函數(shù)的奇偶性

例４．已知函數(shù)f（x）（x∈R，x≠0）對任意不等于0的實(shí)數(shù)x1，x2都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），試判斷函數(shù)f（x）的奇偶性。

解析：此類題型多采用賦值法，先令x1=x2=0，求得f（0）=0，再令x1=-x2可判斷函數(shù)f（x）為奇函數(shù)。

抽象函數(shù)滿足f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），則抽象函數(shù)為正比例函數(shù)y=kx的形式。

題型五：抽象函數(shù)的軸對稱和中心對稱

例５．函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)可導(dǎo)，若f（x）=f（2－x），且當(dāng)x∈（-∞，1）時(shí)，（x－1）f ′（x）<0，則f（0），f（3），f（■）的大小為 。

解析：由f（x）=f（2－x）知f（x）關(guān)于直線x=1對稱，由（x－1）

f ′（x）<0知當(dāng)x∈（－∞，1）時(shí)f（x）為增函數(shù)，則f（3）＜f（0）＜f（■）

若函數(shù)y=f（x）關(guān)于直線x=a對稱，則有f（a＋x）=f（a－x），f（x）=

f（2a－x）成立，反之也成立。

例６．函數(shù)f（x）=（x+a）3，對任意x有f（2＋x）=－f（2－x），求f（－3）+f（3）的值。

解析：由f（2+x）=－f（2－x）知f（x）關(guān)于點(diǎn)（2，0）對稱，函數(shù)f（x）=（x+a）3可看作是函數(shù)f（x）=x3向左平移a個(gè)單位而得到的，所以a=－2，結(jié)果為－124

若函數(shù)y=f（x）關(guān)于點(diǎn)（a，0）對稱，則有f（a+x）=－f（a－x），f（x）=－f（2a－x）成立，反之也成立。

題型六：抽象函數(shù)的周期性

例７．設(shè)f（x）是Ｒ上的奇函數(shù)，f（x）=－f（2＋x），當(dāng)x∈［０，１］時(shí)f（x）=x，則f（7.5）= 。

解析：由f（x）=－f（2+x）知f（x）的周期為４，所以f（7.5）＝f（－０.5）＝－f（0.5）＝－０.5

若函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（x+a），則周期Ｔ＝a；若函數(shù)f（x）滿足f（x）=－f（x+a），則周期Ｔ＝２a；若函數(shù)f（x）滿足f（x）=■，則周期Ｔ＝２a；若函數(shù)f（x）滿足f（x）=－■，則周期Ｔ＝２a。

例８．若已知y=f（x）（x∈Ｒ）的圖象關(guān)于兩條直線x=a和x=b（a

簡證：由于函數(shù)圖象關(guān)于兩條直線x=a和x=b（a

函數(shù)f（x）關(guān)于點(diǎn)（a，0），（b，0）都對稱，則f（x）的周期為２（b－a）；函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=a和點(diǎn)（b，0）都對稱，則f（x）的周期為４（b－a）。

題型七：抽象函數(shù)的單調(diào)性

例９．已知函數(shù)f（x）（x∈R，x≠0）對任意不等于0的實(shí)數(shù)x1，x2都有f（x1x2）=f（x1）+f（x2），且x>1時(shí)有f（x）>0，f（2）=1，求證：f（x）在（０，＋∞）上是增函數(shù).

解析：設(shè)x1＞x2＞０，f（x1）－f（x2）＝f（x2■）－f（x2）＝f（x2）＋f（■）－f（x2）＝f（■），∵■＞１∴f（x1）－f（x2）＝f（■）＞０，∴f（x）在（０，＋∞）上是增函數(shù)

抽象函數(shù)滿足f（x1x2）=f（x1）+f（x2），則抽象函數(shù)為對數(shù)函數(shù)y=logax的形式。

例10．已知函數(shù)f（x）（x∈R）有f（x1＋x2）=f（x1）f（x2），且f（x）為單調(diào)增函數(shù)，f（■）=2，解不等式f（x）f（x－3）≥４

解析：由f（x1＋x2）=f（x1）f（x2）和f（■）=２得f（１）=４，∴f（x＋x－3）≥f（1），解集為［２，＋∞）

抽象函數(shù)滿足f（x1＋x2）=f（x1）f（x2），則抽象函數(shù)為指數(shù)函數(shù)y=ax的形式。

抽象函數(shù)形式：

冪函數(shù)：f（xy）=f（x）f（y）

正比例函數(shù)：f（x+y）=f（x）+f（y）

對數(shù)函數(shù)：f（x）+f（y）=f（xy）

三角函數(shù)：f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y） f（x）=cosx

指數(shù)函數(shù)：f（x+y）=f（x）f（y）

周期為n的周期函數(shù)：f（x）=f（x+n）

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