抽象函數常見題型解法

文/王新榮

不給出具體解析式，只給出函數的特殊條件或特征的函數即為抽象函數。一般形式為y=f（x），或許還附有定義域、值域等，如，y=f（x），（x>0，y>0）。由于這類問題可以全面考查學生對函數概念和性質的理解，同時抽象函數問題又將函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性和圖象集于一身，所以在各地高考試題中不斷出現；學生在解決這類問題時，往往會感到無從下手，正確率低，本文就這類問題的解法歸類如下：

題型一：求抽象函數的定義域

例1.已知函數f（x－1）的定義域為［0，3］，求f［log■（3-x）的定義域。

解析：自變量x的取值范圍即為函數的定義域，因此函數f（x－1）中x－1∈［－1，2］，所以log■（3-x）∈［－1，2］，所求定義域為［1，■］

一般情況下，函數y=f（x）定義域為［a，b］，則函數y=f（g（x））的定義域為不等式a≤g（x）≤b的解集；函數y=f（g（x））的定義域［a，b］，則函數y=f（x）定義域為g（x）（x∈［a，b］）的值域。

題型二：求抽象函數值

例2.已知函數f（x）滿足：當x＞4時，f（x）=（■）x，當x＜4時，f（x）=f（x+1），求f（2+log23）的值。

解析：首先判斷2+log23∈［3，4］，再根據當x＜4時，f（x）=f（x+1）得f（2+log23）=f（3+log23），所以f（2+log23）=（■）■=■。

題型三：求抽象函數的解析式

例３．已知f（x）為奇函數，g（x）為偶函數，且f（x）＋g（x）=■，求f（x）和g（x）。

解析：用－x代換x得：f（－x）＋g（－x）=■，由于已知f（x）為奇函數，g（x）為偶函數，所以－f（x）＋g（x）=■，與已知條件解方程組即可得f（x）和g（x）解析式．

題型四：判斷或證明抽象函數的奇偶性

例４．已知函數f（x）（x∈R，x≠0）對任意不等于0的實數x1，x2都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），試判斷函數f（x）的奇偶性。

解析：此類題型多采用賦值法，先令x1=x2=0，求得f（0）=0，再令x1=-x2可判斷函數f（x）為奇函數。

抽象函數滿足f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），則抽象函數為正比例函數y=kx的形式。

題型五：抽象函數的軸對稱和中心對稱

例５．函數f（x）在定義域內可導，若f（x）=f（2－x），且當x∈（-∞，1）時，（x－1）f ′（x）<0，則f（0），f（3），f（■）的大小為 。

解析：由f（x）=f（2－x）知f（x）關于直線x=1對稱，由（x－1）

f ′（x）<0知當x∈（－∞，1）時f（x）為增函數，則f（3）＜f（0）＜f（■）

若函數y=f（x）關于直線x=a對稱，則有f（a＋x）=f（a－x），f（x）=

f（2a－x）成立，反之也成立。

例６．函數f（x）=（x+a）3，對任意x有f（2＋x）=－f（2－x），求f（－3）+f（3）的值。

解析：由f（2+x）=－f（2－x）知f（x）關于點（2，0）對稱，函數f（x）=（x+a）3可看作是函數f（x）=x3向左平移a個單位而得到的，所以a=－2，結果為－124

若函數y=f（x）關于點（a，0）對稱，則有f（a+x）=－f（a－x），f（x）=－f（2a－x）成立，反之也成立。

題型六：抽象函數的周期性

例７．設f（x）是Ｒ上的奇函數，f（x）=－f（2＋x），當x∈［０，１］時f（x）=x，則f（7.5）= 。

解析：由f（x）=－f（2+x）知f（x）的周期為４，所以f（7.5）＝f（－０.5）＝－f（0.5）＝－０.5

若函數f（x）滿足f（x）=f（x+a），則周期Ｔ＝a；若函數f（x）滿足f（x）=－f（x+a），則周期Ｔ＝２a；若函數f（x）滿足f（x）=■，則周期Ｔ＝２a；若函數f（x）滿足f（x）=－■，則周期Ｔ＝２a。

例８．若已知y=f（x）（x∈Ｒ）的圖象關于兩條直線x=a和x=b（a

簡證：由于函數圖象關于兩條直線x=a和x=b（a

函數f（x）關于點（a，0），（b，0）都對稱，則f（x）的周期為２（b－a）；函數f（x）關于直線x=a和點（b，0）都對稱，則f（x）的周期為４（b－a）。

題型七：抽象函數的單調性

例９．已知函數f（x）（x∈R，x≠0）對任意不等于0的實數x1，x2都有f（x1x2）=f（x1）+f（x2），且x>1時有f（x）>0，f（2）=1，求證：f（x）在（０，＋∞）上是增函數.

解析：設x1＞x2＞０，f（x1）－f（x2）＝f（x2■）－f（x2）＝f（x2）＋f（■）－f（x2）＝f（■），∵■＞１∴f（x1）－f（x2）＝f（■）＞０，∴f（x）在（０，＋∞）上是增函數

抽象函數滿足f（x1x2）=f（x1）+f（x2），則抽象函數為對數函數y=logax的形式。

例10．已知函數f（x）（x∈R）有f（x1＋x2）=f（x1）f（x2），且f（x）為單調增函數，f（■）=2，解不等式f（x）f（x－3）≥４

解析：由f（x1＋x2）=f（x1）f（x2）和f（■）=２得f（１）=４，∴f（x＋x－3）≥f（1），解集為［２，＋∞）

抽象函數滿足f（x1＋x2）=f（x1）f（x2），則抽象函數為指數函數y=ax的形式。

抽象函數形式：

冪函數：f（xy）=f（x）f（y）

正比例函數：f（x+y）=f（x）+f（y）

對數函數：f（x）+f（y）=f（xy）

三角函數：f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y） f（x）=cosx

指數函數：f（x+y）=f（x）f（y）

周期為n的周期函數：f（x）=f（x+n）

編輯 謝尾合

不給出具體解析式，只給出函數的特殊條件或特征的函數即為抽象函數。一般形式為y=f（x），或許還附有定義域、值域等，如，y=f（x），（x>0，y>0）。由于這類問題可以全面考查學生對函數概念和性質的理解，同時抽象函數問題又將函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性和圖象集于一身，所以在各地高考試題中不斷出現；學生在解決這類問題時，往往會感到無從下手，正確率低，本文就這類問題的解法歸類如下：

題型一：求抽象函數的定義域

例1.已知函數f（x－1）的定義域為［0，3］，求f［log■（3-x）的定義域。

解析：自變量x的取值范圍即為函數的定義域，因此函數f（x－1）中x－1∈［－1，2］，所以log■（3-x）∈［－1，2］，所求定義域為［1，■］

一般情況下，函數y=f（x）定義域為［a，b］，則函數y=f（g（x））的定義域為不等式a≤g（x）≤b的解集；函數y=f（g（x））的定義域［a，b］，則函數y=f（x）定義域為g（x）（x∈［a，b］）的值域。

題型二：求抽象函數值

例2.已知函數f（x）滿足：當x＞4時，f（x）=（■）x，當x＜4時，f（x）=f（x+1），求f（2+log23）的值。

解析：首先判斷2+log23∈［3，4］，再根據當x＜4時，f（x）=f（x+1）得f（2+log23）=f（3+log23），所以f（2+log23）=（■）■=■。

題型三：求抽象函數的解析式

例３．已知f（x）為奇函數，g（x）為偶函數，且f（x）＋g（x）=■，求f（x）和g（x）。

解析：用－x代換x得：f（－x）＋g（－x）=■，由于已知f（x）為奇函數，g（x）為偶函數，所以－f（x）＋g（x）=■，與已知條件解方程組即可得f（x）和g（x）解析式．

題型四：判斷或證明抽象函數的奇偶性

例４．已知函數f（x）（x∈R，x≠0）對任意不等于0的實數x1，x2都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），試判斷函數f（x）的奇偶性。

解析：此類題型多采用賦值法，先令x1=x2=0，求得f（0）=0，再令x1=-x2可判斷函數f（x）為奇函數。

抽象函數滿足f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），則抽象函數為正比例函數y=kx的形式。

題型五：抽象函數的軸對稱和中心對稱

例５．函數f（x）在定義域內可導，若f（x）=f（2－x），且當x∈（-∞，1）時，（x－1）f ′（x）<0，則f（0），f（3），f（■）的大小為 。

解析：由f（x）=f（2－x）知f（x）關于直線x=1對稱，由（x－1）

f ′（x）<0知當x∈（－∞，1）時f（x）為增函數，則f（3）＜f（0）＜f（■）

若函數y=f（x）關于直線x=a對稱，則有f（a＋x）=f（a－x），f（x）=

f（2a－x）成立，反之也成立。

例６．函數f（x）=（x+a）3，對任意x有f（2＋x）=－f（2－x），求f（－3）+f（3）的值。

解析：由f（2+x）=－f（2－x）知f（x）關于點（2，0）對稱，函數f（x）=（x+a）3可看作是函數f（x）=x3向左平移a個單位而得到的，所以a=－2，結果為－124

若函數y=f（x）關于點（a，0）對稱，則有f（a+x）=－f（a－x），f（x）=－f（2a－x）成立，反之也成立。

題型六：抽象函數的周期性

例７．設f（x）是Ｒ上的奇函數，f（x）=－f（2＋x），當x∈［０，１］時f（x）=x，則f（7.5）= 。

解析：由f（x）=－f（2+x）知f（x）的周期為４，所以f（7.5）＝f（－０.5）＝－f（0.5）＝－０.5

若函數f（x）滿足f（x）=f（x+a），則周期Ｔ＝a；若函數f（x）滿足f（x）=－f（x+a），則周期Ｔ＝２a；若函數f（x）滿足f（x）=■，則周期Ｔ＝２a；若函數f（x）滿足f（x）=－■，則周期Ｔ＝２a。

例８．若已知y=f（x）（x∈Ｒ）的圖象關于兩條直線x=a和x=b（a

簡證：由于函數圖象關于兩條直線x=a和x=b（a

函數f（x）關于點（a，0），（b，0）都對稱，則f（x）的周期為２（b－a）；函數f（x）關于直線x=a和點（b，0）都對稱，則f（x）的周期為４（b－a）。

題型七：抽象函數的單調性

例９．已知函數f（x）（x∈R，x≠0）對任意不等于0的實數x1，x2都有f（x1x2）=f（x1）+f（x2），且x>1時有f（x）>0，f（2）=1，求證：f（x）在（０，＋∞）上是增函數.

解析：設x1＞x2＞０，f（x1）－f（x2）＝f（x2■）－f（x2）＝f（x2）＋f（■）－f（x2）＝f（■），∵■＞１∴f（x1）－f（x2）＝f（■）＞０，∴f（x）在（０，＋∞）上是增函數

抽象函數滿足f（x1x2）=f（x1）+f（x2），則抽象函數為對數函數y=logax的形式。

例10．已知函數f（x）（x∈R）有f（x1＋x2）=f（x1）f（x2），且f（x）為單調增函數，f（■）=2，解不等式f（x）f（x－3）≥４

解析：由f（x1＋x2）=f（x1）f（x2）和f（■）=２得f（１）=４，∴f（x＋x－3）≥f（1），解集為［２，＋∞）

抽象函數滿足f（x1＋x2）=f（x1）f（x2），則抽象函數為指數函數y=ax的形式。

抽象函數形式：

冪函數：f（xy）=f（x）f（y）

正比例函數：f（x+y）=f（x）+f（y）

對數函數：f（x）+f（y）=f（xy）

三角函數：f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y） f（x）=cosx

指數函數：f（x+y）=f（x）f（y）

周期為n的周期函數：f（x）=f（x+n）

編輯 謝尾合

不給出具體解析式，只給出函數的特殊條件或特征的函數即為抽象函數。一般形式為y=f（x），或許還附有定義域、值域等，如，y=f（x），（x>0，y>0）。由于這類問題可以全面考查學生對函數概念和性質的理解，同時抽象函數問題又將函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性和圖象集于一身，所以在各地高考試題中不斷出現；學生在解決這類問題時，往往會感到無從下手，正確率低，本文就這類問題的解法歸類如下：

題型一：求抽象函數的定義域

例1.已知函數f（x－1）的定義域為［0，3］，求f［log■（3-x）的定義域。

解析：自變量x的取值范圍即為函數的定義域，因此函數f（x－1）中x－1∈［－1，2］，所以log■（3-x）∈［－1，2］，所求定義域為［1，■］

一般情況下，函數y=f（x）定義域為［a，b］，則函數y=f（g（x））的定義域為不等式a≤g（x）≤b的解集；函數y=f（g（x））的定義域［a，b］，則函數y=f（x）定義域為g（x）（x∈［a，b］）的值域。

題型二：求抽象函數值

例2.已知函數f（x）滿足：當x＞4時，f（x）=（■）x，當x＜4時，f（x）=f（x+1），求f（2+log23）的值。

解析：首先判斷2+log23∈［3，4］，再根據當x＜4時，f（x）=f（x+1）得f（2+log23）=f（3+log23），所以f（2+log23）=（■）■=■。

題型三：求抽象函數的解析式

例３．已知f（x）為奇函數，g（x）為偶函數，且f（x）＋g（x）=■，求f（x）和g（x）。

解析：用－x代換x得：f（－x）＋g（－x）=■，由于已知f（x）為奇函數，g（x）為偶函數，所以－f（x）＋g（x）=■，與已知條件解方程組即可得f（x）和g（x）解析式．

題型四：判斷或證明抽象函數的奇偶性

例４．已知函數f（x）（x∈R，x≠0）對任意不等于0的實數x1，x2都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），試判斷函數f（x）的奇偶性。

解析：此類題型多采用賦值法，先令x1=x2=0，求得f（0）=0，再令x1=-x2可判斷函數f（x）為奇函數。

抽象函數滿足f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），則抽象函數為正比例函數y=kx的形式。

題型五：抽象函數的軸對稱和中心對稱

例５．函數f（x）在定義域內可導，若f（x）=f（2－x），且當x∈（-∞，1）時，（x－1）f ′（x）<0，則f（0），f（3），f（■）的大小為 。

解析：由f（x）=f（2－x）知f（x）關于直線x=1對稱，由（x－1）

f ′（x）<0知當x∈（－∞，1）時f（x）為增函數，則f（3）＜f（0）＜f（■）

若函數y=f（x）關于直線x=a對稱，則有f（a＋x）=f（a－x），f（x）=

f（2a－x）成立，反之也成立。

例６．函數f（x）=（x+a）3，對任意x有f（2＋x）=－f（2－x），求f（－3）+f（3）的值。

解析：由f（2+x）=－f（2－x）知f（x）關于點（2，0）對稱，函數f（x）=（x+a）3可看作是函數f（x）=x3向左平移a個單位而得到的，所以a=－2，結果為－124

若函數y=f（x）關于點（a，0）對稱，則有f（a+x）=－f（a－x），f（x）=－f（2a－x）成立，反之也成立。

題型六：抽象函數的周期性

例７．設f（x）是Ｒ上的奇函數，f（x）=－f（2＋x），當x∈［０，１］時f（x）=x，則f（7.5）= 。

解析：由f（x）=－f（2+x）知f（x）的周期為４，所以f（7.5）＝f（－０.5）＝－f（0.5）＝－０.5

若函數f（x）滿足f（x）=f（x+a），則周期Ｔ＝a；若函數f（x）滿足f（x）=－f（x+a），則周期Ｔ＝２a；若函數f（x）滿足f（x）=■，則周期Ｔ＝２a；若函數f（x）滿足f（x）=－■，則周期Ｔ＝２a。

例８．若已知y=f（x）（x∈Ｒ）的圖象關于兩條直線x=a和x=b（a

簡證：由于函數圖象關于兩條直線x=a和x=b（a

函數f（x）關于點（a，0），（b，0）都對稱，則f（x）的周期為２（b－a）；函數f（x）關于直線x=a和點（b，0）都對稱，則f（x）的周期為４（b－a）。

題型七：抽象函數的單調性

例９．已知函數f（x）（x∈R，x≠0）對任意不等于0的實數x1，x2都有f（x1x2）=f（x1）+f（x2），且x>1時有f（x）>0，f（2）=1，求證：f（x）在（０，＋∞）上是增函數.

解析：設x1＞x2＞０，f（x1）－f（x2）＝f（x2■）－f（x2）＝f（x2）＋f（■）－f（x2）＝f（■），∵■＞１∴f（x1）－f（x2）＝f（■）＞０，∴f（x）在（０，＋∞）上是增函數

抽象函數滿足f（x1x2）=f（x1）+f（x2），則抽象函數為對數函數y=logax的形式。

例10．已知函數f（x）（x∈R）有f（x1＋x2）=f（x1）f（x2），且f（x）為單調增函數，f（■）=2，解不等式f（x）f（x－3）≥４

解析：由f（x1＋x2）=f（x1）f（x2）和f（■）=２得f（１）=４，∴f（x＋x－3）≥f（1），解集為［２，＋∞）

抽象函數滿足f（x1＋x2）=f（x1）f（x2），則抽象函數為指數函數y=ax的形式。

抽象函數形式：

冪函數：f（xy）=f（x）f（y）

正比例函數：f（x+y）=f（x）+f（y）

對數函數：f（x）+f（y）=f（xy）

三角函數：f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y） f（x）=cosx

指數函數：f（x+y）=f（x）f（y）

周期為n的周期函數：f（x）=f（x+n）

編輯 謝尾合